2007年上海卷数学（理科）含答案

2007年全国普通高等学校招生统一考试（上海卷）数学试卷(理工农医类)考生注意：1．答卷前，考生务必将姓名、高考准考证号、校验码等填写清楚．2．本试卷共有21道试题，满分150分．考试时间120分钟．请考生用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上．一．填空题（本大题满分44分）本大题共有11题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．函数3)4lg(xxy的定义域是．2．若直线1210lxmy：　与直线231lyx：平行，则m．3．函数1)(xxxf的反函数)(1xf．4．方程96370xx的解是．5．若xy+R，，且14yx，则xy的最大值是．6．函数2πsin3πsinxxy的最小正周期T．7．在五个数字12345，，，，中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是（结果用数值表示）．8．以双曲线15422yx的中心为焦点，且以该双曲线的左焦点为顶点的抛物线方程是．9．对于非零实数ab，，以下四个命题都成立：①01aa；②2222)(bababa；③若||||ba，则ba；④若aba2，则ba．那么，对于非零复数ab，，仍然成立的命题的所有序号是．10．在平面上，两条直线的位置关系有相交、平行、重合三种．已知，是两个相交平面，空间两条直线12ll，在上的射影是直线12ss，，12ll，在上的射影是直线12tt，．用1s与2s，1t与2t的位置关系，写出一个总能确定1l与2l是异面直线的充分条件：．11．已知P为圆1)1(22yx上任意一点（原点O除外），直线OP的倾斜角为弧度，记||OPd．在右侧的坐标系中，画出以()d，为坐标的点的轨迹的大致图形为二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A，B，C，D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分．12．已知abR，，且i,i2ba（i是虚数单位）是实系数一元二次方程02qpxx的两个根，那么pq，的值分别是（）Ａ．45pq，Ｂ．43pq，Ｃ．45pq，Ｄ．43pq，13．设ab，是非零实数，若ba，则下列不等式成立的是（）Ａ．22baＢ．baab22Ｃ．baab2211Ｄ．baab14．直角坐标系xOy中，ij，分别是与xy，轴正方向同向的单位向量．在直角三角形ABC中，若jkiACjiAB3,2，则k的可能值个数是（）Ａ．1Ｂ．2Ｃ．3Ｄ．415．设)(xf是定义在正整数集上的函数，且)(xf满足：“当2()fkk≥成立时，总可推出(1)fk≥2)1(k成立”．那么，下列命题总成立的是（）Ａ．若(3)9f≥成立，则当1k≥时，均有2()fkk≥成立Ｂ．若(5)25f≥成立，则当5k≤时，均有2()fkk≥成立CB1C1B1AAＣ．若49)7(f成立，则当8k≥时，均有2)(kkf成立Ｄ．若25)4(f成立，则当4k≥时，均有2()fkk≥成立三．解答题（本大题满分90分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤．16．（本题满分12分）如图，在体积为1的直三棱柱111CBAABC中，1,90BCACACB．求直线BA1与平面CCBB11所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．17．（本题满分14分）在ABC△中，abc，，分别是三个内角ABC，，的对边．若4π,2Ca，5522cosB，求ABC△的面积S．18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．近年来，太阳能技术运用的步伐日益加快．2002年全球太阳电池的年生产量达到670兆瓦，年生产量的增长率为34%．以后四年中，年生产量的增长率逐年递增2%（如，2003年的年生产量的增长率为36%）．（1）求2006年全球太阳电池的年生产量（结果精确到0.1兆瓦）；（2）目前太阳电池产业存在的主要问题是市场安装量远小于生产量，2006年的实际安装量为1420兆瓦．假设以后若干年内太阳电池的年生产量的增长率保持在42%，到2010年，要使年安装量与年生产量基本持平（即年安装量不少于年生产量的95%），这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到多少（结果精确到0.1%）？19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．已知函数0()(2xxaxxf，常数)aR．（1）讨论函数)(xf的奇偶性，并说明理由；（2）若函数)(xf在[2)x，上为增函数，求a的取值范围．20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分．如果有穷数列123naaaa，，，，（n为正整数）满足条件naa1，12naa，…，1aan，即1iniaa（12in，，，），我们称其为“对称数列”．例如，由组合数组成的数列01mmmmCCC，，，就是“对称数列”．（1）设nb是项数为7的“对称数列”，其中1234bbbb，，，是等差数列，且21b，114b．依次写出nb的每一项；（2）设nc是项数为12k(正整数1k)的“对称数列”，其中121kkkccc，，，是首项为50，公差为4的等差数列．记nc各项的和为12kS．当k为何值时，12kS取得最大值？