人教版中职数学(拓展模块)2.3《抛物线》3

2.3抛物线第一课时2.3.1抛物线及其标准方程复习回顾t57301p21.椭圆和双曲线的统一方程是什么？Ax2＋By2＝1（AB≠0，A≠B）2.椭圆和双曲线有什么共同的几何特征？到焦点的距离与到相应准线的距离之比等于离心率.2(0)yaxbxca二次函数的图象是一条抛物线，如果从解析几何的观点研究抛物线，首先必须明确抛物线的几何特征，然后建立抛物线的标准方程，这是本节课要探讨的问题.2(0)yaxbxca课题引入轨迹平面内与一个定点F的距离和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.HMFl探究（一）：抛物线的概念HMFl思考：为什么规定点F不在直线l上？MFl总结：平面内到一个定点F的距离与到一条定直线l(不经过点F)的距离之比为常数e的点的轨迹与常数e的取值有关，具体怎样分类？当0＜e＜1时轨迹是椭圆，当e＞1时轨迹是双曲线;当e＝1时轨迹是抛物线.x探究（二）：抛物线的标准方程思考1:比较椭圆、双曲线标准方程的建立过程，如何建立坐标系才能使抛物线的方程最简单？HMFOy由抛物线定义可知，当抛物线的焦点和准线一定时，所对应的抛物线惟一确定,设焦点与准线的距离为p.思考2:设|KF|＝p(p＞0为常数)，那么焦点F的坐标和准线l的方程分别是什么？焦点为，(,0)2pF2px准线l的方程为.xKHMFOy思考3：根据抛物线定义，抛物线的原始方程是什么？化简后的方程是什么？22()22ppxyx原始方程：22()22ppxyxxKHMFOy化简得y2＝2px.方程y2＝2px(p＞0)叫做抛物线的标准方程，它所表示焦点在x轴正半轴上，开口向右的抛物线.xlFOy思考4:若抛物线顶点在原点，焦点在坐标轴上，其开口方向有哪几种可能？向左、向上、向下.lxOFy2222143126xyxylOFxy方程y2＝－2pxx2＝2pyx2＝－2py焦点(,0)2p-(0,)2p(0,)2p-准线2px=2py=-2py=思考5：下列各图中抛物线的标准方程、焦点坐标和准线方程分别是什么？lOFxy思考6：根据抛物线标准方程确定焦点所在坐标轴和非零坐标有什么规律？焦点在一次项对应的坐标轴上，其非零坐标等于一次项系数的四分之一.练习：二次函数y＝ax2(a≠0)的图象是抛物线，其焦点坐标和准线方程分别是什么？焦点为，1(0,)4a14ya=-准线方程为理论迁移例1已知抛物线的标准方程是y2＝6x，求它的焦点坐标和准线方程.焦点为，准线方程为.3(,0)232x=-例2已知抛物线的焦点坐标是F(0，－2)，求它的标准方程．x2＝－8y.例3求满足下列条件的抛物线的标准方程：（1）过点（－3，2）；（2）焦点在直线x－2y－4＝0上.224932yxxy或（1）（2）22168.yxxy或216.yx2222143126xyxyOMxyOFxyF思考题：点P是抛物线x2=4y上一动点，点A的坐标为（12,6），求点P到点A的距离与到x轴的距离之和的最小值.需要先判断点与抛物线的位置关系1.椭圆、双曲线、抛物线的定义特征可统一为：到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为常数，抛物线即为椭圆与双曲线的“分界线”，这体现了对立统一的辨证思想.小结作业1414142.抛物线的标准方程有4种形式，并且二次项系数为1，一次项及其系数的符号能确定抛物线的开口方向，一次项系数的是焦点的非零坐标值.141414作业：P59练习：1，2，3.学海第9课时2.4抛物线第二课时2.4.1抛物线及其标准方程复习回顾平面内与一个定点F的距离和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹.2.抛物线的标准方程有哪几种形式？其焦点坐标和准线方程分别是什么？1.抛物线的定义是什么？