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学习笔记（信号与系统）第一章信号和系统信号的概念、描述和分类信号的基本运算典型信号系统的概念和分类1、常常把来自外界的各种报道统称为消息；信息是消息中有意义的内容；信号是反映信息的各种物理量，是系统直接进行加工、变换以实现通信的对象。信号是信息的表现形式，信息是信号的具体内容；信号是信息的载体，通过信号传递信息。2、系统(system)：是指若干相互关联的事物组合而成具有特定功能的整体。3、信号的描述——数学描述，波形描述。信号的分类：1）确定信号（规则信号）和随机信号确定信号或规则信号——可以用确定时间函数表示的信号；随机信号——若信号不能用确切的函数描述，它在任意时刻的取值都具有不确定性，只可能知道它的统计特性。2）连续信号和离散信号连续时间信号——在连续的时间范围内(-∞t∞）有定义的信号称为连续时间信号，简称连续信号，实际中也常称为模拟信号；离散时间信号——仅在一些离散的瞬间才有定义的信号称为离散时间信号，简称离散信号，实际中也常称为数字信号。3）周期信号和非周期信号周期信号——是指一个每隔一定时间T，按相同规律重复变化的信号；非周期信号——不具有周期性的信号称为非周期信号。4）能量信号与功率信号能量信号——信号总能量为有限值而信号平均功率为零；功率信号——平均功率为有限值而信号总能量为无限大。5）一维信号与多维信号信号可以表示为一个或多个变量的函数，称为一维或多维函数。6）因果信号若当t0时f(t)=0,当t0时f(t)≠0的信号,称为因果信号；非因果信号指的是在时间零点之前有非零值。4、信号的基本运算：信号的＋、－、×运算:两信号f1(·)和f2(·)的相＋、－、×指同一时刻两信号之值对应相加减乘。平移:将f(t)→f(t+t0)称为对信号f(·)的平移或移位,若t00，则将f(·)右移,否则左移。反转:将f(t)→f(–t)或f(k)→f(–k)称为对信号f(·)的反转或反折，从图形上看是将f(·)以纵坐标为轴反转180°。尺度变换（横坐标展缩）：将f(t)→f(at)，称为对信号f(t)的尺度变换。若a1，则f(at)将f(t)的波形沿时间轴压缩至原来的1/a；若0a1，则f(at)将f(t)的波形沿时间轴扩展为原来的a倍。微分：信号f(t)的微分运算指f(t)对t取导数，即：信号经过微分运算后突出显示了它的变化部分，起到了锐化的作用。积分：信号f(t)的积分运算指f(t)在（-∞，t）区间内的定积分，表达式为：信号经过积分运算后，使得信号突出变化部分变得平滑了，起到了模糊的作用，利用积分可以削弱信号中噪声的影响。5、典型的连续时间信号1）实指数信号：（对时间的微、积分仍是指数。）a0时，信号将随时间而增长；a0时，信号将随时间而衰减；a=0时，信号不随时间而变化，为直流信号。τ是指数信号的时间常数，τ越大，指数信号增长或衰减的速率越慢。2）正弦信号：对时间的微、积分仍是同频率正弦。3）复指数信号：（）实际不存在，但可以用于描述各种信号。σ0时，增幅振荡正、余弦信号；σ0时，衰减振荡正、余弦信号；σ=0时等振幅振荡正、余弦信号；ω=0时，实指数信号；σ=0且ω=0时，直流信号。4）抽样信号：Sa(t)具有以下性质：，；Sa（0）=1，Sa（t）=0（t=±π，±2π，…）。5）钟形信号：6、单位阶跃函数和单位冲激函数1）单位阶跃函数：可以方便地表示某些信号，用阶跃函数表示信号的作用区间，积分计算；○1单位冲激函数为偶函数：；○2加权特性：○3抽样特性：，；○4尺度变换：，，，；○5导数（冲激偶）：，冲激偶的抽样特性：，，冲激偶的加权特性:，。2）单位冲激函数：单位冲激函数是个奇异函数，它是对强度极大，作用时间极短一种物理量的理想化模型。3）冲激函数与阶跃函数关系:阶跃函数序列与冲激函数序列。7、信号的分解直流分量fD与交流分量fA(t):，其中fD为直流分量即信号的平均值。