2007年湖南卷数学（文科）含答案

2007年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（文史类）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．不等式2xx的解集是（）A．(0)，B．(01)，C．(1)，D．(0)(1)，，2．若OEF，，是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是（）A．EFOFOEB．EFOFOEC．EFOFOED．EFOFOE3．设2:40pbac（0a），:q关于x的方程20axbxc（0a）有实数，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件4．在等比数列{}na（nN*）中，若11a，418a，则该数列的前10项和为（）A．4122B．2122C．10122D．111225．在(1)nx（nN*）的二次展开式中，若只有3x的系数最大，则n（）A．8B．9C．10D．116．如图1，在正四棱柱1111ABCDABCD中，EF，分别是1AB，1BC的中点，则以下结论中不成立．．．的是（）A．EF与1BB垂直B．EF与BD垂直C．EF与CD异面D．EF与11AC异面7．根据某水文观测点的历史统计数据，得到某条河流水位的频率分布直方图（如图2）．从图中可以看出，该水文观测点平均至少一百年才遇到一次的洪水的最低水位是（）A．48米B．49米C．50米D．51米ABC1A1C1D1BDEF8．函数2441()431xxfxxxx，≤，的图象和函数2()loggxx的图象的交点个数是（）A．1B．2C．3D．49．设12FF，分别是椭圆22221xyab（0ab）的左、右焦点，P是其右准线上纵坐标为3c（c为半焦距）的点，且122||||FFFP，则椭圆的离心率是（）A．312B．12C．512D．2210．设集合{123456}M，，，，，，12kSSS，，，都是M的含两个元素的子集，且满足：对任意的{}iiiSab，，{}jjjSab，（ij，{123}ijk、，，，，），都有minminjjiiiijjababbaba，，（min{}xy，表示两个数xy，中的较小者），则k的最大值是（）A．10B．11C．12D．13二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在横线上．11．圆心为(11)，且与直线4xy相切的圆的方程是．12．在ABC△中，角ABC，，所对的边分别为abc，，，若1a，3c，π3C，则A．13．若0a，2349a，则14loga．14．设集合{()||2|0}Axyyxx，≥，≥，{()|}Bxyyxb，≤，AB，（1）b的取值范围是；频率组距0.5%1%2%水位（米）3031323348495051图2（2）若()xyAB，，且2xy的最大值为9，则b的值是．15．棱长为1的正方体1111ABCDABCD的8个顶点都在球O的表面上，则球O的表面积是；设EF，分别是该正方体的棱1AA，1DD的中点，则直线EF被球O截得的线段长为．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本小题满分12分）已知函数2πππ()12sin2sincos888fxxxx．求：（I）函数()fx的最小正周期；（II）函数()fx的单调增区间．17．（本小题满分12分）某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响．（I）任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；（II）任选3名下岗人员，求这3人中至少有2人参加过培养的概率．18．（本小题满分12分）如图3，已知直二面角PQ，APQ，B，C，CACB，45BAP，直线CA和平面所成的角为30．（I）证明BCPQ⊥；（II）求二面角BACP的大小．19．（本小题满分13分）已知双曲线222xy的右焦点为F，过点F的动直线与双曲线相交于AB，两点，点C的坐标是(10)，．（I）证明CA，CB为常数；ABCQP（II）若动点M满足CMCACBCO（其中O为坐标原点），求点M的轨迹方程．20．（本小题满分13分）设nS是数列{}na（nN*）的前n项和，1aa，且22213nnnSnaS，0na，234n，，，．（I）证明：数列2{}nnaa（2n≥）是常数数列；（II）试找出一个奇数a，使以18为首项，7为公比的等比数列{}nb（nN*）中的所有项都是数列{}na中的项，并指出nb是数列{}na中的第几项．21．（本小题满分13分）已知函数3211()32fxxaxbx在区间[11)，，(13]，内各有一个极值点．（I）求24ab的最大值；（II）当248ab时，设函数()yfx在点(1(1))Af，处的切线为l，若l在点A处穿过函数()yfx的图象（即动点在点A附近沿曲线()yfx运动，经过点A时，从l的一侧进入另一侧），求函数()fx的表达式．2007年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（文史类）参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．D2．B3．A4．B5．C6．D7．C8．C9．D10．