2007年福建卷数学（理科）含答案

2007年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）（福建卷）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数21(1i)等于（）A．12B．12C．1i2D．1i22．数列{}na的前n项和为nS，若1(1)nann，则5S等于（）A．1B．56C．16D．1303．已知集合{}{12}AxxaBxx，，且()ABRRð，则实数a的取值范围是（）A．1a≤B．1aC．2a≥D．2a4．对于向量，，abc和实数，下列命题中真命题是（）A．若0ab，则0a=或0b=B．若0a=，则0或0aC．若22ab，则ab或a=bD．若ab=ac，则b=c5．已知函数()sin(0)fxx的最小正周期为，则该函数的图象（）A．关于点0，对称B．关于直线x对称C．关于点0，对称D．关于直线x对称6．以双曲线221916xy的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是（）A．221090xyxB．2210160xyxC．2210160xyxD．221090xyx7．已知()fx为R上的减函数，则满足1(1)ffx的实数x的取值范围是（）A．(11)，B．(01)，C．(10)(01)，，D．(1)(1)，，8．已知mn，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A．mnmn，，∥，∥∥B．mnmn∥，，∥C．mmnn⊥，⊥∥D．nmnm∥，⊥⊥9．把21(1)(1)(1)nxxx展开成关于x的多项式，其各项系数和为na，则21lim1nnnaa→等于（）A．14B．12C．1D．210．顶点在同一球面上的正四棱柱ABCDABCD中，12ABAA，，则AC，两点间的球面距离为（）A．B．C．24D．2211．已知对任意实数x，有()()()()fxfxgxgx，，且0x时，()0()0fxgx，，则0x时（）A．()0()0fxgx，B．()0()0fxgx，C．()0()0fxgx，D．()0()0fxgx，12．如图，三行三列的方阵中有9个数(123123)ijaij，，；，，，从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是（）A．37B．47C．114D．1314第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置．111213212223313233aaaaaaaaa13．已知实数xy，满足2203xyxyy≥，≤，≤≤，则2zxy的取值范围是________．14．已知正方形ABCD，则以AB，为焦点，且过CD，两点的椭圆的离心率为______．15．两封信随机投入ABC，，三个空邮箱，则A邮箱的信件数的数学期望E．16．中学数学中存在许多关系，比如“相等关系”、“平行关系”等等．如果集合A中元素之间的一个关系“”满足以下三个条件：（1）自反性：对于任意aA，都有aa；（2）对称性：对于abA，，若ab，则有ba；（3）传递性：对于abcA，，，若ab，bc，则有ac．则称“”是集合A的一个等价关系．例如：“数的相等”是等价关系，而“直线的平行”不是等价关系（自反性不成立）．请你再列出三个等价关系：______．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）在ABC△中，1tan4A，3tan5B．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若ABC△最大边的边长为17，求最小边的边长．18．（本小题满分12分）如图，正三棱柱111ABCABC的所有棱长都为2，D为1CC中点．（Ⅰ）求证：1AB⊥平面1ABD；（Ⅱ）求二面角1AADB的大小；（Ⅲ）求点C到平面1ABD的距离．19．（本小题满分12分）某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元（35a≤≤）的管理费，预计当每件产品的售价为x元（911x≤≤）时，一年的销售量为2(12)x万件．（Ⅰ）求分公司一年的利润L（万元）与每件产品的售价x的函数关系式；（Ⅱ）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值()Qa．ABCD1A1C1B20．（本小题满分12分）如图，已知点(10)F，，直线:1lx，P为平面上的动点，过P作直线l的垂线，垂足为点Q，且QPQFFPFQ．（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）过点F的直线交轨迹C于AB，两点，交直线l于点M，已知1MAAF，2MBBF，求12的值；21．（本小题满分12分）等差数列{}na的前n项和为1312932nSaS，，．（Ⅰ）求数列{}na的通项na与前n项和nS；（Ⅱ）设()nnSbnnN，求证：数列{}nb中任意不同的三项都不可能成为等比数列．22．（本小题满分14分）已知函数()exfxkxxR，（Ⅰ）若ek，试确定函数()fx的单调区间；（Ⅱ）若0k，且对于任意xR，()0fx恒成立，试确定实数k的取值范围；（Ⅲ）设函数()()()Fxfxfx，求证：12(1)(2)()(e2)()nnFFFnnN．Oyx11lF福建数学试题（理工农医类）参考答案一、选择题：本大题考查基本概念和基本运算，每小题5分，满分60分．