2007年重庆卷数学（理科）含答案

2007年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学试题卷（理工农医类）数学试题卷（理工农医类）共5页，满分150分．考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡规定的位置上．2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上．4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．5．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回．参考公式：如果事件AB，互斥，那么()()()PABPAPB．如果事件AB，相互独立，那么()()()PABPAPB．如是事件A在一次试验中发生的概率是p，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率()(1)kknknnpkCpp．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若等比数列na的前3项和39S且11a，则2a等于（）Ａ．3Ｂ．4Ｃ．5Ｄ．62．命题“若21x，则11x”的逆否命题是（）Ａ．若21x≥，则1x≥或1x≤Ｂ．若11x，则21xＣ．若1x或1x，则21xＤ．若1x≥或1x≤，则21x≥3．若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成（）Ａ．5部分Ｂ．6部分Ｃ．7部分Ｄ．8部分4．若1nxx展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（）Ａ．10Ｂ．20Ｃ．30Ｄ．1205．在ABC△中，3AB，45A，75C，则BC（）Ａ．33Ｂ．2Ｃ．2Ｄ．336．从5张100元，3张200元，2张300元的奥运预赛门票中任取3张，则所取3张中至少有2张价格相同的概率为（）Ａ．14Ｂ．79120Ｃ．34Ｄ．23247．若a是12b与12b的等比中项，则22abab的最大值为（）Ａ．2515Ｂ．24Ｃ．55Ｄ．228．设正数ab，满足22lim()4xxaxb，则111lim2nnnnnaabab（）Ａ．0Ｂ．14Ｃ．12Ｄ．19．已知定义域为R的函数()fx在(8)，上为减函数，且函数(8)yfx为偶函数，则（）Ａ．(6)(7)ffＢ．(6)(9)ffＣ．(7)(9)ffＤ．(7)(10)ff10．如题（10）图，在四边形ABCD中，4ABBDDC，4ABBDBDDC，0ABBDBDDC，则()ABDCAC的值为（）Ａ．2Ｂ．22Ｃ．4Ｄ．42二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．把答案填写在答题卡相应位置上．11．复数322ii的虚部为______．12．已知xy，满足1241xyxyx≤，≤，≥．则函数3zxy的最大值是______．13．若函数22()21xaxnfx的定义域为R，则的取值范围为______．14．设na为公比1q的等比数列，若2004a和2005a是方程24830xx的两根，则20062007aa______．15．某校要求每位学生从7门课程中选修4门，其中甲、乙两门课程不能都选，则不同的选课方程有______种．（以数字作答）16．过双曲线224xy的右焦点F作倾斜角为105的直线，交双曲线于PQ，两点，则FPFQ的值为______．DCAB题（10）图三、解答题：本大题共6小题，共76分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分13分，其中（Ⅰ）小问9分，（Ⅱ）小问4分．）设2()6cos3sin2fxxx．（Ⅰ）求()fx的最大值及最小正周期；（Ⅱ）若锐角满足()323f，求4tan5的值．18．（本小题满分13分，其中（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问9分）某单位有三辆汽车参加某种事故保险，单位年初向保险公司缴纳每辆900元的保险金，对在一年内发生此种事故的每辆汽车，单位可获9000元的赔偿（假设每辆车最多只赔偿一次），设这三辆车在一年内发生此种事故的概率分别为19，110，111，且各车是否发生事故相互独立，求一年内该单位在此保险中：（Ⅰ）获赔的概率；（Ⅱ）获赔金额的分布列与期望．19．（本小题满分13分，其中（Ⅰ）小问8分，（Ⅱ）小问5分）如题（19）图，在直三棱柱111ABCABC中，12AA，1AB，90ABC∠；点DE，分别在1BB，1AD上，且11BEAD⊥，四棱锥1CABDA与直三棱柱的体积之比为3:5．（Ⅰ）求异面直线DE与11BC的距离；（Ⅱ）若2BC，求二面角111ADCB的平面角的正切值．20．（本小题满分13分，其中（Ⅰ），（Ⅱ），（Ⅲ）小问分别为6，4，3分．）已知函数44()ln(0)fxaxxbxcx在1x处取得极值3c，其中ab，为常数．（Ⅰ）试确定ab，的值；（Ⅱ）讨论函数()fx的单调区间；（Ⅲ）若对任意0x，不等式2()2fxc≥恒成立，求c的取值范围．21．（本小题满分12分，其中（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分．）已知各项均为正数的数列na的前n项和nS满足11S，且6(1)(2)nnnSaa，nN．（Ⅰ）求na的通项公式；ABCDE1B1C1A题（19）图（Ⅱ）设数列nb满足(21)1nbna，并记nT为nb的前n项和，求证：231log(3)nnTanN，．