2007年全国1卷文科数学含答案

2007年普通高等学校招生全国统一考试文科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效．3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．参考公式：如果事件AB，互斥，那么球的表面积公式()()()PABPAPB24πSR如果事件AB，相互独立，那么其中R表示球的半径()()()PABPAPB球的体积公式如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么34π3VRn次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率其中R表示球的半径()(1)(012)kknknnPkCppnn，，，，一、选择题（1）设210Sxx，350Txx，则ST（）Ａ．Ｂ．12xxＣ．53xxＤ．1523xx（2）是第四象限角，12cos13，sin（）Ａ．513Ｂ．513Ｃ．512Ｄ．512（3）已知向量(56)，a，(65)，b，则a与b（）Ａ．垂直Ｂ．不垂直也不平行Ｃ．平行且同向Ｄ．平行且反向（4）已知双曲线的离心率为2，焦点是(40)，，(40)，，则双曲线方程为（）Ａ．221412xyＢ．221124xyＣ．221106xyＤ．221610xy（5）甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有（）Ａ．36种Ｂ．48种Ｃ．96种Ｄ．192种（6）下面给出四个点中，位于1010xyxy，表示的平面区域内的点是（）Ａ．(02)，Ｂ．(20)，Ｃ．(02)，Ｄ．(20)，（7）如图，正四棱柱1111ABCDABCD中，12AAAB，则异面直线1AB与1AD所成角的余弦值为（）Ａ．15Ｂ．25Ｃ．35Ｄ．45（8）设1a，函数()logafxx在区间2aa，上的最大值与最小值之差为12，则a（）Ａ．2Ｂ．2Ｃ．22Ｄ．4（9）()fx，()gx是定义在R上的函数，()()()hxfxgx，则“()fx，()gx均为偶函数”是“()hx为偶函数”的（）Ａ．充要条件Ｂ．充分而不必要的条件Ｃ．必要而不充分的条件Ｄ．既不充分也不必要的条件（10）函数22cosyx的一个单调增区间是（）Ａ．ππ44，Ｂ．π02，Ｃ．π3π44，Ｄ．ππ2，（11）曲线313yxx在点413，处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（）Ａ．19Ｂ．29Ｃ．13Ｄ．23（12）抛物线24yx的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为3的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AKl⊥，垂足为K，则AKF△的面积是（）Ａ．4Ｂ．33Ｃ．43Ｄ．81A1D1C1BDBCA第Ⅱ卷注意事项：1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．2．第Ⅱ卷共2页，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效．3．本卷共10题，共90分．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在横线上．（13）从某自动包装机包装的食盐中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为（单位：g）：492496494495498497501502504496497503506508507492496500501499根据频率分布估计总体分布的原理，该自动包装机包装的袋装食盐质量在497.5g～501.5g之间的概率约为_____．（14）函数()yfx的图像与函数3log(0)yxx的图像关于直线yx对称，则()fx____________．（15）正四棱锥SABCD的底面边长和各侧棱长都为2，点S，A，B，C，D都在同一个球面上，则该球的体积为_________．（16）等比数列{}na的前n项和为nS，已知1S，22S，33S成等差数列，则{}na的公比为______．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（17）（本小题满分10分）设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，2sinabA．（Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）若33a，5c，求b．（18）（本小题满分12分）某商场经销某商品，顾客可采用一次性付款或分期付款购买．根据以往资料统计，顾客采用一次性付款的概率是0.6，经销一件该商品，若顾客采用一次性付款，商场获得利润200元；若顾客采用分期付款，商场获得利润250元．（Ⅰ）求3位购买该商品的顾客中至少有1位采用一次性付款的概率；（Ⅱ）求3位顾客每人购买1件该商品，商场获得利润不超过650元的概率．（19）（本小题满分12分）四棱锥SABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC底面ABCD，已知45ABC，2AB，22BC，3SASB．（Ⅰ）证明：SABC；（Ⅱ）求直线SD与平面SBC所成角的大小．SCDAB（20）（本小题满分12分）设函数32()2338fxxaxbxc在1x及2x时取得极值．