数轴标根法

数轴标根法是解所有整式不等式和一些分式不等式的重要方法，它解法简单、容易记忆，是解高次不等式最简方法，我以数轴标根法的教学为例，谈谈怎样扩大学生的视野，激发学生兴趣，推动学生创新的。首先，出现一元一次不等式，学生可以用移项、系数化为1的步骤解出，可以提问：“能不能用其他方法解呢？”引入数轴标根法，介绍此法的关键：⑴最高次数的系数为正；⑵把不等式看作方程，并解出此方程的根；⑶在一根数轴上标出这几个根；⑷规定从数轴右上方开始一一穿过这些点，含等号时穿过点为实点，不含等号穿过点为空圈；⑸满足大于（大于等于）要数轴上方的部分，小于（小于等于）要数轴下方部分。介绍后，用开始的题作为例题讲解，并出两个一元一次不等式作为练习。第二，出现一元二次不等式，要求用数轴标根法解答，进一步加深认识，但要注意最高次数的系数为正是最基本的要求。再要求他们解单根高次不等式，好象学生已经掌握了。第三，出现一元高次不等式，但解有偶重根，如果还是所有点都穿，解集就是错误的，提问：“是什么地方出错呢？该怎样完善数轴标根法”学生通过讨论，得出结论：对于根的个数而言，奇数则可穿，偶数则回来。即奇穿偶回原理。再举两个有偶次根的题作为练习，加强对数轴标根法的理解。第四，出现分式不等式，发现相除与相乘的符号判断是一致的，因此先做同解变形后，再用数轴标根法解答，但要注意分母不能为0，通过练习达到掌握的目的。这样从浅入深的讲解，学生能全面了解并逐步掌握数轴标根法，可以让学生对数学解题方法有所认识，不会出现怕学、难懂的情况，为提高学生的学习兴趣提供必备的条件。【数轴标根法】它适用于某些一元高次不等式f(x)＞0或f(x)＜0的求解。步骤是：(1)将f(x)的最高次项的系数化为正数；(2)将f(x)分解为若干个一次因式的积；(3)将每一个一次因式的根标在数轴上，从右上方依次通过每一个点画曲线；如果出现重根的时候，怎么解释“奇穿偶不穿”(4)根据曲线显示出的f(x)值的符号变化规律，写出不等式的解集。用“穿针引线法”解含绝对值的不等式“穿针引线法”原名“数轴标根法”，是用来解高次不等式或分式不等式，但用来解部分含绝对值的不等式会非常简便，避免了分类讨论的繁杂。数轴标根法的原理是什么啊，为什么要从“最右根”的右上方穿过根呢原理其实很简单，那就是负负得正，偶数个负数的积为正数，奇数个负数的积为负数。最右根的右上方穿过是因为最右根的右边取x值的话，所有的数都是正数，他们之积当然也就是正数，所以要从右上方开始，向左每过一个根，就表明乘数中多了一个负数，数轴标根法显得直观一点而已。你真的知道“数轴标根”的原理吗？为什么要这样做，方向，曲线，大小……我需要最详细的原理！！当然还要一些应用技巧！谢了！●原理：设一个高次不等式的解为X1、X2……Xn,其中X1＜X2＜……＜Xn，则对于任意X＞Xn，不等式恒大于零，既最大根右边的数使不等式恒成立，所以标根从不等式右边标起。（对二次不等式一样适用，但一般我们直接用抛物线的知识做）●做法:1.把所有X前的系数都变成正的(不用是1,但是得是正的)；2.画数轴,在数轴上从小到大依次标出所有根；3.从右上角开始,一上一下依次穿过不等式的根，奇过偶不过(即遇到含X的项是奇次幂就穿过,偶次幂跨过，后面有详细介绍)；4.注意看看题中不等号有没有等号,有的话还要注意写结果时舍去使使不等式为0的根。●例如不等式:x^2-3x+2≤0(最高次项系数一定要为正,不为正要化成正的)⒈分解因式:(x-1)(x-2)≤0；⒉找方程(x-1)(x-2)=0的根:x=1或x=2；⒊画数轴,并把根所在的点标上去；⒋注意了,这时候从最右边开始,从2的右上方引出一条曲线,经过点2,继续向左画,类似于抛物线,再经过点1,向点1的左上方无限延伸；⒌看题求解,题中要求求≤0的解,那么只需要在数轴上看看哪一段在数轴及数轴以下即可,观察可以得到:1≤x≤2。●高次不等式也一样.