2007年陕西卷数学（理科）含答案

2007年普通高等学校招生全国统一考试（陕西）理科数学（必修+选修Ⅱ）注意事项：1.本试卷分第一部分和第二部分，第一部分为选择题，第二部分为非选择题。2.考生领到试卷后，须按规定在试卷上填写姓名、准考证号、并在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点。3.所有答案必须在答题卡上指定区域内作答。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（共60分）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共12小题，每小题5分，共60分）.1.在复平面内，复数z=i21对应的点位于（A）第一象限（B）第二象限（C）第在象限（D）第四象限2.已知全信U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝23Zxx,则集合CuA等于（A）4,3,2,1（B）4,3,2(C)5,1(D)53.抛物线y=x2的准线方程是（A）4y+1=0(B)4x+1=0(C)2y+1=0(D)2x+1=04.已知sinα=55，则sin4α-cos4α的值为（A）-51(B)-53(C)51(D)535.各项均为正数的等比数列na的前n项和为Sn，若Sn=2,S30=14,则S40等于（A）80（B）30(C)26(D)166.一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（A）433(B)33(C)43(D)1237.已知双曲线C：12222byca(a＞0,b＞0),以C的右焦点为圆心且与C的浙近线相切的圆的半径是A.abB.22baC.aD.b8.若函数f(x)的反函数为f)(1x,则函数f(x-1)与f)1(1x的图象可能是9.给出如下三个命题：①四个非零实数a、b、c、d依次成等比数列的充要条件是ad=bc;②设a,b∈R，则ab≠0若ba＜1，则ab＞1；③若f(x)=log2x,则f（|x|）是偶函数.其中不正确命题的序号是A.①②③B.①②C.②③D.①③10.已知平面α∥平面β，直线mα，直线nβ，点A∈m,点B∈n，记点A、B之间的距离为a,点A到直线n的距离为b,直线m和n的距离为c,则A.b≤a≤cB.a≤c≤bC.c≤a≤bD.c≤b≤a11.f(x)是定义在（0，±∞）上的非负可导函数，且满足xf(x)+f(x)≤0,对任意正数a、b,若a＜b，则必有A.af(b)≤bf(a)B.bf(a)≤af(b)C.af(a)≤f(b)D.bf(b)≤f(a)12.设集合S={A0，A1，A2，A3}，在S上定义运算为：A1A=Ab,其中k为I+j被4除的余数，I,j=0,1,2,3.满足关系式=（xx）A2=A0的x(x∈S)的个数为A.4B.3C.2D.1第二部分（共90分）二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共4小题，每小题4分，共16分）.13.11212lim21xxxxx.14.已知实数x、y满足条件,033,022,042yxyxyx，则z=x+2y的最大值为.15.如图，平面内有三个向量OA、OB、OC,其中与OA与OB的夹角为120°，OA与OC的夹角为30°,且|OA|＝|OB|＝1，|OC|＝32，若OC＝λOA+μOB（λ，μ∈R）,则λ+μ的值为.16.安排3名支教老师去6所学校任教，每校至多2人，则不同的分配方案共有种.（用数字作答）三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共74分）.17.（本小题满分12分）设函数f(x)=a-b,其中向量a=(m,cos2x),b=(1+sin2x,1),x∈R,且函数y=f(x)的图象经过点2,4，（Ⅰ）求实数m的值；（Ⅱ）求函数f(x)的最小值及此时x的值的集合.18.（本小题满分12分）某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考试，否则即被淘汰，已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为54、53、52，且各轮问题能否正确回答互不影响.（Ⅰ）求该选手被淘汰的概率；（Ⅱ）该选手在选拔中回答问题的个数记为ξ，求随机变量ξ的分布列与数数期望.（注：本小题结果可用分数表示）19.(本小题满分12分)如图,在底面为直角梯形的四棱锥,//,BCADABCDP中,90ABC平面PAv32,2,4ABADPA,BC=6.(Ⅰ)求证:BD;PACBD平面(Ⅱ)求二面角DBDP的大小.20.(本小题满分12分)设函数f(x)=,22aaxxc其中a为实数.(Ⅰ)若f(x)的定义域为R,求a的取值范围;(Ⅱ)当f(x)的定义域为R时，求f(x)的单减区间.21.(本小题满分14分)已知椭圆C:12222byax（a＞b＞0）的离心率为,36短轴一个端点到右焦点的距离为3.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为23，求△AOB面积的最大值.22.(本小题满分12分)已知各项全不为零的数列{ak}的前k项和为Sk,且Sk＝kaakk(211N*),其中a1=1.(Ⅰ)求数列{ak}的通项公式;(Ⅱ)对任意给定的正整数n(n≥2),数列{bk}满足11bkkankbb（k=1,2,…，n-1）,b1=1.求b1+b2+…+bn.2007年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）数学（理工农医类）参考答案一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共12小题，每小题5分，共60分）．