椭球面上的测量计算

11．地球椭球的定义及其几何意义；2．常用测量坐标系统的建立及其在控制测量中的应用；3．各种测量坐标系统之间的相互转换；4．椭球面上几种曲率、弧长、大地线的计算；5．地面测量值（水平方向和边长）归算到椭球面的方法。[知识点及学习要求][难点]在对本章的学习中，有大量的公式推导与应用。各种常用测量坐标系统的建立与相互转换；几种常用的椭球计算公式；地面观测值归算到椭球面的方法与计算。21.地球椭球的基本几何参数7-1地球椭球的基本几何参数及相互关系（了解）椭圆的长半轴：a椭圆的短半轴：b椭圆的扁率：五个基本几何参数aba椭圆的第一偏心率：abae22椭圆的第二偏心率：bbae223决定旋转椭球的形状和大小，只需知道五个参数中的两个就够了，但其中至少要有一个长度元素（如a或b）。为简化书写，常引入以下符号和两个辅助函数：2222,tan,cosactBeBb22221sin,1cosWeBVeB注意式中，W第一基本纬度函数，V第二基本纬度函数。40.006739496742270.0067395018194730.006738525414683e’20.00669437990130.0066943849995880.006693421622966e21/298.2572235631/298.2571/298.36399593.62586399596.65198801056399698.9017827110c6356752.31426356755.28815752876356863.0187730473b637813763781406378245aWGS-84系椭球1975国际椭球克拉索夫斯基椭球我国所采用的的1954年北京坐标系应用的是克拉索夫斯基椭球参数；以后采用的1980国家大地坐标系应用的是1975国际椭球参数；而GPS应用的是WGS-84系椭球参数。52.地球椭球参数间的相互关系abae22bbae22eaba2222eabb'22221222eba2221aeb()(')11122eeeee2221''eee'22216abebae1122'caeace1122'eeeeee'''11222211eVWeWV7几个基本概念：法截面：过椭球面上任意一点可作垂直于椭球面的法线，包含这条法线的平面就叫法截面。法截线（法截弧）：法截面与椭球面的交线。卯酉圈：过某点法线的无数个法截面中，与子午面相垂直的法截面同椭球面相截形成的闭合圈就称为卯酉圈。7.2椭球面上的几种曲率半径（重点）81、子午圈曲率半径MaeW()123221sinWeBM小于赤道半径aM随B的增大而增大M等于极点曲率半径B=0（在赤道处）0＜B＜90B=90（在极点处）说明MBMaeceaeMcMaec022329021111()(')()2acb9dBdSMBdxBDEdSsinsinMdxdBB1sin2cossinWdBdWBBWadBdxdWdBdeBdBeBBeBeBBW1221222222sinsincossinsincosdxdBaBWeBWaBWWeBsincossin(cos)12233222cosaBxWdxdBaBWeBeBsin(sincos)322221WeB2221sindxdBaBWesin()321221sinWeBMaeW()123MdxdBB1sin102、卯酉圈曲率半径NaW221sinWeB卯酉圈变为子午圈，N=cN90=cB=900N随B的增大而增大a＜N＜c00B900卯酉圈变为赤道B=00说明NBaN011过P点作以O′为中心的平行圈PHK的切线PT，该切线位于垂直于子午面的平行圈平面内。因卯酉圈也垂直于子午面，故PT也是卯酉圈在P点处的切线，即PT垂直于Pn。所以PT是平行圈PHK及卯酉圈在P点处的公切线。麦尼尔定理：假设通过曲面上一点引两条截弧，一条为法截弧、一条为斜截弧，且在该点上这两条截弧具有公共切线，这时斜截弧在该点的曲率半径等于法截弧的曲率半径乘以两截弧平面夹角的余弦。又因为平行圈平面与卯酉圈平面之间的夹角即为大地纬度B，所以有：rNBcos平行圈半径r就等于P点的横坐标x（子午面直角坐标系），即：xraBWcosNaW123、任意法截弧的曲率半径22221(1)(1cos)2coscos22ARRARReBAR222coseB当A=0°或180°时，RA的值最小，此时R0=M（子午曲率半径）当A=90°或270°时，RA的值最大，此时R90=N（卯酉圈曲率半径）；当A由0°→90°时，RA之值由M→N；当A由90°→180°时，RA之值由N→M。RA值的变化是以90°为周期且与子午圈和卯酉圈对称的。134、平均曲率半径M、N、R的关系：NRM只有在极点上，它们才相等，且均等于极曲率半径c，即：2222(1).bcNaRMNeWVVWNRMc909090由于RA的数值随方位A的变化而变化，给测量带来不便，在测量工作中，往往根据一定的精度要求，在一定范围内，把椭球面当作球面来处理，为此，就要推求该球面的曲率半径--平均曲率半径[就是过椭球面上一点的一切法截弧(0—2π），当其数目趋于无穷时，它们的曲率半径的算术平均值的极限，就称为平均曲率半径，用R表示]。147.3椭球面上的弧长计算1.