偶分量与奇分量：，其中fe=为偶分量，fo=为奇分量。脉冲分量一种分解为矩形窄脉冲分量：，另一分解为阶跃信号分量之叠加。实部分量与虚部分量：对于瞬时值为复数的信号f(t)可分解为实、虚部两个部分之和。正交函数分量：，用正交函数集来表示一个信号，组成信号的各分量就是相互正交的。8、系统：若干相互作用、相互联系的事物按一定规律组成具有特定功能的整体称为系统。9、系统的分类及性质连续系统与离散系统：输入和输出均为连续时间信号的系统称为连续时间系统；输入和输出均为离散时间信号的系统称为离散时间系统。连续时间系统的数学模型是用微分方程来描述，而离散时间系统的数学模型是用差分方程来描述。动态系统与即时系统：若系统在任一时刻的响应不仅与该时刻的激励有关，而且与它过去的历史状况有关，则称为动态系统或记忆系统；含有记忆元件(电容、电感等)的系统是动态系统，否则称即时系统或无记忆系统。线性系统与非线性系统：能同时满足齐次性与叠加性的系统称为线性系统。满足叠加性是线性系统的必要条件；不能同时满足齐次性与叠加性的系统称为非线性系统。时不变系统与时变系统：满足时不变性质的系统称为时不变系统。时不变性质:若系统满足输入延迟多少时间，其激励引起的响应也延迟多少时间。因果系统与非因果系统：激励引起的响应不会出现在激励之前的系统，称为因果系统；也就是说，如果响应r(t)并不依赖于将来的激励[如e(t+1)]，那么系统就是因果的。稳定系统与不稳定系统：一个系统，若对有界的激励f(.)所产生的响应y=f(.)也是有界时，则称该系统为有界输入有界输出稳定，简称稳定；即若│f(.)│∞，其│yf(.)│∞，则称系统是稳定的。线性时不变系统：LTI连续系统的微分特性和积分特性线性性质包括两方面：齐次性和可加性，若系统既是齐次的又是可加的，则称该系统是线性的，即T[af1(·)+bf2(·)]=aT[f1(·)]+bT[f2(·)]。当动态系统满足下列三个条件时该系统为线性系统：可分解性+零状态线性+零输入线性。10、描述连续动态系统的数学模型是微分方程，描述离散动态系统的数学模型是差分方程。解析描述-系统模拟框图描述。11、系统分析研究的主要问题：对给定的具体系统，求出它对给定激励的响应；也可以说，系统分析就是建立表征系统的数学方程并求出解答。采用的数学工具：卷积积分与卷积和，傅里叶变换，拉普拉斯变换，Z变换。第二章连续系统的时域分析微分方程的经典解法0+和0-初始值零输入响应与零状态响应冲激响应和阶跃响应卷积积分1、微分方程的一般形式：微分方程的经典解：y(t)(完全解)=yh(t)(齐次解)+yp(t)(特解）齐次解是齐次微分方程的解，yh(t)的函数形式由上述微分方程的特征根确定，而特解的函数形式与激励函数的形式有关。齐次解的函数形式仅与系统本身的特性有关，而与激励f(t)数形式无关，称为系统的固有响应或自由响应；特解的函数形式由激励确定，称为强迫响应。2、全响应＝齐次解(自由响应)＋特解(强迫响应)。齐次解：写出特征方程，求出特征根（自然频率或固有频率）；根据特征根的特点，齐次解有不同的形式；一般形式（无重根）：特解：根据输入信号的形式有对应特解的形式，用待定系数法确定；在输入信号为直流和正弦信号时，特解就是稳态解。用初始值确定积分常数，一般情况下，n阶方程有n个常数，可用n个初始值确定。3、0-状态称为零输入时的初始状态，即初始值是由系统的储能产生的；0+状态称为加入输入后的初始状态，即初始值不仅有系统的储能，还受激励的影响。从0-状态到0+状态的跃变：当系统已经用微分方程表示时，系统的初始值从0-状态到0+状态有没有跳变决定于微分方程右端自由项是否包含δ(t)及其各阶导数；如果包含有δ(t)及其各阶导数，说明相应的0-状态到0+状态发生了跳变。0+状态的确定：已知0-状态求0+状态的值，可用冲激函数匹配法；求0+状态的值还可以用拉普拉斯变换中的初值定理求出。