B二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在横线上．11．22(1)(1)2xy12．π613．314．（1）[2)，（2）9215．3π，2三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．解：ππ()cos(2)sin(2)44fxxxπππ2sin(2)2sin(2)2cos2442xxx．（I）函数()fx的最小正周期是2ππ2T；（II）当2ππ22πkxk≤≤，即πππ2kxk≤≤（kZ）时，函数()2cos2fxx是增函数，故函数()fx的单调递增区间是π[ππ]2kk，（kZ）．17．解：任选1名下岗人员，记“该人参加过财会培训”为事件A，“该人参加过计算机培训”为事件B，由题设知，事件A与B相互独立，且()0.6PA，()0.75PB．（I）解法一：任选1名下岗人员，该人没有参加过培训的概率是1()()()0.40.250.1PPABPAPB所以该人参加过培训的概率是1110.10.9P．解法二：任选1名下岗人员，该人只参加过一项培训的概率是2()()0.60.250.40.750.45PPABPAB该人参加过两项培训的概率是3()0.60.750.45PPAB．所以该人参加过培训的概率是230.450.450.9PP．（II）解法一：任选3名下岗人员，3人中只有2人参加过培训的概率是22430.90.10.243PC．3人都参加过培训的概率是330.90.729P．所以3人中至少有2人参加过培训的概率是450.2430.7290.972PP．解法二：任选3名下岗人员，3人中只有1人参加过培训的概率是1230.90.10.027C．3人都没有参加过培训的概率是30.10.001．所以3人中至少有2人参加过培训的概率是10.0270.0010.972．18．解：（I）在平面内过点C作COPQ⊥于点O，连结OB．因为⊥，PQ，所以CO⊥，又因为CACB，所以OAOB．而45BAO，所以45ABO，90AOB，从而BOPQ⊥，又COPQ⊥，所以PQ⊥平面OBC．因为BC平面OBC，故PQBC⊥．（II）解法一：由（I）知，BOPQ⊥，又⊥，PQ，BO，所以BO⊥．过点O作OHAC⊥于点H，连结BH，由三垂线定理知，BHAC⊥．故BHO是二面角BACP的平面角．由（I）知，CO⊥，所以CAO是CA和平面所成的角，则30CAO，不妨设2AC，则3AO，3sin302OHAO．在RtOAB△中，45ABOBAO，所以3BOAO，于是在RtBOH△中，3tan232BOBHOOH．故二面角BACP的大小为arctan2．解法二：由（I）知，OCOA⊥，OCOB⊥，OAOB⊥，故可以O为原点，分别以直线OBOAOC，，为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系（如图）．因为COa⊥，所以CAO是CA和平面所成的角，则30CAO．不妨设2AC，则3AO，1CO．ABCQPOH在RtOAB△中，45ABOBAO，所以3BOAO．则相关各点的坐标分别是(000)O，，，(300)B，，，(030)A，，，(001)C，，．所以(330)AB，，，(031)AC，，．设1n{}xyz，，是平面ABC的一个法向量，由1100nABnAC，得33030xyyz，取1x，得1(113)n，，．易知2(100)n，，是平面的一个法向量．设二面角BACP的平面角为，由图可知，12nn，．所以121215cos5||||51nnnn．故二面角BACP的大小为5arccos5．19．解：由条件知(20)F，，设11()Axy，，22()Bxy，．（I）当AB与x轴垂直时，可设点AB，的坐标分别为(22)，，(22)，，此时(12)(12)1CACB，，．当AB不与x轴垂直时，设直线AB的方程是(2)(1)ykxk．代入222xy，有2222(1)4(42)0kxkxk．则12xx，是上述方程的两个实根，所以212241kxxk，2122421kxxk，于是212121212(1)(1)(1)(1)(2)(2)CACBxxyyxxkxx2221212(1)(21)()41kxxkxxk2222222(1)(42)4(21)4111kkkkkkkABCQPOxyz22(42)411kk．综上所述，CACB为常数1．（II）解法一：设()Mxy，，则(1)CMxy，，11(1)CAxy，，22(1)CBxy，，(10)CO，，由CMCACBCO得：121213xxxyyy，即12122xxxyyy，于是AB的中点坐标为222xy，．当AB不与x轴垂直时，121222222yyyyxxxx，即1212()2yyyxxx．又因为AB，两点在双曲线上，所以22112xy，22222xy，两式相减得12121212()()()()xxxxyyyy，即1212()(2)()xxxyyy．将1212()2yyyxxx代入上式，化简得224xy．当AB与x轴垂直时，122xx，求得(20)M，，也满足上述方程．所以点M的轨迹方程是224xy．解法二：同解法一得12122xxxyyy，……………………………………①当AB不与x轴垂直时，由（I）有212241kxxk．…………………②21212244(4)411kkyykxxkkk．………………………③由①②③得22421kxk．…………………………………………………④241kyk．……………………………………………………………………