（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）若对于任意的[03]x，，都有2()fxc成立，求c的取值范围．（21）（本小题满分12分）设{}na是等差数列，{}nb是各项都为正数的等比数列，且111ab，3521ab，5313ab（Ⅰ）求{}na，{}nb的通项公式；（Ⅱ）求数列nnab的前n项和nS．（22）（本小题满分12分）已知椭圆22132xy的左、右焦点分别为1F，2F，过1F的直线交椭圆于B，D两点，过2F的直线交椭圆于A，C两点，且ACBD，垂足为P．（Ⅰ）设P点的坐标为00()xy，，证明：2200132xy；（Ⅱ）求四边形ABCD的面积的最小值．2007年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题（必修＋选修1）参考答案一、选择题1．Ｄ2．Ｂ3．Ａ4．Ａ5．Ｃ6．Ｃ7．Ｄ8．Ｄ9．Ｂ10．Ｄ11．Ａ12．Ｃ二、填空题13．0.2514．3()xxR15．4π316．13三、解答题17．解：（Ⅰ）由2sinabA，根据正弦定理得sin2sinsinABA，所以1sin2B，由ABC△为锐角三角形得π6B．（Ⅱ）根据余弦定理，得2222cosbacacB2725457．所以，7b．18．解：（Ⅰ）记A表示事件：“3位顾客中至少1位采用一次性付款”，则A表示事件：“3位顾客中无人采用一次性付款”．2()(10.6)0.064PA，()1()10.0640.936PAPA．（Ⅱ）记B表示事件：“3位顾客每人购买1件该商品，商场获得利润不超过650元”．0B表示事件：“购买该商品的3位顾客中无人采用分期付款”．1B表示事件：“购买该商品的3位顾客中恰有1位采用分期付款”．则01BBB．30()0.60.216PB，1213()0.60.40.432PBC．01()()PBPBB01()()PBPB0.2160.4320.648．19．解法一：（1）作SOBC⊥，垂足为O，连结AO，由侧面SBC⊥底面ABCD，得SO⊥底面ABCD．因为SASB，所以AOBO，又45ABC∠，故AOB△为等腰直角三角形，AOBO⊥，由三垂线定理，得SABC⊥．（Ⅱ）由（Ⅰ）知SABC⊥，依题设ADBC∥，故SAAD⊥，由22ADBC，3SA，2211SDADSA．又sin452AOAB，作DEBC⊥，垂足为E，则DE⊥平面SBC，连结SE．ESD∠为直线SD与平面SBC所成的角．222sin1111EDAOESDSDSD∠所以，直线SD与平面SBC所成的角为22arcsin11．解法二：（Ⅰ）作SOBC⊥，垂足为O，连结AO，由侧面SBC⊥底面ABCD，得SO⊥平面ABCD．因为SASB，所以AOBO．又45ABC∠，AOB△为等腰直角三角形，AOOB⊥．如图，以O为坐标原点，OA为x轴正向，建立直角坐标系Oxyz，因为222AOBOAB，221SOSBBO，又22BC，所以(200)A，，，(020)B，，，(020)C，，．(001)S，，，(201)SA，，，(0220)CB，，，0SACB，所以SABC⊥．DBCASOxyzDBCASOE（Ⅱ）(2221)SDSAADSACB，，，(200)OA，，.OA与SD的夹角记为，SD与平面ABC所成的角记为，因为OA为平面SBC的法向量，所以与互余．22cos11OASDOASD，22sin11，所以，直线SD与平面SBC所成的角为22arcsin11．20．解：（Ⅰ）2()663fxxaxb，因为函数()fx在1x及2x取得极值，则有(1)0f，(2)0f．即6630241230abab，．解得3a，4b．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，32()29128fxxxxc，2()618126(1)(2)fxxxxx．当(01)x，时，()0fx；当(12)x，时，()0fx；当(23)x，时，()0fx．所以，当1x时，()fx取得极大值(1)58fc，又(0)8fc，(3)98fc．则当03x，时，()fx的最大值为(3)98fc．因为对于任意的03x，，有2()fxc恒成立，所以298cc，解得1c或9c，因此c的取值范围为(1)(9)，，．21．解：（Ⅰ）设na的公差为d，nb的公比为q，则依题意有0q且4212211413dqdq，，解得2d，2q．所以1(1)21nandn，112nnnbq．（Ⅱ）1212nnnanb．122135232112222nnnnnS，①3252321223222nnnnnS，②②－①得22122221222222nnnnS，221111212212222nnn1111212221212nnn12362nn．22．证明（Ⅰ）椭圆的半焦距321c，由ACBD⊥知点P在以线段12FF为直径的圆上，故22001xy，所以，222200001132222xyxy≤．（Ⅱ）（ⅰ）当BD的斜率k存在且0k时，BD的方程为(1)ykx，代入椭圆方程22132xy，并化简得2222(32)6360kxkxk．设11()Bxy，，22()Dxy，，则B1FO2FPDAyxC2122632kxxk，21223632kxxk，2222122212243(1)1(1)()432kBDkxxkxxxxk；因为AC与BC相交于点p，且AC的斜率为1k．所以，2222143143(1)12332kkACkk．四边形ABCD的面积222222222124(1)(1)962(32)(23)25(32)(23)2kkSBDACkkkk≥．当21k时，上式取等号．（ⅱ）当BD的斜率0k或斜率不存在时，四边形ABCD的面积4S