HMFly2＝2pxx2＝2pyy2＝－2pxx2＝－2py(,0)2p(,0)2p-(0,)2p(0,)2p-2px=-2px=2py=-2py=lxOFy2222143126xyxylOFxylOFxy2222143126xyxylOFxy22168.yxxy或22168.yxxy或课前练习：若点M到点F（4，0）的距离比它到直线l:x＋5＝0的距离少1，求点M的轨迹方程.216.yx216.yxxlFOyM探究（一）：抛物线的生成方式思考1:如图，一个动圆M经过一定点A，且与定直线l相切，则圆心M的轨迹是什么？AMl以点A为焦点，直线l为准线的抛物线.思考2:如图，一个动圆M与一个定圆C外切，且与定直线l相切，则圆心M的轨迹是什么？CMl以点C为焦点的抛物线.思考3:如图，两定直线a、b互相垂直，点A为直线a上一定点，点B为直线b上一动点，过点B作AB的垂线，交直线a于点C，在CB的延长线上取点P，使BP＝BC，则点P的轨迹是什么？以点A为焦点的抛物线.BACPabD思考1:抛物线方程y2＝2px(p＞0)与y2＝－2px(p＞0)有什么共同特点？这两个方程可以合成一个什么形式的方程？探究（二）：抛物线的一般式方程y2＝mx(m≠0)思考2：抛物线y2＝mx(m≠0)的开口方向与m的取值有什么关系？其焦点坐标和准线方程分别是什么？焦点为，准线方程为.(,0)4m4mx=-思考3:抛物线方程x2＝2py(p＞0)与x2＝－2py(p＞0)有什么共同特点？这两个方程可以合成一个什么形式的方程？x2＝my(m≠0)思考4：抛物线x2＝my(m≠0)的开口方向与m的取值有什么关系？其焦点坐标和准线方程分别是什么？焦点为，准线方程为.(0,)4m4my=-例1一种卫星接收天线的轴截面如图所示，卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处.已知接收天线的口径（直径）为4.8m，深度为0.5m，试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标.方程：y2＝11.52x焦点：（2.88，0）xyO例2求准线平行于x轴，且截直线y＝x－1所得的弦长为的抛物线的标准方程.x2＝5y或x2＝－y.例3过抛物线y2＝4x的焦点F作直线l，交抛物线于A、B两点，求线段AB的中点M的轨迹方程.xFOyMBAy2＝2(x－1).10思考题：已知抛物线的焦点F在y轴正半轴上，A为抛物线上一点，M为抛物线的准线与y轴的交点，且|AM|＝，|AF|＝3，求抛物线的标准方程.17AOFxyMCBx2＝8yAOFxyMBCx2＝4y小结作业1.以抛物线定义为理论依据，探究抛物线的各种生成方式，是一个研究性学习课题，我们可从中感受到数学的无穷魅力.2.抛物线标准方程中的参数p是正数，一般方程中的参数m是非零实数.求抛物线标准方程时，若焦点位置不确定，可将抛物线方程设为一般式，用代定系数法求解.作业：P64习题2.3A组：1，2.3.当直线与圆锥曲线相交时，利用可解决弦长问题，利用“代点相减”可沟通弦的中点与直线的斜率之间的关系，这是解析几何中的基本技巧.212||1dxxk=-+212||1dxxk=-+2.3抛物线第一课时2.3.2抛物线的简单几何性质问题提出t57301p21.抛物线的几何特征、标准方程和一般方程分别是什么？到焦点的距离和到准线的距离相等．y2＝±2px或x2＝±2py（p＞0）.y2＝mx或x2＝my（m≠0）.几何特征：标准方程：一般方程：2(0)yaxbxca2.抛物线y2＝mx和x2＝my的焦点坐标和准线方程分别是什么？(,0)4m焦点为，准线方程为；(,0)4m4mx=-抛物线y2＝mx：抛物线x2＝my：焦点为，准线方程为.(0,)4m4my=-探究（一）：抛物线的基本几何性质对于抛物线y2＝2px（p＞0）类比椭圆、双曲线的几何性质，讨论抛物线的几何性质？OxyF1、范围：横坐标：x≥0；纵坐标：y∈R.2、对称性：OxyF抛物线关于x轴对称.把y换成-y方程不变，图像关于x轴对称.3、顶点：抛物线与其对称轴的交点叫做抛物线的顶点.