2007年全国2卷理科数学含答案

2007年普通高等学校招生全国统一考试试题卷理科数学(必修+选修II)第I卷（选择题）本卷共12小题，每小题5分，共60分。参考公式：如果事件A、B互斥，那么P（A+B）=P（A）+P（B）如果事件A、B相互独立，那么P（A·B）=P（A）·P（B）如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率Pn(k)=knCkP(1－P)nk一．选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的。1.sin2100=(A)32(B)-32(C)12(D)-122.函数()|sin|fxx的一个单调递增区间是(A)（4，4）(B)（4，34）(C)（，32）(D)（32，2）3.设复数z满足12iiz，则z=(A)-2+i(B)-2-i(C)2-i(D)2+i4.以下四个数中的最大者是(A)(ln2)2(B)ln(ln2)(C)ln2(D)ln25.在∆ABC中，已知D是AB边上一点，若2ADDB，13CDCACB,则=(A)23(B)13(C)-13(D)-236.不等式:2104xx的解集为(A)(2,1)(B)(2,)(C)(2,1)(2,)(D)(,2)(1,)7.已知正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长是底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦等于(A)64(B)104(C)22(D)328．已知曲线23ln4xyx的一条切线的斜率为12,则切点的横坐标为(A)3(B)2(C)1(D)129．把函数xye的图象按向量a=(2,3)平移，得到()yfx的图象，则()fx=(A)32xe(B)32xe(C)23xe(D)23xe10.从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2球的表面积公式S=42R其中R表示球的半径，球的体积公式V=343R，其中R表示球的半径人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有(A)40种(B)60种(C)100种(D)120种11．设F1，F2分别是双曲线22221xyab的左、右焦点。若双曲线上存在点A，使∠F1AF2=90º，且|AF1|=3|AF2|，则双曲线离心率为(A)52(B)102(C)152(D)512.设F为抛物线24yx的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若0FAFBFC，则||||||FAFBFC(A)9(B)6(C)4(D)3第II卷（非选择题）本卷共10题，共90分。二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（1+22x）(1xx)8的展开式中常数项为。（用数字作答）14．在某项测量中，测量结果服从正态分布2(1,)N（0），若在（0，1）内取值的概率为0.4，则在（0，2）内取值的概率为。15．一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上。如果正四棱柱的底面边长为1cm，那么该棱柱的表面积为2cm.16.已知数列的通项an=5n+2,其前n项和为Sn,则2limnnSn=。三．解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.（本小题满分10分）在∆ABC中，已知内角A=3,边BC=23,设内角B=x,周长为y。（1）求函数()yfx的解析式和定义域；（2）求y的最大值18.（本小题满分12分）从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件A：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率()PA=0.96(1)求从该批产品中任取1件是二等品的概率p;（2）若该批产品共有100件，从中任意抽取2件，表示取出的件产品中二等品的件数，求的分布列。19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥底面ABCD，E、F分别是AB、SC的中点。（1）求证：EF∥平面SAD（2）设SD=2CD，求二面角A-EF-D的大小20．（本小题满分12分）在直角坐标系xOy中，以O为圆心的圆与直线：34xy相切（1）求圆O的方程ABCDSPEF（2）圆O与x轴相交于A、B两点，圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，求PAPB的取值范围。21．（本小题满分12分）设数列{an}的首项a1∈(0,1),an=132na，n=2,3,4…（1）求{an}的通项公式；（2）设32nnnbaa，求证1nnbb，其中n为正整数。22.（本小题满分12分）已知函数3()fxxx。（Ⅰ）求曲线()yfx在点M(,())tft处的切线方程。（Ⅱ）设a0,如果过点(,)ab可作曲线()yfx的三条切线，证明：()abfa。