2007年全国1卷理科数学含答案

2007年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效．3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．参考公式：如果事件AB，互斥，那么球的表面积公式()()()PABPAPB24πSR如果事件AB，相互独立，那么其中R表示球的半径()()()PABPAPB球的体积公式如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么34π3VRn次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率其中R表示球的半径()(1)(012)kknknnPkCppkn，，，…，一、选择题（1）是第四象限角，5tan12，则sin（）A．15B．15C．513D．513（2）设a是实数，且1i1i2a是实数，则a（）A．12B．1C．32D．2（3）已知向量(56)，a，(65)，b，则a与b（）A．垂直B．不垂直也不平行C．平行且同向D．平行且反向（4）已知双曲线的离心率为2，焦点是(40)，，(40)，，则双曲线方程为（）A．221412xyB．221124xyC．221106xyD．221610xy（5）设abR，，集合10bababa，，，，，则ba（）A．1B．1C．2D．2（6）下面给出的四个点中，到直线10xy的距离为22，且位于1010xyxy，表示的平面区域内的点是（）A．(11)，B．(11)，C．(11)，D．(11)，（7）如图，正四棱柱1111ABCDABCD中，12AAAB，则异面直线1AB与1AD所成角的余弦值为（）A．15B．25C．35D．45（8）设1a，函数()logafxx在区间2aa，上的最大值与最小值之差为12，则a（）A．2B．2C．22D．4（9）()fx，()gx是定义在R上的函数，()()()hxfxgx，则“()fx，()gx均为偶函数”是“()hx为偶函数”的（）A．充要条件B．充分而不必要的条件C．必要而不充分的条件D．既不充分也不必要的条件（10）21nxx的展开式中，常数项为15，则n（）A．3B．4C．5D．6（11）抛物线24yx的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为3的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AKl⊥，垂足为K，则AKF△的面积是（）A．4B．33C．43D．8（12）函数22()cos2cos2xfxx的一个单调增区间是（）A．233，B．62，C．03，D．66，第Ⅱ卷注意事项：AB1B1A1D1CCD1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．2．第Ⅱ卷共2页，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效．3．本卷共10题，共90分．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在横线上．（13）从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有种．（用数字作答）（14）函数()yfx的图像与函数3log(0)yxx的图像关于直线yx对称，则()fx．（15）等比数列na的前n项和为nS，已知1S，22S，33S成等差数列，则na的公比为．（16）一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上．已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（17）（本小题满分10分）设锐角三角形ABC的内角ABC，，的对边分别为abc，，，2sinabA．（Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）求cossinAC的取值范围．（18）（本小题满分12分）某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数的分布列为12345P0.40.20.20.10.1商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元．表示经销一件该商品的利润．（Ⅰ）求事件A：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率()PA；（Ⅱ）求的分布列及期望E．（19）（本小题满分12分）四棱锥SABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC底面ABCD．已知45ABC∠，2AB，22BC，3SASB．（Ⅰ）证明SABC；（Ⅱ）求直线SD与平面SAB所成角的大小．DBCAS（20）（本小题满分12分）设函数()eexxfx．（Ⅰ）证明：()fx的导数()2fx≥；（Ⅱ）若对所有0x≥都有()fxax≥，求a的取值范围．（21）（本小题满分12分）已知椭圆22132xy的左、右焦点分别为1F，2F．过1F的直线交椭圆于BD，两点，过2F的直线交椭圆于AC，两点，且ACBD，垂足为P．