子午线弧长计算公式dxMdBBeBeBe44222322sin815sin231)sin1(sincossincoscos241212238122184BBBBB32222244433(1sin)1(cos2)44451515(cos2cos4)641664eBeeBeeBeB2300(1)BBaeXMdBdBW221sinWeB将积分因子按二项式定理展开为级数形式将正弦的指数函数化为余弦的倍数函数322220(1)(1sin)BaeeBdB15BCBBBAeaX4sin42sin2)1(232222444233451515(1sin)1(cos2)(cos2cos4)44641664eBeeBeeBeBAee134456424B42161543eeC46415eXaeABBCBdBB()(coscos)12420162.平行圈弧长公式cosllSrNB旋转椭球体的平行圈是一个圆，其半径就是圆上任意一点的子午面直角坐标x：22coscos1sinaBrxNBeB如果平行圈上有两点，其经差，可写出平行圈弧长公式：12LLl173.子午线弧长和平行圈弧长变化的比较1.92329.87626.80221.90215.5008.0280.0001.36m1792.541608.131314.14930.02481.710.00111321m10755296488788485580128902030.71630.73830.79530.87330.95131.00731.0271842.941844.261847.711852.391857.041860.421861.60110576m11065611086311114311142311162511169601530456075901″1′ΔL=1°1″1′平行圈弧长子午线弧长BB1单位纬差的子午线弧长随B的增大而缓慢地增大；而单位经差的平行圈弧长则随B的增大而急剧缩短。同时还知，子午弧长1°约为110KM，1′约为1.8KM，1″约为30M；而平行圈弧长仅在赤道附近才与子午线弧长大体相当，随着B的增大它们的差值愈来愈大。181.相对法截线的概念（1）纬度不同的两点，法线必交于旋转轴的不同点；（2）椭球面上一点的纬度愈高，法线与旋转轴的交点愈低；（3）当两点的纬度不同，又不在同一子午圈上时，这两点的法线将在空间交错而不相交。因此当两点不在同一子午圈上，也不在同一平行圈上时，两点间就有二条法截线存在。首先明确以下三点：19ABnb假定经纬仪的纵轴同A，B两点的法线重合（忽略垂线偏差），如此以两点为测站，则经纬仪的照准面就是法截面。用A点照准B点，则照准面同椭球面的截线为，叫做A点的正法截线，或B点的反法截线；同理，由B照A点，则照准面同椭球面的截线为BbA，叫做B点的正法截线，或A点的反法截线。因A，B的法线互不相交，故这两条法截线不重合。我们把和BbA叫做A、B两点的相对法截线。BAnaAaBAaB20AB方向在不同象限时，正反法截线的关系图当A、B两点位于同一子午圈或同一平行圈上时，正反法截线则合二为一，这是一种特殊情况。而通常情况下，正反法截线是不重合的。因此在椭球面上A、B、C三点处所测得的角度（各点上正法截线之夹角）将不能构成闭合三角形。为克服这个矛盾，在两点间另选一条单一的大地线代替相对法截线，从而得到由大地线构成的单一的三角形。212、大地线的定义和性质椭球面上两点间的最短曲线叫做大地线。大地线是椭球面上两点间唯一最短线，而且位于相对法截线之间，并靠近正法截线，它与正法截线间的夹角为：13在一等三角测量中，Δ可达千分之四秒，δ可达千分之一二秒大地线与法截线长度之差只有百万分之一毫米，所以在实际计算中，这种长度差异可以忽略不计。但是，根据大地线的性质，在椭球面上进行测量计算时，应以两点间的大地线为依据。在地面上测得的方向、距离等应归算到相应大地线的方向、距离。223、大地线的微分方程和克莱洛(克莱劳)方程dBAMdScosdSBNAdlcossin1）大地线微分方程:表达dL，dB，dA与dS的关系式。MdBdSAcosAdSBdlNsincosdAPTrdlcossinsinrdlNBdlAdABdltgBdSPTNctgBNPTNctgB232）克莱洛方程：dBAMdScossinAdAtgBdSNBNBdBMAAdAcossincossincossinrNBMBdBdrrdrctgAdAlnsinlnlnArCrACsin代入两边积分得：麦尼儿定理：24rACsin1221sinsinAArr上式表明：在旋转椭球面上，大地线各点的平行圈半径与大地线在该点的大地方位角的正弦的乘积等于常数。coscosaBxrNBW257.4将地面观测的方向值归算到椭球面1、将地面观测的水平方向归算至椭球面----三差改正归算中两个基本要求：（1）以椭球面的法线为基准；（2）将地面观测元素化为椭球面上大地线的相应元素。将水平方向归算至椭球面，包括垂线偏差改正、标高差改正及截面差改正，习惯上称此三项为三差改正。261)cossin(ctgZAAmmu1)cossin(tgAAmm垂线偏差改正的计算公式u1）垂线偏差改正把以垂线为依据的地面观测的水平方向值归算到以法线为依据的方向值而应加的改正数称为垂线偏差改正。272）标高差改正h标高差改正：由照准点高度引起的改正前面已得出结论：不在同一子午面或不在同一平行圈上的两点的法线是不共面的。因此，当进行水平方向观测时，如果照准点高出椭球面某一高度，则照准面就不能通过照准点的法线同椭球面的交点，由此引起的方向偏差的改正称标高差改正，以表示。h1222222sincos)1(2ABHe22(1)/MaHH常2照准点大地纬度测站点至照准点的大地方位角与照准点的纬度B2对应的子午圈曲率半径照准点的觇标高标高差改正主要与照准点的高程有关