1．D2．B3．C4．B5．A6．A7．C8．D9．D10．B11．B12．D二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算，每小题4分，满分16分．13．[57]，14．2115．2316．答案不唯一，如“图形的全等”、“图形的相似”、“非零向量的共线”、“命题的充要条件”等等．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．本小题主要考查两角和差公式，用同角三角函数关系等解斜三角形的基本知识以及推理和运算能力，满分12分．解：（Ⅰ）π()CAB，1345tantan()113145CAB．又0πC，3π4C．（Ⅱ）34C，AB边最大，即17AB．又tantan0ABAB，，，，角A最小，BC边为最小边．由22sin1tancos4sincos1AAAAA，，且π02A，，得17sin17A．由sinsinABBCCA得：sin2sinABCABC．所以，最小边2BC．18．本小题主要考查直线与平面的位置关系，二面角的大小，点到平面的距离等知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力．满分12分．解法一：（Ⅰ）取BC中点O，连结AO．ABC△为正三角形，AOBC⊥．正三棱柱111ABCABC中，平面ABC⊥平面11BCCB，AO⊥平面11BCCB．连结1BO，在正方形11BBCC中，OD，分别为1BCCC，的中点，1BOBD⊥，1ABBD⊥．在正方形11ABBA中，11ABAB⊥，1AB⊥平面1ABD．（Ⅱ）设1AB与1AB交于点G，在平面1ABD中，作1GFAD⊥于F，连结AF，由（Ⅰ）得1AB⊥平面1ABD．1AFAD⊥，AFG∠为二面角1AADB的平面角．在1AAD△中，由等面积法可求得455AF，又1122AGAB，210sin4455AGAFGAF∠．所以二面角1AADB的大小为10arcsin4．（Ⅲ）1ABD△中，1115226ABDBDADABS△，，，1BCDS△．在正三棱柱中，1A到平面11BCCB的距离为3．设点C到平面1ABD的距离为d．由11ABCDCABDVV得111333BCDABDSSd△△，ABCD1A1C1BOF1322BCDABDSdS△△．点C到平面1ABD的距离为22．解法二：（Ⅰ）取BC中点O，连结AO．ABC△为正三角形，AOBC⊥．在正三棱柱111ABCABC中，平面ABC⊥平面11BCCB，AD⊥平面11BCCB．取11BC中点1O，以O为原点，OB，1OO，OA的方向为xyz，，轴的正方向建立空间直角坐标系，则(100)B，，，(110)D，，，1(023)A，，，(003)A，，，1(120)B，，，1(123)AB，，，(210)BD，，，1(123)BA，，．12200ABBD，111430ABBA，1ABBD⊥，11ABBA⊥．1AB⊥平面1ABD．（Ⅱ）设平面1AAD的法向量为()xyz，，n．(113)AD，，，1(020)AA，，．AD⊥n，1AA⊥n，100ADAA，，nn3020xyzy，，03yxz，．令1z得(301)，，n为平面1AAD的一个法向量．由（Ⅰ）知1AB⊥平面1ABD，1AB为平面1ABD的法向量．cosn，1113364222ABABABnn．二面角1AADB的大小为6arccos4．xzABCD1A1C1BOFy（Ⅲ）由（Ⅱ），1AB为平面1ABD法向量，1(200)(123)BCAB，，，，，．点C到平面1ABD的距离1122222BCABdAB．19．本小题考查函数、导数及其应用等知识，考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力，满分12分．解：（Ⅰ）分公司一年的利润L（万元）与售价x的函数关系式为：2(3)(12)[911]Lxaxx，，．（Ⅱ）2()(12)2(3)(12)Lxxxax(12)(1823)xax．令0L得263xa或12x（不合题意，舍去）．35a≤≤，2288633a≤≤．在263xa两侧L的值由正变负．所以（1）当28693a≤即932a≤时，2max(9)(93)(129)9(6)LLaa．（2）当2289633a≤≤即952a≤≤时，23max2221(6)63126433333LLaaaaa，所以399(6)32()1943532aaQaaa，≤，，≤≤答：若932a≤，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润L最大，最大值()9(6)Qaa（万元）；若952a≤≤，则当每件售价为263a元时，分公司一年的利润L最大，最大值31()433Qaa（万元）．20．本小题主要考查直线、抛物线、向量等基础知识，考查轨迹方程的求法以及研究曲线几何特征的基本方法，考查运算能力和综合解题能力．满分14分．解法一：（Ⅰ）设点()Pxy，，则(1)Qy，，由QPQFFPFQ得：(10)(2)(1)(2)xyxyy，，，，，化简得2:4Cyx．（Ⅱ）设直线AB的方程为：1(0)xmym．设11()Axy，，22()Bxy，，又21Mm，，联立方程组241yxxmy，，，消去x得：2440ymy，2(4)120m，故121244yymyy，．由1MAAF，2MBBF得：1112yym，2222yym，整理得：1121my，2221my，12122112myy121222yymyy2424mm0．解法二：（Ⅰ）由QPQFFPFQ得：()0