比方说一个分解因式之后的不等式:x(x+2)(x-1)(x-3)＞0一样先找方程x(x+2)(x-1)(x-3)＝0的根x＝0,x＝1,x＝-2,x＝3在数轴上依次标出这些点.还是从最右边的一点3的右上方引出一条曲线,经过点3,在1、3之间类似于一个开口向上的抛物线，经过点1；继续向点1的左上方延伸，这条曲线在点0、1之间类似于一条开口向下的曲线，经过点0；继续向0的左下方延伸，在0、-2之间类似于一条开口向上的抛物线，经过点-2；继续向点-2的左上方无限延伸。方程中要求的是＞0，只需要观察曲线在数轴上方的部分所取的x的范围就行了。x＜-2或0＜x＜1或x＞3。●⑴遇到根是分数或无理数和遇到整数时的处理方法是一样的,都是在数轴上把这个根的位置标出来；⑵“奇过偶不过”中的“奇、偶”指的是分解因式后,某个因数的指数是奇数或者偶数；比如对于不等式(X-2)^2(X-3)＞0(X-2)的指数是2,是偶数,所以在数轴上画曲线时就不穿过2这个点而(X-3)的指数是1,是奇数,所以在数轴上画曲线时就要穿过3这个点。中国教育教学研究杂志2004年3月第18卷总第106期浅谈数轴标根法的应用不等式是高中数学的重要内容之一，在代数、三角、立体几何、解析几何中有广泛的应用，而解不等式又是研究方程、函数的重要工具，历来在高考中占有相当大的比例。不等式的解法很多，数轴标根法(轴根法、穿根法)便是其中一种，利用它来解不等式能够很方便求出其解集。数轴标根法不仅适合高次不等式、分式不等式(很多参考资料只介绍了这两种类型)，它还适合象一元一次不等式、一元二次不等式这样的简单不等式和无理不等式、绝对值不等式等不等式。一、整式不等式(一)不等式的解集：如果f(x)=0它的根为x1x2Lx3(即没有重根)，1.当n为奇数时，则不等式的解集在数轴上表示为(如图1)：原不等式f(x)＞0的解集为：(x1，x2)∪L∪(xn-2,xn-1)∪(xn，+∞)2.当n为偶数时，则不等式的解集在数轴上表示为(如图2)：原不等式f(x)＞0解集为：(-∞，x1)∪(x２，x３)∪L∪(xn-2，xn-1)∪(xn，+∞)(二)不等式的解集：如果f(x)=0它的根为x1＜x2＜L＜xn(即没有重根)1.当n为奇数时，则不等式的解集在数轴上表示为(如图3)：原不等式f(x)＜0的解集为：(-∞，x1)∪(x2,x3)∪L∪(xn-1，xn)2.当n为偶数时，则不等式的解集在数轴上表示为(如图4)：原不等式f(x)＜0的解集为：(x1,x2)∪L∪(xn-1,xn-2)【注意】1、在数轴上画解集时，从右边开始，并且右边始终在x轴的上方。其原因是当x＞xn时，f(x)＞0；2、当f(x)=0出现重根时，等价变形为该类型；3、当a0＜0时，容易等价变形f(x)＞0或f(x)＜0类型；4、若f(x)≥0或f(x)≤0，则解集为闭区间。例1.解不等式2x＋4＜0解：方程2x＋4=0的根是x=-2，所以如图5，所以原不等式的解集为(-∞，-2)例2.解不等式解：∵x1=-1，x２=3，∴如图6，原不等式的解集为(-∞，-1)∪(3，＋∞)例3.解不等式(4-x)(x-2)(x+1)(x+2)≤0解：∵x1=-2，x２=-1，x３=2，x４=4，∴如图7，所以原不等式的解集为(-∞，-2〕∪〔-1，2〕∪〔4,＋∞)例4.解不等式(x-a)(x-2)(x+1)＞0解：(1)当a＜-1时，如图8，解集为(a，-1)∪(2，＋∞)(2)当a=-1时，所以如图9，解集为：(2，＋∞)(3)当-1＜a＜2时，如图10，解集为：(-1，a)∪(2，+∞)(4)当a=2时，所以如图11，解集为：(-1，2)∪(2，+∞)(5)当a＞2时，如图12，解集为：(-1，2)∪(a＋∞)二、分式不等式如果且s+t=n，当f1(x)=0的根和f2(x)=0的根从小到大排列为x1＜x1＜L＜xn(即没有重根)，则f(x)＞0和f(x)＜0的解集同高次不等式中的f(x)＞0和f(x)＜0的解集。例5.