第三节-复数的向量表示

第7章复数§7.3复数的向量表示创设情境兴趣导入任何一个实数a都可以用数轴上的一个点表示．例如，实数1.5可以用数轴上的点A表示动脑思考探索新知i()zababR，由复数相等的定义知，任何一个复数都对应唯一的有序实数对(a，b)，而有序实数对(a，b)又对应直角坐标平面内的唯一的一个点Z，xbaＯZ(a,b)其坐标为(a，b)。一.复数的向量表示建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面（如图）.于是，复数i()zababR，可以用直角坐标系中的点Z(a，b)表示．动脑思考探索新知xbaＯZ(a,b)在复平面内，x轴上的点都表示实数，y轴上除去原点以外的点都表示纯虚数，因此，一般将x轴称为实轴，y轴称为虚轴.巩固知识典型例题例1用复平面内的点表示复数：123434i34i2i3zzzz，，，．1z1(34)Z，，解如图所示，表示复数的点是2z2(34)Z，，表示复数的点是3z3(02)Z，，表示复数的点是4z4(30)Z，．表示复数的点是1234o-1-2-4-3123-1-2-3)4,3(1z3(0,2)z4(3,0)z2(3,4)zxy1234o-1-2-4-3123-1-2-3)4,3(1z3(0,2)z4(3,0)z2(3,4)zxy巩固知识典型例题1234o-1-2-4-3123-1-2-3)4,3(1z3(0,2)z4(3,0)z2(3,4)zxy1234o-1-2-4-3123-1-2-3)4,3(1z3(0,2)z4(3,0)z2(3,4)zxy134iz234iz在例1中，与是于实轴对称.关于1Z2Z与共轭复数，它们所对应的点一般地，复平面内表示一对共轭复数实轴对称．izabizab()Zab，()Zab，和的点和关动脑思考探索新知xoyZ(a,b)abizab，如图所示，设复平面内的点Z（a，b）表示复数以原点izabOZ与向量之间具有一一对应OZOZ，那么向量由点Z唯一确定；O为始点，点Z为终点作位置向量izab）反之，点Z（a，b）（即复数OZ唯一确定.于是复数也可以由向量关系（复数0与零向量对应），因此，izabOZ可用向量表示．复数巩固知识典型例题例2用向量表示下列复数：123412i3i1.5i2zzzz，，，．12o-1-212-1-2-3xy-1.51z4z3z2z12o-1-212-1-2-3xy-1.51z4z3z2z1234OZOZOZOZ、、、解如图所示，向量1234zzzz、、、．分别表示复数运用知识强化练习指出图中各点所表示的复数．动脑思考探索新知xoyZ(a,b)abOZizab向量的模叫做复数的模（如图），记做ziab，或22izabOZab即时z的模等于实数a的绝对值.特别地，当b=0时，z=a，于是za，此0z当复数时，以实轴的正半轴为始边，向量OZ为终边的角叫做复数izab的辐角．izab非零复数的辐角都有无穷多个，其中区间[0,2)内的辐角叫做辐角主值，记作argz．二.复数的模和辐角动脑思考探索新知i0zab(,)Zab时，辐角可以由对应点当复数的位置确定，分为如下两种情况：(,)Zabtanba(,)Zab（1）当点在某个象限内时，其辐角可以由和点所在的象限确定；(,)Zab（2）当点分别在正半实轴、负半实轴、正半虚轴或负半虚轴上πππ22、、．时，其辐角分别为0、i0zab时，对应的向量是零向量，辐角可以取任意值.当复数xoyZ(a,b)ab巩固知识典型例题例3求下列各复数的模与辐角主值．1234(1)13i(2)1i(3)2i(4)5izzzz；；；．13ab，1(13)Z，解（1）由知点在第一象限，故辐角为第一象限的角．由题意知2211(3)2z．3tan31，所以1πarg3z．又巩固知识典型例题例4求下列各复数的模与辐角主值．1234(1)13i(2)1i(3)2i(4)5izzzz；；；．1,1ab2(11)Z，（2）由知点在第四象限，故辐角为第四象限的角．由题2221(1)2z．意知1tan1,12πarg4z．又所以巩固知识典型例题例5求下列各复数的模与辐角主值．1234(1)13i(2)1i(3)2i(4)5izzzz；；；．2,1ab3(2,1)Z（3）由知点在第三象限，故辐角为第三象限的角．由题意知223(2)(1)3,z所以3arg35.3180144.7.z12tan,22又巩固知识典型例题例6求下列各复数的模与辐角主值．1234(1)13i(2)1i(3)2i(4)5izzzz；；；．（4）由0,50ab知，2244π055arg2zz，．运用知识强化练习求下列复数的模和辐角主值．12(1)44i225izz；()．12(1)3i24zz；()．自我反思目标检测什么叫做复数的模？如何求复数的模？izabzOZ向量的模叫做复数的模，记做或iab22izabOZab．，即继续探索活动探究作业读书部分：阅读教材相关章节书面作业：教材习题7.4（必做）