2007年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题（必修+选修Ⅱ）参考答案评分说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度．可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右侧所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题1．D2．C3．C4．D5．A6．C7．A8．A9．C10．B11．B12．B二、填空题13．4214．0.815．24216．52三、解答题17．解：（1）ABC△的内角和ABC，由00ABC，，得20B．应用正弦定理，知23sinsin4sinsinsinBCACBxxA，2sin4sinsinBCABCxA．因为yABBCAC，所以224sin4sin2303yxxx，（2）因为14sincossin232yxxx543sin23xx，所以，当x，即x时，y取得最大值63．18．解：（1）记0A表示事件“取出的2件产品中无二等品”，1A表示事件“取出的2件产品中恰有1件二等品”．则01AA，互斥，且01AAA，故01()()PAPAA012122()()(1)C(1)1PAPApppp于是20.961p．解得120.20.2pp，（舍去）．（2）的可能取值为012，，．若该批产品共100件，由（1）知其二等品有1000.220件，故2802100C316(0)C495P．1180202100CC160(1)C495P．2202100C19(2)C495P．所以的分布列为012P3164951604951949519．解法一：（1）作FGDC∥交SD于点G，则G为SD的中点．连结12AGFGCD∥，，又CDAB∥，故FGAEAEFG∥，为平行四边形．EFAG∥，又AG平面SADEF，平面SAD．所以EF∥平面SAD．（2）不妨设2DC，则42SDDGADG，，△为等腰直角三角形．取AG中点H，连结DH，则DHAG⊥．又AB⊥平面SAD，所以ABDH⊥，而ABAGA，所以DH⊥面AEF．取EF中点M，连结MH，则HMEF⊥．连结DM，则DMEF⊥．故DMH为二面角AEFD的平面角AEBCFSDHGMFSGz2tan21DHDMHHM．所以二面角AEFD的大小为arctan2．解法二：（1）如图，建立空间直角坐标系Dxyz．设(00)(00)AaSb，，，，，，则(0)(00)BaaCa，，，，，，00222aabEaF，，，，，，02bEFa，，．取SD的中点002bG，，，则02bAGa，，．EFAGEFAGAG，∥，平面SADEF，平面SAD，所以EF∥平面SAD．（2）不妨设(100)A，，，则11(110)(010)[phone]BCSEF，，，，，，，，，，，，，，．EF中点111111(101)0222222MMDEFMDEFMDEF，，，，，，，，，，⊥又1002EA，，，0EAEFEAEF，⊥，所以向量MD和EA的夹角等于二面角AEFD的平面角．3cos3MDEAMDEAMDEA，．所以二面角AEFD的大小为3arccos3．20．解：（1）依题设，圆O的半径r等于原点O到直线34xy的距离，即4213r．得圆O的方程为224xy．（2）不妨设1212(0)(0)AxBxxx，，，，．由24x即得(20)(20)AB，，，．设()Pxy，，由PAPOPB，，成等比数列，得222222(2)(2)xyxyxy，即222xy．(2)(2)PAPBxyxy，，22242(1).xyy由于点P在圆O内，故222242.xyxy，由此得21y．所以PAPB的取值范围为[20)，．21．解：（1）由132342nnaan，，，，…，整理得111(1)2nnaa．又110a，所以{1}na是首项为11a，公比为12的等比数列，得1111(1)2nnaa（2）方法一：由（1）可知302na，故0nb．那么，221nnbb2211222(32)(32)3332(32)229(1).4nnnnnnnnnnaaaaaaaaaa又由（1）知0na且1na，故2210nnbb，因此1nnbbn，为正整数．方法二：由（1）可知3012nnaa，，因为132nnaa，所以111(3)322nnnnnaabaa．由1na可得33(32)2nnnaaa，即223(32)2nnnnaaaa两边开平方得3322nnnnaaaa．即1nnbbn，为正整数．22．解：（1）求函数()fx的导数；2()31xxf．曲线()yfx在点(())Mtft，处的切线方程为：()()()yftftxt，即23(31)2ytxt．（2）如果有一条切线过点()ab，，则存在t，使23(31)2btat．于是，若过点()ab，可作曲线()yfx的三条切线，则方程32230tatab有三个相异的实数根．记32()23gttatab，则2()66gttat6()tta．当t变化时，()()gtgt，变化情况如下表：t(0)，0(0)a，a()a，()gt00()gt极大值ab极小值()bfa由()gt的单调性，当极大值0ab或极小值()0bfa时，方程()0gt最多有一个实数根；当0ab时，解方程()0gt得302att，，即方程()0gt只有两个相异的实数根；当()0bfa时，解方程()0gt得2atta，，即方程()0gt只有两个相异的实数根．综上，如果过()ab，可作曲线()yfx三条切线，即()0gt有三个相异的实数根，则0()0.abbfa，即()abfa．