多元函数泰勒公式与极值

§8.6多元函数的极值及其求法主要内容1、多元函数泰勒公式2、多元函数的极值和最值3、条件极值拉格朗日乘数法).10()()!1()()(!)()(2)())(()()(1000)1(00)(200000nnnnxxnxxxfxxnxfxxxfxxxfxfxf一元函数的泰勒公式：意义：可用n次多项式来近似表达函数)(xf，且误差是当0xx时比nxx)(0高阶的无穷小．§8.6多元函数泰勒公式与极值一、问题的提出引入函数).10(),,()(00tktyhtxft显然),,()0(00yxf).,()1(00kyhxf利用一元函数的麦克劳林公式，得).10(),()!1(1)0(!1)0(!21)0()0()1()1()(nnnn由的定义及多元复合函数的求导法则,可得)(t),,(),(),()(000000ktyhtxfykxhktyhtxkfktyhtxhftyx(*)),(),(2),()(00200002ktyhtxfkktyhtxhkfktyhtxfhtyyxyxx).,()(001),(111011)1(00ktyhtxfykxhyxpkhtnktyhtxpnpnnppnppnnC将),()0(00yxf,),()1(00kyhxf及上面求得的)(t的直到n阶导数在0t的值,以及)()1(tn在t的值代入(*)式.即得)1(,),(!1),(!21),(),(),(00002000000nnRyxfykxhnyxfykxhyxfykxhyxfkyhxf)2().10(),,()!1(1001kyhxfykxhnRnn公式)1(称为二元函数),(yxf在点),(00yx的n阶泰勒公式,而nR的表达式)2(称为拉格朗日型余项.定理设),(yxfz在点),(00yx的某一邻域内连续且有直到1n阶的连续偏导数,),(00kyhx为此邻域内任一点,则有二、二元函数的泰勒公式)10(),,()!1(1),(!1),(!21),(),(),(00100002000000kyhxfykxhnyxfykxhnyxfykxhyxfykxhyxfkyhxfnn)()(22khoRnn),(00yxfykxh),(002yxfykxh一般地,记号表示),(00yxfykxhm00(,)0.mmppmpxypmpmpfhkxyC0000(,)(,),xyhfxykfxy22000000(,)2(,)(,),xxxyyyhfxyhkfxykfxy由二元函数的泰勒公式知,nR的绝对值在点),(00yx的某一邻域内有下面的误差估计式:)3(,!12sincos!1!111111nnnnnnMnnMkhnMR其中.22kh由)3(式可知,误差nR是当0时比n高阶的无穷小.当0n时,公式)1(成为),(),(),(),(00000000kyhxkfkyhxhfyxfkyhxfyx上式称为二元函数的拉格朗日中值公式.推论如果函数),(yxf的偏导数),(yxfx,),(yxfy在某一邻域内都恒等于零,则函数),(yxf在该区域内为一常数.例1求函数)1ln(),(yxyxf的三阶麦克劳林公式.解1(,)(,),1xyfxyfxyxy,)1(1),(),(),(2yxyxfyxfyxfyyxyxx,)1(!2333yxyxfpp),3,2,1,0(p,)1(!3444yxyxfpp),4,3,2,1,0(p(0,0)(0,0)(0,0),xyxyfxfyfxyxy2222(0,0)(0,0)2(0,0)(0,0)(),xxxyyyxyfxfxyfyfxyxy332233(0,0)(0,0)3(0,0)3(0,0)(0,0)2(),xxxxxyxyyyyyxyfxyxfxyfxyfyfxy又0)0,0(f,故,)(31)(21)1ln(332Ryxyxyxyx其中).10(,)1()(41),(!414443yxyxyxfyyxxR阶）展开成泰勒公式（到二把函数的邻域内按皮亚诺余项在点例221),()0,0(2yxyxf)(]),(),(2),([!21),(),(),(),(200002000000000022nyxyxxokyxfhkyxfhyxfkyxfhyxfyxfkyhxf解：1)0,0(f0]1[)0,0()0,0(22yxxfx0)0,0(yf1])1(1[)0,0()0,0(232222yxyfx1)0,0(2yf0])1([)0,0()0,0(2322yxxyfxy)(]),(),(2),([!21),(),(),(),(2200002000000000022okyxfhkyxfhyxfkyxfhyxfyxfkyhxfyxyxx22222111(1)()2!xyxyo022yxykxh,令特别的：二元函数),(yxfz在点),(00yx的某邻域内有定义，对于该邻域内异于),(00yx的点),(yx：若满足不等式),(),(00yxfyxf，则称函数在),(00yx有极大值；若满足不等式),(),(00yxfyxf，则称函数在),(00yx有极小值；1、多元函数极值的定义设PRn,函数u=f(p)在p0的某邻域U(p0,)内有定义，对任何pU(p0,),,都有f(p)f(p0),称函数u=f(p)在p0点有极大值；若都有f(p)f(p0),称函数u=f(p)在p0点有极小值。