高中数学《抛物线》练习题

高中数学《抛物线》练习题一、选择题：1.(浙江)函数y＝ax2＋1的图象与直线y＝x相切，则a＝()(A)18(B)41(C)21(D)12.（上海）过抛物线xy42的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线（）A．有且仅有一条B．有且仅有两条C．有无穷多条D．不存在3.抛物线24xy上一点A的纵坐标为4，则点A与抛物线焦点的距离为()(A)2(B)3(C)4(D)54.（辽宁卷）已知双曲线的中心在原点，离心率为3.若它的一条准线与抛物线xy42的准线重合，则该双曲线与抛物线xy42的交点到原点的距离是（）A．23+6B．21C．21218D．215.（江苏卷）抛物线y=42x上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是()(A)1617(B)1615(C)87(D)06.（湖北卷）双曲线)0(122mnnymx离心率为2，有一个焦点与抛物线xy42的焦点重合，则mn的值为（）A．163B．83C．316D．38二、填空题：7．顶点在原点，焦点在x轴上且通径长为6的抛物线方程是.8．若抛物线mxxy2212的焦点在x轴上，则m的值是.9．过（－1，2）作直线与抛物线xy42只有一个公共点，则该直线的斜率为.10．抛物线22xy为一组斜率为2的平行弦的中点的轨迹方程是.三、解答题：11.（江西卷）如图，M是抛物线上y2=x上的一点，动弦ME、MF分别交x轴于A、B两点，且MA=MB.（1）若M为定点，证明：直线EF的斜率为定值；（2）若M为动点，且∠EMF=90°，求△EMF的重心G的轨迹12.（上海）本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分.xyOABEFM已知抛物线y2=2px(p0)的焦点为F,A是抛物线上横坐标为4、且位于x轴上方的点,A到抛物线准线的距离等于5,过A作AB垂直于y轴,垂足为B,OB的中点为M.(1)求抛物线方程;(2)过M作MN⊥FA,垂足为N,求点N的坐标;(3)以M为圆心,MB为半径作圆M.当K(m,0)是x轴上一动点时,丫讨论直线AK与圆M的位置关系.当m1时,AK与圆M相交.13、(全国卷III)设11Axy，，22Bxy，两点在抛物线22yx上，l是AB的垂直平分线。（Ⅰ）当且仅当12xx取何值时，直线l经过抛物线的焦点F？证明你的结论；（Ⅱ）当直线l的斜率为2时，求l在y轴上截距的取值范围。14.（广东卷）在平面直角坐标系xOy中，抛物线2yx上异于坐标原点Ｏ的两不同动点Ａ、Ｂ满足AOBO（如图４所示）．（Ⅰ）求AOB得重心Ｇ（即三角形三条中线的交点）的轨迹方程；（Ⅱ）AOB的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．抛物线练习题答案xyOAB解答：一。BBDBBA三.1.解：（1）设M（y20,y0），直线ME的斜率为k(l0)则直线MF的斜率为－k，方程为200().yykxy∴由2002()yykxyyx，消200(1)0xkyyyky得解得20021(1),FFkykyyxkk∴0022000022211214(1)(1)2EFEFEFkykyyykkkkkykykyxxykkk(定值)所以直线EF的斜率为定值（2）90,45,1,EMFMABk当时所以直线ME的方程为200()yykxy由2002yyxyyx得200((1),1)Eyy同理可得200((1),(1)).Fyy设重心G（x,y），则有222200000000(1)(1)23333(1)(1)333MEFMEFyyyyxxxxyyyyxxxx消去参数0y得2122().9273yxx4.[解](1)抛物线y2=2px的准线为x=-2p,于是4+2p=5,∴p=2.∴抛物线方程为y2=4x.(2)∵点A是坐标是(4,4),由题意得B(0,4),M(0,2),又∵F(1,0),∴kFA=34;MN⊥FA,∴kMN=-43,则FA的方程为y=34(x-1),MN的方程为y-2=-43x,解方程组得x=58,y=54,∴N的坐标(58,54).(1)由题意得,,圆M.的圆心是点(0,2),半径为2,当m=4时,直线AK的方程为x=4,此时,直线AK与圆M相离.当m≠4时,直线AK的方程为y=m44(x-m),即为4x-(4-m)y-4m=0,圆心M(0,2)到直线AK的距离d=2)4(1682mm,令d2,解得m1∴当m1时,AK与圆M相离;当m=1时,AK与圆M相切;当m1时,AK与圆M相交.8.．解：（Ⅰ）FlFAFBAB、两点到抛物线的准线的距离相等，∵抛物线的准线是x轴的平行线，1200yy，，依题意12yy，不同时为0∴上述条件等价于22121212120yyxxxxxx∵12xx∴上述条件等价于120xx即当且仅当120xx时，l经过抛物线的焦点F。（Ⅱ）设l在y轴上的截距为b，依题意得l的方程为2yxb；过点AB、的直线方程可写为12yxm，所以12xx、满足方程21202xxm得1214xxAB、为抛物线上不同的两点等价于上述方程的判别式1804m，即132m13.解：（I）设△AOB的重心为G(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),则332121yyyxxx…（1）∵OA⊥OB∴1OBOAkk,即12121yyxx，……(2)又点A，B在抛物线上，有222211,xyxy，代入（2）化简得121xx∴32332)3(31]2)[(31)(3132221221222121xxxxxxxxyyy所以重心为G的轨迹方程为3232xy（II）22212122222122212222212121))((21||||21yyyxyxxxyxyxOBOASAOB由（I）得12212)1(2212221221662616261xxxxSAOB当且仅当6261xx即121xx时，等号成立。所以△AOB的面积存在最小值，存在时求最小值1；