1．Ｄ2．Ｂ3．Ｄ4．Ａ5．Ｃ6．Ｂ7．Ｂ8．Ｄ9．Ａ10．Ａ11．Ｃ12．Ｂ二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共4小题，每小题4分，共16分）．13．1314．815．616．210三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共74分）17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）()(1sin2)cos2fxabmxx，由已知πππ1sincos2422fm，得1m．（Ⅱ）由（Ⅰ）得π()1sin2cos212sin24fxxxx，当πsin214x时，()fx的最小值为12，由πsin214x，得x值的集合为3ππ8xxkkZ，．18．（本小题满分12分）解法一：（Ⅰ）记“该选手能正确回答第i轮的问题”的事件为(123)iAi，，，则14()5PA，23()5PA，32()5PA，该选手被淘汰的概率112223112123()()()()()()()PPAAAAAAPAPAPAPAPAPA142433101555555125．（Ⅱ）的可能值为123，，，11(1)()5PPA，1212428(2)()()()5525PPAAPAPA，12124312(3)()()()5525PPAAPAPA．的分布列为123P1582512251812571235252525E．解法二：（Ⅰ）记“该选手能正确回答第i轮的问题”的事件为(123)iAi，，，则14()5PA，23()5PA，32()5PA．该选手被淘汰的概率1231231()1()()()PPAAAPAPAPA4321011555125．（Ⅱ）同解法一．19．（本小题满分12分）解法一：（Ⅰ）PA⊥平面ABCD，BD平面ABCD．BDPA⊥．又3tan3ADABDAB，tan3BCBACAB．30ABD∠，60BAC∠，90AEB∠，即BDAC⊥．又PAACA．BD⊥平面PAC．（Ⅱ）过E作EFPC⊥，垂足为F，连接DF．DE⊥平面PAC，EF是DF在平面PAC上的射影，由三垂线定理知PCDF⊥，EFD∠为二面角APCD的平面角．又9030DACBAC∠∠，sin1DEADDAC，sin3AEABABE，又43AC，33EC，8PC．由RtRtEFCPAC△∽△得332PAECEFPC．在RtEFD△中，23tan9DEEFDEF，23arctan9EFD∠．二面角APCD的大小为23arctan9．AEDPCBF解法二：（Ⅰ）如图，建立坐标系，则(000)A，，，(2300)B，，，(2360)C，，，(020)D，，，(004)P，，，(004)AP，，，(2360)AC，，，(2320)BD，，，0BDAP，0BDAC．BDAP⊥，BDAC⊥，又PAACA，BD⊥平面PAC．（Ⅱ）设平面PCD的法向量为(1)xy，，n，则0CDn，0PDn，又(2340)CD，，，(024)PD，，，2340240xyy，，解得4332xy，，43213，，n平面PAC的法向量取为2320BD，，m，cosm，39331mnnmn．二面角APCD的大小为393arccos31．20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）()fx的定义域为R，20xaxa恒成立，240aa，04a，即当04a时()fx的定义域为R．（Ⅱ）22(2)e()()xxxafxxaxa，令()0fx≤，得(2)0xxa≤．由()0fx，得0x或2xa，又04a，02a时，由()0fx得02xa；当2a时，()0fx≥；当24a时，由()0fx得20ax，即当02a时，()fx的单调减区间为(02)a，；AEDPCByzx当24a时，()fx的单调减区间为(20)a，．21．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，依题意633caa，，1b，所求椭圆方程为2213xy．（Ⅱ）设11()Axy，，22()Bxy，．（1）当ABx⊥轴时，3AB．（2）当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为ykxm．由已知2321mk，得223(1)4mk．把ykxm代入椭圆方程，整理得222(31)6330kxkmxm，122631kmxxk，21223(1)31mxxk．22221(1)()ABkxx22222223612(1)(1)(31)31kmmkkk22222222212(1)(31)3(1)(91)(31)(31)kkmkkkk2422212121233(0)34196123696kkkkkk≤．当且仅当2219kk，即33k时等号成立．当0k时，3AB，综上所述max2AB．当AB最大时，AOB△面积取最大值max133222SAB．22．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）当1k，由111212aSaa及11a，得22a．当2k≥时，由1111122kkkkkkkaSSaaaa，得11()2kkkkaaaa．因为0ka，所以112kkaa．从而211(1)221mamm．22(1)22mamm，*mN．故*()kakkN．（Ⅱ）因为kak，所以111kkkbnknkbak．所以1121121(1)(2)(1)(1)1(1)21kkkkkkbbbnknknbbbbbkk11(1)(12)kknCknn，，，．故123nbbbb12311(1)nnnnnnCCCCn012111(1)nnnnnnCCCCnn．Ｂ卷选择题