0pp(1)(2)(3)例1处有极小值．在函数)0,0(4322yxz例２处有极大值．在函数)0,0(22yxz例３处无极值．在函数)0,0(xyz极大值、极小值统称为极值.使函数取得极值的点称为极值点.定理8.12（必要条件）设函数),(yxfz在点),(00yx具有偏导数，且在点),(00yx处有极值，则它在该点的偏导数必然为零：0),(00yxfx，0),(00yxfy.2、多元函数取得极值的条件不妨设),(yxfz在点),(00yx处有极大值,则对于),(00yx的某邻域内任意),(yx),(00yx都有),(yxf),(00yxf,证故当0yy，0xx时，有),(0yxf),(00yxf,说明一元函数),(0yxf在0xx处有极大值,必有0),(00yxfx;同理有0),(00yxfy.推广如果三元函数),,(zyxfu在点),,(000zyxP具有偏导数，则它在),,(000zyxP有极值的必要条件为0),,(000zyxfx，0),,(000zyxfy，0),,(000zyxfz.例,点)0,0(是函数xyz的唯一驻点，但不是极值点.注：1）极值点处的切平面平行于xoy平面；2）使一阶偏导数同时为零的点，称为函数的驻点.驻点极值点如何判定驻点是否为极值点？注意：又0),(00yxfx,0),(00yxfy，令:Ayxfxx),(00，Byxfxy),(00，Cyxfyy),(00，则),(yxf在点),(00yx处是否取得极值的条件如下：（1）02BAC时具有极值，当0A时有极大值，当0A时有极小值；（2）02BAC时没有极值；（3）02BAC时可能有极值,也可能没有极值．定理8.13(充分条件)设函数),(yxfz在点),(00yx的某邻域内连续，有一阶及二阶连续偏导数，求函数z=f(x,y)极值的一般步骤：第一步解方程组,0),(yxfx0),(yxfy求出实数解，得驻点.第二步对于每一个驻点),(00yx，求出二阶偏导数的值A、B、C.第三步定出2BAC的符号，再判定是否是极值.例4求函数f(x,y)=x4+y4-x2-2xy-y2的极值．解fx(x,y)=4x3-2x-2y=0，fy(x,y)=4y3-2x-2y=0，得驻点（1，1），（-1，-1），（0，0）。判断：求二阶偏导fxx(x,y)=12x2-2,fxy(x,y)=-2,fyy(x,y)=12y2-2，在点（1，1）处，A=fxx(1,1)=10,B=fxy(1,1)=-2，C=fyy(1,1)=10．因B2—AC0，且A0，故f(1,1)=-2为极小值．类似可得f(-1,-1)=-2为极小值．在点（0，0）处，A=B=C=-2，B2-AC=0，此时应用极值定义判断f(0,0)=0是否为极值．对足够小的正数，有f(，0)=2（2-1）0,f(，-)=240这说明在点（0，0）的任一邻域内，既有函数值大于f(0,0)的点，又有函数值小于f(0，0)的点，故f(0，0)非极值.求最值的一般方法：将函数在D内的所有驻点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值.3、多元函数的最值例:求函数z=f(x,y)=x2+4y2+9在区域D：x2+y2≤4上的最大值M和最小值m.解第一步，求f在域内的可能极值点的函数值．为此解:fx(x,y)=2x=0，fy(x,y)=8y=0，驻点(0,0),f(0,0)=9.　第二步，求f在边界上的可能最值点的函数值．在边界x2+y2=4上，z=x2+y2+3y2+9=3y2+13，—2≤y≤2，令：06ydydz,得y=0，z=13;y=±2时，z=25．第三步，比较以上两步所得各函数值，最大者为M，最小者为m．故M=25，m=9．解方程组0)4(),(0)4(2),(222yxyxxyxfyxyxxyyxfyx得区域D内唯一驻点)1,2(,且4)1,2(f,再求),(yxf在D边界上的最值，在边界0x和0y上0),(yxf,例5求二元函数)4(),(2yxyxyxfz在直线6yx，x轴和y轴所围成的闭区域D上的最大值与最小值.解先求函数在D内的驻点，xyo6yxD在边界6yx上，即xy6于是)2)(6(),(2xxyxf,由02)6(42xxxfx,得4,021xx,2|64xxy,64)2,4(f比较后可知4)1,2(f为最大值,64)2,4(f为最小值.xyo6yxD(舍去x1)例6求122yxyxz的最大值和最小值.,0)1()(2)1(22222yxyxxyxzx,0)1()(2)1(22222yxyxyyxzy得驻点)21,21(和)21,21(,解由x=y即边界上的值为零.,21)21,21(z,21)21,21(z所以最大值为21，最小值为21.因为01lim22yxyxyx无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件.实例：张三有200元钱，他决定用来购买两种急需物品：计算机磁盘和录音磁