中考数学综合题专题复习【圆】专题解析

数学专题之【圆】精品解析———————————————————————————————————————1中考数学综合题专题复习【圆】专题解析一.教学内容：1.圆的内容包括：圆的有关概念和基本性质，直线和圆的位置关系，圆和圆的位置关系，正多边形和圆。2.主要定理：（1）垂径定理及其推论。（2）圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理。（3）圆周角定理、弦切角定理及其推论。（4）圆内接四边形的性质定理及其推论。（5）切线的性质及判定。（6）切线长定理。（7）相交弦、切割线、割线定理。（8）两圆连心线的性质，两圆的公切线性质。（9）圆周长、弧长；圆、扇形，弓形面积。（10）圆柱、圆锥侧面展开图及面积计算。（11）正n边形的有关计算。二.中考聚焦：圆这一章知识在中考试题中所占的分数比例大约如下表：内容圆的有关性质直线和圆的位置关系圆与圆的位置关系正多边形和圆所占分数百分比5%～15%8%～16%3%～12%2%～8%圆的知识在中考中所占的比例大，题型多，常见的有填空题、选择题、计算题或证明题，近年还出现了一些圆的应用题及开放型问题、设计型问题，中考的压轴题都综合了圆的知识。三.知识框图：圆圆的有关性质直线和圆的位置关系圆和圆的位置关系正多边形和圆数学专题之【圆】精品解析———————————————————————————————————————2圆的有关性质圆的定义点和圆的位置关系（这是重点）不在同一直线上的三点确定一个圆圆的有关性质轴对称性—垂径定理（这是重点）旋转不变性圆心角、弧、弦、弦心距间的关系圆心角定理圆周角定理（这是重点）圆内接四边形（这是重点）直线和圆的位置关系相离相交相切切线的性质（这是重点）切线的判定（这是重点）弦切角（这是重点）和圆有关的比例线段（这是重点难点）圆和圆的位置关系外离内含相交相切内切（这是重点）外切（这是重点）两圆的公切线正多边形和圆正多边形和圆正多边形定义正多边形和圆正多边形的判定及性质正多边形的有关计算（这是重点）圆的有关计算圆周长、弧长（这是重点）圆、扇形、弓形面积（这是重点）圆柱、圆锥侧面展开图（这是重点）【典型例题】【例1】.爆破时，导火索燃烧的速度是每秒0.9cm，点导火索的人需要跑到离爆破点120m以外的安全区域。这个导火索的长度为18cm，那么点导火索的人每秒钟跑6.5m是否安全？分析：爆破时的安全区域是以爆破点为圆心，以120m为半径的圆的外部，如图所示：数学专题之【圆】精品解析———————————————————————————————————————3O120m爆破中心安全区域解：导火索燃烧的时间为180920.()s相同时间内，人跑的路程为2065130.()m人跑的路程130120mm∴点导火索的人非常安全【例2】.已知梯形ABCD内接于⊙O，AB∥CD，⊙O的半径为4，AB＝6，CD＝2，求梯形ABCD的面积。分析：要求梯形面积必须先求梯形的高，即弦AB、CD间距离，为此要构造直角三角形利用勾股定理求高。为了便于运用垂径定理，故作OE⊥CD于E，延长EO交AB于F，证OF⊥AB。此题容易出现丢解的情况，要注意分情况讨论。解：分两种情况讨论：（1）当弦AB、CD分别在圆心O的两侧时，如图（1）：过O作OE⊥CD于E，延长EO交AB于F连OC、OB，则CE＝DE∵AB∥CD，OE⊥CD∴OF⊥AB，即EF为梯形ABCD的高在Rt△OEC中，∵EC＝1，OC＝4OEOCEC22224115同理，OF7EFOEOF157SABCD梯形1226157415741547（2）当弦AB、CD在圆心O的同侧时，如图（2）：数学专题之【圆】精品解析———————————————————————————————————————4过O作OE⊥CD于E，交AB于F以下证法同（1），略。EF157SABCD梯形1226157415741547梯形的面积为或ABCD41574157【例3】.如图，已知AB为⊙O的直径，P是OB的中点，求tanC·tanD的值。分析：为了求tanC·tanD的值，需要分别构造出含有∠C和∠D的两个直角三角形。而AB是直径，为我们寻找直角创造了条件。连BC、BD，则得到Rt△ACB和Rt△ADB。可以发现∠ACD＝∠ABD，∠ADC＝∠ABC，于是，可以把tanC·tanD转化为tantan∠·∠···，则可求。ABDABCADBDACBCADACBDBC解：连结BC、BD∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°∵∠ACD＝∠ABD，∠ADC＝∠ABCtantantantanCDABDABCADBDACBCADACBDBC·∠·∠···作AE⊥CD于E，作BF⊥CD于F则△AEC∽△ADBACAEABAD∴AC·AD＝AE·AB同理，BD·BC＝BF·AB数学专题之【圆】精品解析———————————————————————————————————————5tantanCDAEABBFABAEBF···∵△APE∽△BPF∴AEBFAPBP∵P为半径OB的中点∴，∴APBPAEBF313∴tanC·tanD＝3【例4】.如图，△是等边三角形，是⌒上任一点，求证：ABCDBCDBDCDA分析：由已知条件，等边△ABC可得60°角，根据圆的性质，可得∠ADB＝60°，利用截长补短的方法可得一个新的等边三角形，再证两个三角形全等，从而转移线段DC。