（Ⅰ）设P点的坐标为00()xy，，证明：2200132xy；（Ⅱ）求四边形ABCD的面积的最小值．（22）（本小题满分12分）已知数列na中12a，1(21)(2)nnaa，123n，，，…．（Ⅰ）求na的通项公式；（Ⅱ）若数列nb中12b，13423nnnbbb，123n，，，…，证明：432nnba≤，123n，，，…．2007年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题（必修+选修Ⅱ）参考答案一、选择题：（1）D（2）B（3）A（4）A（5）C（6）C（7）D（8）D（9）B（10）D（11）C（12）A二、填空题：（13）36（14）3()xxR（15）13（16）23三、解答题：（17）解：（Ⅰ）由2sinabA，根据正弦定理得sin2sinsinABA，所以1sin2B，由ABC△为锐角三角形得π6B．（Ⅱ）cossincossinACAAcossin6AA13coscossin22AAA3sin3A．由ABC△为锐角三角形知，22AB，2263B．2336A，所以13sin232A．由此有333sin3232A，所以，cossinAC的取值范围为3322，．（18）解：（Ⅰ）由A表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”．知A表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”2()(10.4)0.216PA，()1()10.2160.784PAPA．（Ⅱ）的可能取值为200元，250元，300元．(200)(1)0.4PP，(250)(2)(3)0.20.20.4PPP，(300)1(200)(250)10.40.40.2PPP．的分布列为200250300P0.40.40.22000.42500.43000.2E240（元）．（19）解法一：（Ⅰ）作SOBC⊥，垂足为O，连结AO，由侧面SBC⊥底面ABCD，得SO⊥底面ABCD．因为SASB，所以AOBO，又45ABC∠，故AOB△为等腰直角三角形，AOBO⊥，由三垂线定理，得SABC⊥．（Ⅱ）由（Ⅰ）知SABC⊥，依题设ADBC∥，故SAAD⊥，由22ADBC，3SA，2AO，得1SO，11SD．SAB△的面积22111222SABSAAB．连结DB，得DAB△的面积21sin13522SABAD设D到平面SAB的距离为h，由于DSABSABDVV，得121133hSSOS，解得2h．ODBCAS设SD与平面SAB所成角为，则222sin1111hSD．所以，直线SD与平面SBC所成的我为22arcsin11．解法二：（Ⅰ）作SOBC⊥，垂足为O，连结AO，由侧面SBC⊥底面ABCD，得SO⊥平面ABCD．因为SASB，所以AOBO．又45ABC∠，AOB△为等腰直角三角形，AOOB⊥．如图，以O为坐标原点，OA为x轴正向，建立直角坐标系Oxyz，(200)A，，，(020)B，，，(020)C，，，(001)S，，，(201)SA，，，(0220)CB，，，0SACB，所以SABC⊥．（Ⅱ）取AB中点E，22022E，，，连结SE，取SE中点G，连结OG，221442G，，．221442OG，，，22122SE，，，(220)AB，，．0SEOG，0ABOG，OG与平面SAB内两条相交直线SE，AB垂直．所以OG平面SAB，OG与DS的夹角记为，SD与平面SAB所成的角记为，则与互余．(2220)D，，，(2221)DS，，．22cos11OGDSOGDS，22sin11，所以，直线SD与平面SAB所成的角为22arcsin11．（20）解：（Ⅰ）()fx的导数()eexxfx．DBCASOEGyxz由于ee2ee2x-xxx≥，故()2fx≥．（当且仅当0x时，等号成立）．（Ⅱ）令()()gxfxax，则()()eexxgxfxaa，（ⅰ）若2a≤，当0x时，()ee20xxgxaa≥，故()gx在(0)，∞上为增函数，所以，0x≥时，()(0)gxg≥，即()fxax≥．（ⅱ）若2a，方程()0gx的正根为214ln2aax，此时，若1(0)xx，，则()0gx，故()gx在该区间为减函数．所以，1(0)xx，时，()(0)0gxg，即()fxax，与题设()fxax≥相矛盾．综上，满足条件的a的取值范围是2∞，．（21）证明：（Ⅰ）椭圆的半焦距321c，由ACBD⊥知点P在以线段12FF为直径的圆上，故22001xy，所以，222200021132222yxyx≤．（Ⅱ）（ⅰ）当BD的斜率k存在且0k时，BD的方程为(1)ykx，代入椭圆方程22132xy，并化简得2222(32)6360kxkxk．设11()Bxy，，22()Dxy，，则2122632kxxk，21223632kxxk2222122212243(1)1(1)()432kBDkxxkxxxxk；B1FO2FPDAyxC因为AC与BC相交于点P，且AC的斜率为1k，所以，2222143143(1)12332kkACkk．四边形ABCD的面积222222222124(1)(1)962(32)(23)25(32)(23)2kkSBDACkkkk≥．当21k时，上式取等号．（ⅱ）当BD的斜率0k或斜率不存在时，四边形ABCD的面积4S．综上，四边形ABCD的面积的最小值为9625．（22）解：（Ⅰ）由题设：1(21)(2)nnaa(21)(2)(21)(22)na(21)(2)2na，12(21)(2)nnaa．所以，