2007年湖南卷数学（理科）含答案

2007年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数22i1+i等于（）A．4iB．4iC．2iD．2i2．不等式201xx≤的解集是（）A．(1)(12]，，B．[12]，C．(1)[2)，，D．(12]，3．设MN，是两个集合，则“MN”是“MN”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件4．设，ab是非零向量，若函数()()()fxxxabab的图象是一条直线，则必有（）A．⊥abB．∥abC．||||abD．||||ab5．设随机变量服从标准正态分布(01)N，，已知(1.96)0.025，则(||1.96)P=（）A．0.025B．0.050C．0.950D．0.9756．函数2441()431xxfxxxx，≤，，的图象和函数2()loggxx的图象的交点个数是（）A．4B．3C．2D．17．下列四个命题中，不正确．．．的是（）A．若函数()fx在0xx处连续，则00lim()lim()xxxxfxfx→→B．函数22()4xfxx的不连续点是2x和2xC．若函数()fx，()gx满足lim[()()]0xfxgx→，则lim()lim()xxfxgx→→D．111lim12xxx→8．棱长为1的正方体1111ABCDABCD的8个顶点都在球O的表面上，EF，分别是棱1AA，1DD的中点，则直线EF被球O截得的线段长为（）A．22B．1C．212D．29．设12FF，分别是椭圆22221xyab（0ab）的左、右焦点，若在其右准线上存在,P使线段1PF的中垂线过点2F，则椭圆离心率的取值范围是（）A．202，B．303，C．212，D．313，10．设集合{123456}M，，，，，，12kSSS，，，都是M的含两个元素的子集，且满足：对任意的{}iiiSab，，{}jjjSab，（ij，{123}ijk、，，，，），都有minminjjiiiijjababbaba，，（min{}xy，表示两个数xy，中的较小者），则k的最大值是（）A．10B．11C．12D．13二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在横线上．11．圆心为(11)，且与直线4xy相切的圆的方程是．12．在ABC△中，角ABC，，所对的边分别为abc，，，若1a，b=7，3c，π3C，则B．13．函数3()12fxxx在区间[33]，上的最小值是．14．设集合{()||2|0}Axyyxx，≥，≥，{()|}Bxyyxb，≤，AB，（1）b的取值范围是；（2）若()xyAB，，且2xy的最大值为9，则b的值是．15．将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图1所示的0-1三角数表．从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第n次全行的数都为1的是第行；第61行中1的个数是．第1行11第2行101第3行1111第4行10001第5行110011……………………………………………图1三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本小题满分12分）已知函数2π()cos12fxx，1()1sin22gxx．（I）设0xx是函数()yfx图象的一条对称轴，求0()gx的值．（II）求函数()()()hxfxgx的单调递增区间．17．（本小题满分12分）某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响．（I）任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；（II）任选3名下岗人员，记为3人中参加过培训的人数，求的分布列和期望．18．（本小题满分12分）如图2，EF，分别是矩形ABCD的边ABCD，的中点，G是EF上的一点，将GAB△，GCD△分别沿ABCD，翻折成1GAB△，2GCD△，并连结12GG，使得平面1GAB⊥平面ABCD，12GGAD∥，且12GGAD．连结2BG，如图3．图2图3（I）证明：平面1GAB⊥平面12GADG；（II）当12AB，25BC，8EG时，求直线2BG和平面12GADG所成的角．19．（本小题满分12分）如图4，某地为了开发旅游资源，欲修建一条连接风景点P和居民区O的公路，点P所在的山坡面与山脚所在水平面所成的二面角为（090），且2sin5，点P到平面的距离0.4PH（km）．沿山脚原有一段笔直的公路AB可供利用．从点O到山脚修路的造价为a万元/km，原有公路改建费用为2a万元/km．当山坡上公路长度为lkm（12l≤≤）时，其造价为2(1)la万元．已知OAAB⊥，PBAB⊥，1.5(km)AB，1G2GDFCBAEAEBCFDG3(km)OA．（I）在AB上求一点D，使沿折线PDAO修建公路的总造价最小；（II）对于（I）中得到的点D，在DA上求一点E，使沿折线PDEO修建公路的总造价最小．（III）在AB上是否存在两个不同的点D，E，使沿折线PDEO修建公路的总造价小于（II）中得到的最小总造价，证明你的结论．20．（本小题满分12分）已知双曲线222xy的左、右焦点分别为1F，2F，过点2F的动直线与双曲线相交于AB，两点．