证明：延长DB至点E，使BE＝DC，连结AE∵△ABC是等边三角形∴∠ACB＝∠ABC＝60°，AB＝AC∴∠ADB＝∠ACB＝60°∵四边形ABDC是圆内接四边形∴∠ABE＝∠ACD在△AEB和△ADC中，BECDABEACDABAC∠∠AEBADC∴AE＝AD∵∠ADB＝60°∴△AED是等边三角形∴AD＝DE＝DB＋BE∵BE＝DC∴DB＋DC＝DA说明：本例也可以用其他方法证明。如：（1）延长DC至F，使CF＝BD，连结AF，再证△ACF≌△ABD，得出AD＝DF，从而DB＋CD＝DA。数学专题之【圆】精品解析———————————————————————————————————————6（2）在DA上截取DG＝DC，连结CG，再证△BDC≌△AGC，得出BD＝AG，从而DB＋CD＝DA。【例5】.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，AD＝DC，分别延长BA、CD交于点E，BF⊥EC交EC的延长线于F，若EA＝AO，BC＝12，求CF的长。分析：在Rt△CFB中，已知BC＝12，求CF，故可寻找与之相似的直角三角形，列比例式求解。解：连结OD，BDADDCADDC，∴⌒⌒∴∠ABC＝∠AOD∴OD∥BC∴ODBCEOEB∵EA＝AO，∴EA＝AO＝BOBCODOD1212238，∴，∴∴AB＝16，BE＝24∵四边形ABCD内接于⊙O∴∠EDA＝∠EBC∵∠E是公共角∴△EDA∽△EBC∴ADBCEAECEDEB设AD＝DC＝x，ED＝y，则有xyxy12248解方程组，得：x42AD42∵AB为⊙O的直径∴∠ADB＝∠F＝90°又∠DAB＝∠FCB∴Rt△ADB∽Rt△CFB数学专题之【圆】精品解析———————————————————————————————————————7ADCFABBCCF，即421612CF32说明：与圆有关的问题，大都与相似三角形联系在一起。此题运用了两次相似三角形，找到线段之间的关系，并且运用了方程的思想解几何问题，这是解几何问题的一种重要方法。【例6】.如图，已知等腰△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点、，过作⊙的切线交于，若＝，，求的长。FDDOFCEAF7cosBCE35解：连结FD∵AB是直径，∴AD⊥BC∵AB＝AC，∴BD＝DC，∠FAD＝∠DAB∵四边形ABDF是圆内接四边形∴∠CFD＝∠B∵∠C是公共角∴△ABC∽△DFC∴CDACDFAB∵AB＝AC∴CD＝DF（也可以证∠CFD＝∠B，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠C＝∠CFD，∴CD＝DF。）∵DE切⊙O于D∴∠FAD＝∠EDF又∵∠CDE＋∠EDF＝∠FAD＋∠DAB∴∠CDE＝∠DAB∴∠CDE＝∠EDF∵CD＝FD∴CE＝EF，DE⊥CFcosBBC35，∠∠cosC35数学专题之【圆】精品解析———————————————————————————————————————8在中，RtACDCCDACcos35∴设CD＝3x，AC＝5x在中，，即RtCDECECCDECxcos353ECx95ACAFCE257185xxx5∴EC＝9【例7】.如图，相交两圆的公共弦长为120cm，它分别是一圆内接正六边形的边和另一圆内接正方形的边。求两圆相交弧间阴影部分的面积。解：∵公共弦AB＝120aR46120rRa6624222212060603OaRABo1446012022602，，rRaOo442422222602606090，∠SSSRarAmBAOBAOB弓形扇形229036012180036004244SSSRarAnBAOBAOB弓形扇形1160360122400360036266SSSAmBAnB阴影弓形弓形4200360013两圆相交弧间阴影部分的面积为42003600132cm数学专题之【圆】精品解析———————————————————————————————————————9【例8】.一个长方体的香烟盒里，装满大小均匀的20支香烟。打开烟盒的顶盖后，二十支香烟排列成三行，如图（1）所示。经测量，一支香烟的直径约为0.75cm，长约为8.4cm。（1）试计算烟盒顶盖ABCD的面积（本小题计算结果不取近似值）。（2）制作这样一个烟盒至少需要多少面积的纸张（不计重叠粘合的部分，计算结果精确到，取）0.1cm3173.解题点拨：四边形ABCD中，AD长为7支香烟的直径之和，易求；求AB长，只要计算出如图（2）中的O1E长即可。解：（1）如图（2），作O1E⊥O2O3OOOOOO12233107534.OE13432338ABcm2338343333ADcm734214∴四边形ABCD的面积是：214333463363162cm（2）制作一个烟盒至少需要纸张：263363163334842148414409614412....cm数学专题之【圆】精品解析———————————————————————————————————————10【例9】.在直径为20cm的圆中，有一弦长为16cm，求它所对的弓形的高。解：一小于直径的弦所对的弓形有两个：劣弧弓形与优弧弓形。HABCOG如图，HG为⊙O的直径，且HG⊥AB，AB＝16cm，HG＝20cmOHcmBCABcm10128，OCOBBCcm22221086CHOHOCcm1064CGOCOGcm61016故所求弓形的高为4cm或16cm【例10】.，，点有两条弦，过的直径⊙cm3ADcm2=ACA2cmABO求：∠CAD所夹圆内部分的面积。解：符合题设条件的图形有两种情况：（1）圆心O在∠CAD的内部，如图（1），连结OC、OD，过O作OE⊥AD于点EOAOCAC12，∴OC⊥AB