22．（本小题满分12分，其中（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分．）如题（22）图，中心在原点O的椭圆的右焦点为(30)F，，右准线l的方程为：12x．（1）求椭圆的方程；（Ⅱ）在椭圆上任取三个不同点1P，2P，3P，使122331PFPPFPPFP∠∠∠，证明：123111FPFPFP为定值，并求此定值．2007年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学试题（理工农医类）答案一、选择题：每小题5分，满分50分．（1）A（2）D（3）C（4）B（5）A（6）C（7）B（8）B（9）D（10）C二、填空题：每小题4分，满分24分．（11）45（12）7（13）10，（14）18（15）25（16）833三、解答题：满分76分．（17）（本小题13分）解：（Ⅰ）1cos2()63sin22xfxx3cos23sin23xx3123cos2sin2322xx23cos236x．故()fx的最大值为233；OF2P1Pxl3Py题（22）图最小正周期22T．（Ⅱ）由()323f得23cos233236，故cos216．又由02得2666，故26，解得512．从而4tantan353．（18）（本小题13分）解：设kA表示第k辆车在一年内发生此种事故，123k，，．由题意知1A，2A，3A独立，且11()9PA，21()10PA，31()11PA．（Ⅰ）该单位一年内获赔的概率为123123891031()1()()()19101111PAAAPAPAPA．（Ⅱ）的所有可能值为0，9000，18000，27000．12312389108(0)()()()()9101111PPAAAPAPAPA，123123123(9000)()()()PPAAAPAAAPAAA123123123()()()()()()()()()PAPAPAPAPAPAPAPAPA191081108919101191011910112421199045，123123123(18000)()()()PPAAAPAAAPAAA123123123()()()()()()()()()PAPAPAPAPAPAPAPAPA1110191811910119101191011273990110，123123(27000)()()()()PPAAAPAPAPA111191011990．综上知，的分布列为090001800027000P811114531101990求的期望有两种解法：解法一：由的分布列得811310900018000270001145110990E299002718.1811≈（元）．解法二：设k表示第k辆车一年内的获赔金额，123k，，，则1有分布列109000P8919故11900010009E．同理得21900090010E，319000818.1811E．综上有1231000900818.182718.18EEEE（元）．19．（本小题13分）解法一：（Ⅰ）因1111BCAB，且111BCBB，故11BC面11AABB，从而111BCBE，又1BEDE，故1BE是异面直线11BC与DE的公垂线．设BD的长度为x，则四棱椎1CABDA的体积1V为111111()(2)366ABDAVSBCDBAAABBCxBC····．而直三棱柱111ABCABC的体积2V为21112ABCVSAAABBCAABC△···．由已知条件12:3:5VV，故13(2)65x，解之得85x．从而1182255BDBBDB．在直角三角形11ABD中，2221111229155ADABBD，又因11111111122ABDSADBEABBD△··，故1111122929ABBDBEAD·．（Ⅱ）如答（19）图1，过1B作11BFCD，垂足为F，连接1AF，因1111ABBC，111ABBD，故11AB面11BDC．由三垂线定理知11CDAF，故11AFB为所求二面角的平面角．在直角11CBD△中，2221111236255CDBCBD，又因11111111122CBDSCDBFBCBD△··，故11111239BCBDBFCD·，所以1111133tan2ABAFBBF．解法二：（Ⅰ）如答（19）图2，以B点为坐标原点O建立空间直角坐标系Oxyz，则(000)B，，，1(002)B，，，(010)A，，，1(012)A，，，则1(002)AA，，，(010)AB，，．设1(02)Ca，，，则11(00)BCa，，，又设00(0)Eyz，，，则100(02)BEyz，，，从而1110BCBE，即111BEBC．又11BEDA，所以1BE是异面直线11BC与DE的公垂线．下面求点D的坐标．设(00)Dz，，，则(00)BDz，，．因四棱锥1CABDA的体积1V为11111()36ABDAVSBCBDAAABBC1(2)16zBC．A()BOCDE1B1C1A答（19）图2yxzFABCDE1B1C1A答（19）图1F而直三棱柱111ABCABC的体积2V为21112ABCVSAAABBCAABC△．由已知条件12:3:5VV，故13(2)65z，解得85z，即8005D，，．从而12005DB，，，12015DA，，，00805DEyz，，．接下来再求点E的坐标．由11BEDA，有110BEDA，即002(2)05yz（1）又由1DADE∥得0085215zy．（2）联立（1），（2），解得0429y，04829z，即44802929E，，，得141002929BE，，．故221410229292929BE．（Ⅱ）由已知2BC，则1(202)C，，，从而12(20)5DC，，，过1B作