并求出12kS的最大值；（3）对于确定的正整数1m，写出所有项数不超过m2的“对称数列”，使得211222m，，，，依次是该数列中连续的项；当m1500时，求其中一个“对称数列”前2008项的和2008S．21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．我们把由半椭圆12222byax(0)x≥与半椭圆12222cxby(0)x≤合成的曲线称作“果圆”，其中222cba，0a，0cb．如图，点0F，1F，2F是相应椭圆的焦点，1A，2A和1B，2B分别是“果圆”与x，y轴的交点．（1）若012FFF△是边长为1的等边三角形，求“果圆”的方程；（2）当21AA21BB时，求ab的取值范围；（3）连接“果圆”上任意两点的线段称为“果圆”的弦．试研究：是否存在实数k，使斜率为k的“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上？若存在，求出所有可能的k值；若不存在，说明理由．y1BO1A2B2A..1F0F2Fx.2007年全国普通高等学校招生统一考试（上海卷）数学试卷(理工农医类)答案要点一、填空题（第1题至第11题）1．34xxx且2．323．）（11xxx4．7log35．1616．π7．3.08．)3(122xy9．②④10．21//ss，并且1t与2t相交（//1t2t，并且1s与2s相交）11．二、选择题（第12题至第15题）题号12131415答案ACBD三、解答题（第16题至第21题）16．解法一：由题意，可得体积11111122ABCVCCSCCACBCCC△，211CCAA．连接1BC．1111111ACBCACCC，，11CA平面CCBB11，11BCA是直线BA1与平面CCBB11所成的角．52211BCCCBC，51tan11111BCCABCA，则11BCA＝55arctan．CB1B1AA1CC1AA1C1BBxyz即直线BA1与平面CCBB11所成角的大小为55arctan．解法二：由题意，可得体积11111122ABCVCCSCCACBCCC，21CC，如图，建立空间直角坐标系．得点(010)B，，，1(002)C，，，1(102)A，，．则1(112)AB，，，平面CCBB11的法向量为(100)n，，．设直线BA1与平面CCBB11所成的角为，BA1与n的夹角为，则116cos6ABnABn，66arcsin,66|cos|sin，即直线BA1与平面CCBB11所成角的大小为66arcsin．17．解：由题意，得3cos5BB，为锐角，54sinB，10274π3sin)πsin(sinBCBA，由正弦定理得710c，111048sin222757SacB．18．解：（1）由已知得2003，2004，2005，2006年太阳电池的年生产量的增长率依次为%36，%38，%40，%42．则2006年全球太阳电池的年生产量为8.249942.140.138.136.1670(兆瓦)．（2）设太阳电池的年安装量的平均增长率为x，则441420(1)95%2499.8(142%)x≥．解得0.615x≥．因此，这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到%5.61．19．解：（1）当0a时，2)(xxf，对任意(0)(0)x，，，)()()(22xfxxxf，)(xf为偶函数．当0a时，2()(00)afxxaxx，，取1x，得(1)(1)20(1)(1)20ffffa，，(1)(1)(1)(1)ffff，，函数)(xf既不是奇函数，也不是偶函数．（2）解法一：设122xx≤，22212121)()(xaxxaxxfxfaxxxxxxxx)()(21212121，要使函数)(xf在[2)x，上为增函数，必须0)()(21xfxf恒成立．121204xxxx，，即)(2121xxxxa恒成立．又421xx，16)(2121xxxx．a的取值范围是(16]，．解法二：当0a时，2)(xxf，显然在[2)，为增函数．当0a时，反比例函数xa在[2)，为增函数，xaxxf2)(在[2)，为增函数．当0a时，同解法一．20．解：（1）设nb的公差为d，则1132314ddbb，解得3d，数列nb为25811852，，，，，，．（2）12112112kkkkkccccccSkkkkcccc)(2121，50134)13(42212kSk，当13k时，12kS取得最大值．12kS的最大值为626．（3）所有可能的“对称数列”是：①22122122222221mmm，，，，，，，，，，；②2211221222222221mmmm，，，，，，，，，，，；③122221222212222mmmm，，，，，，，，，，；④1222212222112222mmmm，，，，，，，，，，，．对于①，当2008m≥时，1222212008200722008S．当15002007m≤时，200922122008222221mmmmS2009212212mmm1222200921mmm．对于②，当2008m≥时，1220082008S．当15002007m≤时，2008S122200821mm．对于③，当2008m≥时，2008200822mmS．当15002007m≤时，2008S3222009mm．对于④，当2008m≥时，2008200822mmS．当15002007m≤时，2008S2222008mm．21．解：（1）2222012(0)00FcFbcFbc，，，，，，222220212121FFbccbFFbc，，于是22223744cabc，，所求“果圆”方程为2241(0)7xyx