高量2-算符的本征值问题

1§2.2算符的代数运算在量子力学中，经常出现不可对易线性算符的代数运算。在这一节里举几个比较复杂的算例，并用代数方法证明两个常用的算符等式。多重对易式设A,B为两个线性算符,互不对易.定义多重对易式]],,[[],[]],[,[],[],[],[],[],[],[],[)2()2()1()1()0()0(AABABBAABAABABBABABABBBA2显然，对于型的多重对易式，有],[)(BAi],[]],[,[)1()(BABAAii利用上式及其对易关系，容易得出],[],[],[)1()()(BAABABAAiii对于型的多重对易式亦有类似的公式。],[)(iAB例1证明：inniinABAiinnBA0)(],[!)!(![证]利用数学归纳法1)当n=1时，上式变为],[BABAAB这是显然的。32)若原式成立，即inniinABAiinnBA0)(],[!)!(!左边用A作用，利用式],[],[],[)1()()(BAABABAAiii有inniinABAAiinnBA0)(1],[!)!(!inniiABAiinn10)(],[!)!(!inniiABAiinn0)1(],[!)!(!看上式右端第二项，我们希望这两项能合并4为此，令，则1ijjnnjjABAjjnn111)(],[)!1()!1(!与第一项进行比较inniiABAiinn10)(],[!)!(!进行傀标代换，第二项变为ijinniiABAiinn111)(],[)!1()!1(!inniiABAiinnni111)(],[!)!1()!1(1同样第一项也相应变为inniiABAiinnnin10)(],[!)!1()!1(11inniiABAiinn0)1(],[!)!(!5这样原式就变为inniinABAiinnninBA10)(1],[!)!1()!1(11inniiABAiinnni111)(],[!)!1()!1(1考虑两项求和符号后第一个分式的特点，可以将两个求和上下限写成一致，即inniinABAiinnninBA110)(1],[!)!1()!1(11inniiABAiinnni110)(],[!)!1()!1(16inniinABAiinnBA110)(1],[!)!1()!1(从而有所以，若原式对n时成立，则n+1时也成立。3)已知n=1时成立，所以原式对任意整数n都成立。下面利用这个结论来证明一个常用的公式：0)(],[!1iiAABAiBee[证]利用算符指数函数的定义，有0!1nnnaAAane所以0!1nnAAne7AiinnieAinBAi00)()!(1],[!1~0:n利用上例结论，当时niniinABAiinnBA0)(],[!)!(!则AnnAAeBAnBee0!1AniniieABAiinnn0)(0],[!)!(!!1AiAieeBAi0)(],[!10)(],[!1iiBAi﹟~:iin)!(butnAe00)!()!(ininnininAinA8下面我们把条件放宽一些：由此证明几个关系.虽然，但0],[BA0],[],[,],[BCACCBA0],[BA222)(BBAABABAABABAABA233)(3222BABBABABBA下面规定一种符号，其意义是，不管A,B是否对易，中A一律写在B前面所得的式子，如nBA][nBA)(3223322233][2][BABBAABABABABA9显然它符合普通代数中的二项式定理iininBAiinnBA0!)!(!][我们知道，根据定义iiBABAie)(!10当时，（利用定义式可以证明）0],[BABABAeee现在规定iiBABABAieee][!1][可以证明（不再证）3223322233][2][BABBAABABABABA10（1）令,则有],[BAC11][][])[(nnnBAnCBABABA（2）另外，与有如下关系nBA)(nBA][022][)!2(!!1)(iiinnCBAinniBAiinniCBAinnin2][)!2(!!1!120例5证明Glauber公式2/CBABAeeee[证]nnBABAne)(!1在一些公式证明过程中很有用。11iinniCBAinnin2][)!2(!!1!120iininCBAini2][)!2(1!12iiBACei2!1][iiBABAie][!1][利用2/][CBAee证毕。