复数及向量

§1.1复数1、复数域2、复平面3、模与幅角4、复数其它形式的运算21、复数域1.1虚单位:.,,称为虚数单位引入一个新数为了解方程的需要i.1:2在实数集中无解方程实例x对虚数单位的规定:;1)1(2i.)2(四则运算样的法则进行可以与实数在一起按同i3虚数单位的特性:;1ii;12i;23iiii;1224iii;145iiii;1246iii;347iiii;1448iii……41.2复数的代数形式的定义:.,,为复数称对于yixzRyx;,0,0称为纯虚数时当iyzyx.,0,0xixzy我们把它看作实数时当.000,0,0特别iyx时当5两复数相等当且仅当它们的实部和虚部分别相等.复数z等于0当且仅当它的实部和虚部同时等于0.说明两个数如果都是实数,可以比较它们的大小,如果不全是实数,就不能比较大小,也就是说,.设：z1=x1+i·y1z2=x2+i·y2复数不能比较大小!!!61.1.3复数的代数运算,,222111iyxziyxz设两复数1.两复数的和:).()(212121yyixxzz2.两复数的积:).()(2112212121yxyxiyyxxzz3.两复数的商:.222221122222212121yxyxyxiyxyyxxzz注解：复数的减法运算是加法运算的逆运算复数的除法运算是乘法运算的逆运算复数的四则运算与实数的四则运算保持一致7定理:全体复数关于上述运算做成一个数域.称为复数域，用C表示.复数的四则运算满足以下运算律①加法交换律1221zzzz②加法结合律321321)()(zzzzzz③乘法交换律1221zzzz④乘法结合律321321)()(zzzzzz⑤乘法对加法的分配律3121321)(zzzzzzz81.4共轭复数:实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两个复数称为共轭复数.,的zz共轭复数记为.,iyxziyxz则若例2.的积与计算共轭复数yixzyixz解))((yixyix22)(yix.22yx.,的积是实数两个共轭复数zz结论：.22yxzz即：92、复平面..,,,.),(面面叫复平这种用来表示复数的平轴叫虚轴或纵轴轴通常把横轴叫实轴或用来表示复数的平面可以一个建立了直角坐标系因此对应成一一与有序实数对复数yxyxiyxz.),(表示面上的点可以用复平复数yxiyxz),(yxzxyxyoiyxz对应关系该复数和向量也有一一表示还可以用复平面上的复数.向量oziyxz复数的向量表示法10日常中我们所遇到的量可以分为两类：一类量用一个数值便可以完全表示，比如面积、温度、时间或质量等都属于这一类，这一类质量称为数量（或标量）；另一类量，除了要用一个数以外，还要指明它的方向才能够完全表示,比如速度、加速度、力等都属于这一类，这一类的量称为向量（或矢量）。3、向量的概念及运算向量可以用一条有向线段形象地表示，线段的方向表示向量的方向，它的长度称为向量的模。零向量的方向可以看作是任意的。模等于1的向量叫做单位向量。两个向量的方向相同、模相等时，称它们是相等的向量,因此，一个向量经过平移后与原向量相等。与的模相同而方向相反的向量叫做的负向量11向量的加减运算xyo1z2z21zzxyo1z2z21zz2z两个复数的加减法运算与相应的向量的加减法运算一致.12两个复数的乘除法运算与相应的向量的乘除法运算一致.向量的乘除运算xyoxyoZ1Z21212ZZ21ZZ21ZZZ2Z1222Z1Z21134、复数的模与幅角yxtan1412121122()121212()111222iiiiiizzrerrrezrerezrr5、复数的其它形式及其代数运算izre(cossin)zri（三角式）（指数式）15111ZZ（极坐标式）乘法运算：设ZZ222ZZ则212121ZZZZ除法运算：设111ZZ222ZZ212121ZZZZ则166、旋转因子：je1je（模为1，辐角为的复数）一个复数乘以je等于把其逆时针旋转度j2jeZ+j+1jZ-jZjZ相当于把Z逆时针旋转90度