（I）若动点M满足1111FMFAFBFO（其中O为坐标原点），求点M的轨迹方程；（II）在x轴上是否存在定点C，使CA·CB为常数？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．21．（本小题满分13分）已知()nnnAab，（nN*）是曲线xye上的点，1aa，nS是数列{}na的前n项和，且满足22213nnnSnaS，0na，234n，，，…．（I）证明：数列2nnbb（2n≤）是常数数列；（II）确定a的取值集合M，使aM时，数列{}na是单调递增数列；（III）证明：当aM时，弦1nnAA（nN*）的斜率随n单调递增．ＯAEDBHP2007年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．C2．D3．B4．A5．C6．B7．C8．D9．D10．B二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在横线上．11．22(1)(1)2xy12．5π613．1614．（1）[1)，（2）9215．21n，32三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．解：（I）由题设知1π()[1cos(2)]26fxx．因为0xx是函数()yfx图象的一条对称轴，所以0π26xπk，即0π2π6xk（kZ）．所以0011π()1sin21sin(π)226gxxk．当k为偶数时，01π13()1sin12644gx，当k为奇数时，01π15()1sin12644gx．（II）1π1()()()1cos21sin2262hxfxgxxx1π31313cos2sin2cos2sin22622222xxxx1π3sin2232x．当πππ2π22π232kxk≤≤，即5ππππ1212kxk≤≤（kZ）时，函数1π3()sin2232hxx是增函数，故函数()hx的单调递增区间是5ππππ1212kk，（kZ）．17．解：任选1名下岗人员，记“该人参加过财会培训”为事件A，“该人参加过计算机培训”为事件B，由题设知，事件A与B相互独立，且()0.6PA，()0.75PB．（I）解法一：任选1名下岗人员，该人没有参加过培训的概率是1()()()0.40.250.1PPABPAPB所以该人参加过培训的概率是21110.10.9PP．解法二：任选1名下岗人员，该人只参加过一项培训的概率是3()()0.60.250.40.750.45PPABPAB该人参加过两项培训的概率是4()0.60.750.45PPAB．所以该人参加过培训的概率是5340.450.450.9PPP．（II）因为每个人的选择是相互独立的，所以3人中参加过培训的人数服从二项分布(30.9)B，，33()0.90.1kkkPkC，0123k，，，，即的分布列是0123P0.0010.0270.2430.729的期望是10.02720.24330.7292.7E．（或的期望是30.92.7E）18．解：解法一：（Ｉ）因为平面1GAB⊥平面ABCD，平面1GAB平面ABCDAB，ADAB⊥，AD平面ABCD，所以AD⊥平面1GAB，又AD平面12GADG，所以平面1GAB⊥平面12GADG．（II）过点B作1BHAG⊥于点H，连结2GH．由（I）的结论可知，BH⊥平面12GADG，所以2BGH是2BG和平面12GADG所成的角．因为平面1GAB⊥平面ABCD，平面1GAB平面ABCDAB，1GEAB⊥，1GE平面1GAB，所以1GE⊥平面ABCD，故1GEEF⊥．1G2GDFCBAEOH因为12GGAD，ADEF，所以可在EF上取一点O，使12EOGG，又因为12GGADEO∥∥，所以四边形12GEOG是矩形．由题设12AB，25BC，8EG，则17GF．所以218GOGE，217GF，2217815OF，1210GGEO．因为AD⊥平面1GAB，12GGAD∥，所以12GG⊥平面1GAB，从而121GGGB⊥．故222222221126810200BGBEEGGG，2102BG．又2216810AG，由11BHAGGEAB得81248105BH．故22481122sin525102BHBGHBG．即直线2BG与平面12GADG所成的角是122arcsin25．解法二：（I）因为平面1GAB⊥平面ABCD，平面1GAB平面ABCDAB，1GEAB⊥，1GE平面1GAB，所以1GE⊥平面ABCD，从而1GEAD⊥．又ABAD⊥，所以AD⊥平面1GAB．因为AD平面12GADG，所以平面1GAB⊥平面12GADG．（II）由（I）可知，1GE⊥平面ABCD．故可以E为原点，分别以直线1EBEFEG，，为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系（如图），由题设12AB，25BC，8EG，则6EB，25EF，18EG，相关各点的坐标分别是(600)A，，，(6250)D，，，1(008)G，，，(600)B，，．所以(0250)AD，，，1(608)AG，，．设()nxyz，，是平面12GADG的一个法向量，由100nADnAG，.得250680yxz，故可取(403)n，，．过点2G作2GO⊥平面ABCD于点O，因为22GCGD，所以OCOD，于是点O在y轴上．1G2GDFCBAEOxyz因为12GGAD∥，所以12GGEF∥，218GOGE．设2(