解不等式解：∵x1=-2，x2=-1，x3=0，x4=1，∴如图13，解集为(-2，-1〕∪(0，1〕例6.解不等式解：所以如图14,解集为：(-1，3)∪(3，+∞)例7.解不等式∵x1=-1，x2=0，x3=3，x4=5，∴如图15，解集为〔-1，0)∪〔3，5)例8.不等式组的解集是()A.｛x｜0＜x＜2｝B.(x｜0＜x＜2.5｝C.｛x｜0＜x＜6｝D.｛x｜0＜x＜3｝解：∵根据数据标根法，解集一定为根来表示，显然x=2、x=2.5、x=3都不是方程的根，所以应该选C。三、无理不等式形如类型的不等式，因为在〔x2，＋∞)是单调递增函数，所以x大于f(x)=0的大的根x2时，f(x)＞0，所以右边始终在x轴的上方，在数轴上画不等式的解集时，显然应该考虑函数的定义域，其方法与上同：形如类型，因为在〔x2，+∞)是单调递减函数，所以x大于f(x)=0的大的根x2时，f(x)＜0，所以右边始终在x轴的下方。例9.不等式的解集是()A.｛x｜-1＜x＜2｝B.｛x｜-2≤x≤2｝C.｛x｜0≤x＜2｝D.｛x｜x≥0｝解：∵得x=2,(x=-1是增根，舍去)，又定义域为x≥-2∴如图16(注意取下面部分)，解集为〔-2，2〕例10.解不等式解：得x1=2,(x2=-1是增根，舍去)，又定义域为x≤3∴如图17(取上面部分)，解集为：(2，3〕例11.解不等式解：由，其中是增根，舍去.又定义域为-2≤x≤2，所以如图18(取下面部分)，解集为：(0，2)数轴标根法附图“数轴标根法”又称“数轴穿根法”第一步：通过不等式的诸多性质对不等式进行移项，使得右侧为0。（注意：一定要保证x前的系数为正数）例如：将x^3-2x^2-x+20化为(x-2)(x-1)(x+1)0第二步：将不等号换成等号解出所有根。例如：(x-2)(x-1)(x+1)=0的根为：x1=2，x2=1，x3=-1第三步：在数轴上从左到右依次标出各根。例如：-112第四步：画穿根线：以数轴为标准，从“最右根”的右上方穿过根，往左下画线，然后又穿过“次右根”上去，一上一下依次穿过各根。第五步：观察不等号，如果不等号为“”，则取数轴上方，穿根线以内的范围；如果不等号为“”则取数轴下方，穿根线以内的范围。x的次数若为偶数则不穿过，即奇过偶不过。例如：若求(x-2)(x-1)(x+1)0的根。在数轴上标根得：-112画穿根线：由右上方开始穿根。因为不等号为“”则取数轴上方，穿跟线以内的范围。即：-1x1或x2。当高次不等式ｆ（ｘ）＞０（或＜０）的左边整式、分式不等式φ（ｘ）／ｈ（ｘ）＞０（或＜０）的左边分子、分母能分解成若干个一次因式的积（ｘ－ａ１）（ｘ－ａ２）…（ｘ－ａｎ）的形式，可把各因式的根标在数轴上，形成若干个区间，最右端的区间ｆ（ｘ）、φ（ｘ）／ｈ（ｘ）的值必为正值，从右往左通常为正值、负值依次相间，这种解不等式的方法称为序轴标根法。为了形象地体现正负值的变化规律，可以画一条浪线从右上方依次穿过每一根所对应的点，穿过最后一个点后就不再变方向，这种画法俗称“穿针引线法”，如图１。运用序轴标根法解不等式时，常犯以下的错误：１．出现形如（ａ－ｘ）的一次因式时，匆忙地“穿针引线”。例１解不等式ｘ（３－ｘ）（ｘ＋１）（ｘ－２）＞０。解ｘ（３－ｘ）（ｘ＋１）（ｘ－２）＞０，将各根－１、０、２、３依次标在数轴上，由图１可得原不等式的解集为｛ｘ｜ｘ＜－１或０＜ｘ＜２或ｘ＞３｝。事实上，只有将因式（ａ－ｘ）变为（ｘ－ａ）的形式后才能用序轴标根法，正确的解法是：解原不等式变形为ｘ（ｘ－３）（ｘ＋１）（ｘ－２）＜０，将各根－１、０、２、３依次标在数轴上，由图１，原不等式的解集为｛ｘ｜－１＜ｘ＜０或２＜ｘ＜３｝。２．出现重根时，机械地“穿针引线”例２解不等式（ｘ＋１）（ｘ－１）^２（ｘ－４）^３＜０解将三个根－１、１、４标在数轴上，由图２得，原不等式的解集为｛ｘ｜ｘ＜－１或１＜ｘ＜４｝。这种解法也是错误的，错在不加分析地、机械地“穿针引线”。出现