2/CBAeee﹟12定义：上面在右矢空间中定义了算符A||A由于在右矢空间中每一个算符A都对应着左矢空间中的某一个算符，这个左矢空间中与A对应的算符,我们称作,称为算符A的伴算符A§2.3作用于左矢的算符一、伴算符AA|||AA|||的定义域和值域是的定义域和值域的左矢空间的对应区域。AA13伴算符是相互的，下面予以证明。3.伴算符的性质2.运算规则ABBAABBA,,)1(*||||)2(aa||)3(A一般表示，但可定义|)|(A|)|()|(|AA这样就是右矢空间中一个确定的算符了,可省去括号。A14[证]取||A（1）把上式看作左矢与右矢的内积，则||A)|(|||AA*|])(|[A*|)(|A（2）把上式看作左矢与右矢的内积，则A|||)|(||AA*)|(|A*||A比较（1）（2）有|||)(|AA因为是各自在一定范围内的任意矢量|,|所以AA)(故伴算符的伴算符就是原算符本身。15左矢和右矢是两个互为对偶的空间:算符向右可以作用于右矢,向左可以作用于左矢.这种能左能右的性质是对偶空间优于单一空间的主要之点.当然也可定义.|)|()|(|BB二、一条定理[证]（1）必要性：是明显的0A||A定理：在复矢量空间中，若算符A对其定义域中的任意满足，则必有0||A0A|（2）充分性：在A的定义域中取两任意矢量,则|,|0||A||||||||AAAA16由此得||||||AAA||||AA若对任意满足，则上式右方为0A,|0||A所以有0||||AA既然上式对任意成立，可将上式中的换为||||ii||ii相应左矢为，则有170)||||(||||AAiAiiA从而有0||A由于是任意左矢，故有|OA但是任意右矢，所以有|﹟0|A前面我们学习了作用于左右矢的算符的性质，即||AAAA||下面看单一空间的情况。18三、单一空间的情况对式,|)|()|(|BB右边右矢与左矢的内积|B|单一空间说法：右矢与右矢的内积||B这正是伴算符的定义式，即B),(),(BB在单一空间中常被称为的厄米共轭算符。BB即若已知算符，有存在满足上式，则即的伴算符。BBBB﹟191.定义：§2.4厄米算符和幺正算符一、厄米算符若算符H满足HH则算符H就是厄米算符，又称自伴算符。在单一空间中称为自轭算符。2.定理：算符H为厄米算符的充要条件是对其定义域中所有的矢量满足|实数||H[证]（1）必要性：HH实数||HHH对任意有|20HH|||必为实数||H（2）充分性：HH为实数||H若对任意，，则|为实数||H*|H即0||HH因为上式对任意都成立，由上一节所介绍的定理，必有|HHHH或0﹟*|H*||H*||H*||||HH||H|H21二、等距算符1.定义：若算符U满足,则为等距算符。IUU2.性质定理：以下三命题是等价的（1）IUU（2）对任意和，U满足||||UU（3）对任意都成立。||||U[证]依次证明前一条是后一条的充分条件)2()1(若，则IUU|||UUUU|22)3()2(令，则||UU||||U)1()3(||UU0||IUUOIUU即IUU三、幺正算符1.定义：若算符U满足下列性质IUUUU即，则该算符为幺正算符。显然它是等距算符。UU232.性质定理除满足等距算符的性质外，另有两个性质定理。定理1在矢量空间中，若是一组基矢，则也是一组基矢。}{|i}|{iU[证]只需证明正交归一完备即可。}|{iUjijiUUUU|||∴正交归一满足。又取任意两个矢量，因为|,|iiiUU||||UU∴完备性满足（Parseval等式）。ijji|iiiUU||iiiUU||iiiUU||24定理2若和是同一空间的两组基矢，则两者必能由一个幺正算符联系起来。即存在一个幺正算符U，使得}{|i}{|iiiU||[证]两组基矢的数目必定是相同的。定义一个算符A，使iiA||任取二矢量，由于都是完全的，满足Parseval等式。|,|}{|},{|ii故iii|||AA|iiiAA||iiiAA||25同样，利用可以得到iiA||1IAA(因为总可以定义一个算符B，使得，这个B就是)iiB||1A得证。AA||即|||AAIAAAAAAiii||||所以联系两组基矢的算符A必然是幺正算符。26四、幺正变换1.矢量的幺正变换把一个矢量空间的全部矢量都用一个幺正算符作用，对其中每一个矢量和，各得一个新矢量和。这一操作称为矢量的幺正变换。||'|'|性质：由幺正算符的性质可知，幺正变换不改变矢量的模、内积及正交关系。因此一组基矢经过幺正变换后仍是这个空间的一组基矢。从这一点上看，在物理上有时称矢量的幺正变换为矢量（在多维空间）的转动。272.算符的幺正变换设有一个确定的算符A，它对空间中每一个矢量作用得到新矢量：||||