顶点：(0，0)4、离心率：e＝1OxyF顶点是焦点到准线的垂线段之中点理论迁移例1已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，且经过点，求它的标准方程.y2＝4x(2,22)M探究（二）：抛物线的拓展几何性质p值越大，抛物线开口也越大．（对同一个x值，p值越大，|y|也大）思考1:在抛物线方程y2＝2px（p＞0）中，参数p的变化对抛物线的形状产生什么影响？OxyF思考2:设点M为抛物线y2＝2px（p＞0）上一动点，O为原点，当点M沿抛物线向远处运动时，直线OM的斜率如何变化？OxyM直线OM的斜率逐渐减少并趋向于0.2ypkxy==思考3：抛物线y2＝2px（p＞0）上的点M(x0，y0)到焦点F的距离有何计算公式？0||2pMFx=+OxyFMH焦半径公式讨论：已知直线l过定点P(－2，1)，斜率为k，当k为何值时，直线l与抛物线y2＝4x只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？OxyP（三）直线与抛物线的位置关系思考1：若直线l与抛物线只有一个公共点，则直线l与抛物线的相对位置关系如何？直线l与抛物线相切或与其对称轴平行.Oxy思考2：过抛物线y2＝2px（p＞0）上一点M(x0，y0)的切线方程是什么？y0y＝p(x0＋x)OxMy|AB|＝8例2斜率为1的直线l经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点，求线段AB的长.OxyBAF理论迁移例3正三角形的一个顶点在原点，另两个顶点A、B在抛物线y2＝2px（p＞0为常数）上，求这个正三角形的边长.22168.yxxy或22168.yxxy或216.yxOxyBA43p1.抛物线只有一条对称轴，没有对称点，焦点在对称轴上，抛物线的对称轴就是焦点与顶点的连线，任何一条平行于对称轴的直线与抛物线有且只有一个公共点.小结作业14141414142.抛物线只有一个顶点和一个焦点，离心率恒为1，且抛物线没有渐近线.作业：P63练习：1，3.学海第10课时3.对于开口向右、向左、向上、向下的抛物线的几何性质，其顶点、离心率相同，对称轴不都相同，范围各有不同.2.4抛物线第二课时2.4.2抛物线的简单几何性质复习回顾抛物线y2＝2px（p＞0）的范围、对称性、顶点、离心率、焦半径分别是什么？范围：x≥0，y∈R；对称性：关于x轴对称；顶点：原点；离心率：e＝1；焦半径：.0||2pMFx=+课题引入：过抛物线的焦点F作直线交抛物线于A、B两点，线段AB叫做抛物线的焦点弦，今天我们一起探讨抛物线的焦点弦性质.OxyBAF探究（一）：焦点弦的代数性质思考1:焦点弦AB的长如何计算？设点A(x1，y1)，B(x2，y2)为抛物线y2＝2px（p＞0）上两点，且AB为焦点弦.|AB|＝x1＋x2＋pOxyBAF设点A(x1，y1)，B(x2，y2)为抛物线y2＝2px（p＞0）上两点，且AB为焦点弦.思考2：抛物线的焦点弦AB的长是否存在最小值？若存在，其最小值为多少？垂直于对称轴的焦点弦最短，叫做抛物线的通径，其长度为2p．OxyBAF思考：△AOB面积如何求？思考3:A、B两点的坐标是否存在相关关系？若存在，其坐标之间的关系如何？221212,4pyypxx=-=221212,4pyypxx=-=OxyBAF221212,4pyypxx=-=思考4：利用焦半径公式，|AF|·|BF|可作哪些变形？|AF|与|BF|之间存在什么内在联系？112||||AFBFp+=OxyBAF探究（二）：焦点弦的几何性质设AB为抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点弦.OxyBAF思考1：以焦点弦为直径的圆与准线的位置关系如何？以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.讨论:(1)以焦点为圆心，以焦点到顶点的距离为半径的圆与抛物线的位置关系？（2）以焦半径为直径的圆与y轴的位置关系？思考2:设点M为抛物线准线与x轴的交点，则∠AMF与∠BMF的大小关系如何？相等(0,)4m(0,)4m(