4、各种响应用初始值确定积分常数：在经典法求全响应的积分常数时，用的是0+状态初始值；在求系统零输入响应时，用的是0-状态初始值；在求系统零状态响应时，用的是0+状态初始值，这时的零状态是指0-状态为零。5、冲激函数匹配法：目的：用来求解初始值，求（0＋）和（0-）时刻值的关系；应用条件：如果微分方程右边包含δ（t）及其各阶导数，那么（0＋）时刻的值不一定等于（0-）时刻的值；原理：利用t＝0时刻方程两边的δ（t）及各阶导数应该平衡的原理来求解（0＋）。6、零输入响应：没有外加激励信号的作用，只有起始状态所产生的响应；零状态响应：不考虑起始时刻系统储能的作用，由系统外加激励信号所产生的响应；LTI的全响应：y(t)=yx(t)+yf(t)。1）零输入响应，即求解对应齐次微分方程的解：当特征方程的根(特征根)为n个单根(不论实根、虚根、复数根)λ1，λ2，…，λn时，则yx(t)的通解表达式为：当特征方程的根(特征根)为n个重根(不论实根、虚根、复数根)λ1=λ2=…=λn时，yx(t)的通解表达式为:步骤总结：求系统的特征根，写出yx(t)的通解表达式；由于激励为零，所以零输入的初始值：，确定积分常数C1、C2、…、Cn；将确定出的积分常数C1、C2、…、Cn代入通解表达式，即得yx(t)。2）零状态响应，即求解对应非齐次微分方程的解：基本步骤：求系统的特征根，写出的通解表达式yfh(t)；根据f(t)的形式，确定特解形式，代入方程解得特解yfp(t)；求全解，若方程右边有冲激函数（及其各阶导数）时，根据冲激函数匹配法求得，确定积分常数C1、C2、…、Cn；将确定出的积分常数C1、C2、…、Cn代入全解表达式，即得。几种典型自由项函数相应的特解：7、系统响应划分：自由响应（Natural）＋强迫响应（forced）；暂态响应（Transient）+稳态响应（Steady-state）；零输入响应（Zero-input）＋零状态响应（Zero-state）。零输入响应是自由响应的一部分，零状态响应有自由响应的一部分和强迫响应构成。8、冲激响应：系统在单位冲激信号δ(t)作用下产生的零状态响应，称为单位冲激响应，简称冲激响应，一般用h(t)表示。阶跃响应：系统在单位阶跃信号u（t）作用下的零状态响应，称为单位阶跃响应，简称阶跃响应，一般用g(t)表示。阶跃响应与冲激响应的关系：线性时不变系统满足微、积分特性、。阶跃响应是冲击响应的积分，注意积分限，对于因果系统为。9、任意信号的分解：任意信号作用下的零状态响应：卷积定义：已知定义在区间（–∞，∞）上的两个函数f1(t)和f2(t)，则定义积分：（）于是，任意信号的零状态响应即为：卷积的计算步骤可分解为四步：1）换元：t换为τ→得f1(τ)、f2(τ)；2）反转平移：由f2(τ)反转→f2(–τ)右移t→f2(t-τ)；3）乘积：f1(τ)*f2(t-τ)；4）积分：τ从–∞到∞对乘积项积分。10、卷积的性质交换律：ƒ1(t)*ƒ2(t)=ƒ2(t)*ƒ1(t)；分配律：ƒ1(t)*[ƒ2(t)+ƒ3(t)]=ƒ1(t)*ƒ2(t)+ƒ1(t)*ƒ3(t)；结合律：[ƒ1(t)*ƒ2(t)]*ƒ3(t)=ƒ1(t)*[ƒ2(t)*ƒ3(t)]；微分性质：；积分性质：；微积分性质：；应用微积分性质的条件是必须成立，即必须有。f(t)与冲激函数的卷积：ƒ(t)*δ(t)=f(t)；ƒ(t)*δ(t-t0)=ƒ(t-t0)；ƒ(t-t1)*δ(t-t2)=ƒ(t-t1-t2)；δ(t-t1)*δ(t-t2)=δ(t-t1-t2)。f(t)与冲激偶函数的卷积：ƒ(t)*δ'(t)=f'(t)*δ(t)=ƒ'(t)；ƒ(t)*δ''(t)=ƒ(t)。f(t)与阶跃函数的卷积：；。时移性质：若ƒ1(t)*ƒ2(t)=ƒ(t)，则有ƒ1(t-t1)*ƒ2(t-t2)=ƒ(t-t1-t2)。利用卷积积分的性质来计算卷积积分，可使卷积积分的计算大大简化。第三章频域分析第一节引言1、从本章开始由时域转入变换域分析。首先讨论傅里叶变换，傅里叶变换是在傅里