5.4-奈奎斯特稳定判据

5.4奈奎斯特稳定判据奈奎斯特（Nyquist）稳定判据是奈奎斯特于1932年提出的，是频率法的重要内容，简称奈氏判据。奈氏判据的主要特点有：1.根据系统的开环频率特性，来研究闭环系统稳定性，而不必求闭环特征根；2.能够确定系统的稳定程度（相对稳定性）。3.可用于分析系统的瞬态性能，利于对系统的分析与设计；4.基于系统的开环奈氏图，是一种图解法。Nyquist判据的主要理论依据是复变函数理论中的Cauch(柯西)幅角定理。1212()()()()()()()mnKszszszFsspspsp一、映射原理式中–zi(i=1,2,…,m)为F(s)的零点，–pj(j=1,2,…,n)为F(s)的极点。函数F(s)是复变量s的单值函数，s可以在整个s平面上变化，对于其上的每一点，除有限(n)个极点外，函数F(s)都有唯一的一个值与之对应。5.4.1幅角原理设辅助函数s平面F(s)平面F(s)的零点原点F(s)的极点无限远点s平面上的其他点原点外的有限点s平面上的点与F(s)平面上的点有对应关系1212()()()()()()()mnKszszszFsspspsp注意，虽然函数F(s)从s平面到F(s)平面的映射是一一对应的，然而逆过程往往并非如此。例如已知()(1)(2)KFssss这个函数在有限的s平面上除s=0,－1,－2以外均解析，除此三点外，s平面上的每一个s值在F(s)平面只有一个对应点，但是F(s)平面上的每一个点在s平面上却有三个映射点。最简单的说明方式就是将方程改写成当F(s)取一个常数时上式是一个三次方程，应有三个根与之对应。(1)(2)()KsssFs现考虑s平面上一点s1映射到F(s)平面上的点F(s1)可以用一个向量来表示，即当111()1()111()11()()ijmjszijFsinjspjjKszeFsFsespe向量的幅值为11111()()()mnijijFsszsp1111()()1111mnijijmjszspiinjjKszesp11111()()()miinjjKszFssp11111()miinjjKszFssp向量的相角为二、幅角定理ReImReImS平面F(s)平面)(s)(sF当S平面上动点s从s1经过某曲线CS到达s2，映射到F(s)平面上也将是一段曲线CF，该曲线完全由F(s)表达式和s平面上的曲线CS决定。若只考虑动点s从s1到达s2相角的变化量，则有21()()()FsFsFs[例]设：,当s平面上的动点沿平行于虚轴的直线，从(-1，j1)到(-1，j0)，映射到F(s)平面上的点将沿某曲线从(0，-j1)到(-1，-j0)，相角的变化为：sssF2)((045)(180135)902211()()()()ijijszspszsp21()()()FsFsFs22111111()()()()mnmnijijijijszspszsp21211111()()()()mmnniijjiijjszszspsp2121()()()()iijjszszspsp现考虑s平面上既不经过零点也不经过极点的一条封闭曲线CS。当变点s沿CS顺时针方向绕行一周，连续取值时，则在F(s)平面上也映射出一条封闭曲线CF。在s平面上，用阴影线表示的区域，称为CS的内域。由于我们规定沿顺时针方向绕行，所以内域始终处于行进方向的右侧。在F(s)平面上，由于CS映射而得到的封闭曲线CF的形状及位置，严格地决定于CS。顺时针FC平面)(sF示意图平面s顺时针sC在这种映射关系中，有一点是十分重要的，即：不需知道围线CS的确切形状和位置，只要知道它的内域所包含的零点和极点的数目，就可以预知围线CF是否包围坐标原点和包围原点多少次；反过来，根据已给的围线CF是否包围原点和包围原点的次数，也可以推测出围线CS的内域中有关零、极点数的信息。-1-0.500.511.522.53-2-1.5-1-0.500.511.52平面)(sFABCDEFGH1.围线CS既不包围零点也不包围极点如图所示，在s平面上当变点s沿围线CS按顺时针方向运动一周时，我们来考察F(s)中各因子项的幅角的变化规律。ABCDEFGH12平面s顺时针SC123现以图中未被包围的零点-2为例。当变点s沿CS绕行一周后，因子(s+2)的幅角a的变化为0°。同理，对未被包围的极点也是一样，因子项(s+0)的幅角b在变点s沿CS绕行一周后的变化也等于0°。于是，映射到F(s)平面上，当变点F(s)沿CF绕行一周后的幅角变化也应等于0°。这表明，围线CF此时不包围原点。ab2.围线CS只包围零点不包围极点如图所示围线CS包围一个零点z=-2，考察因子(s+2)幅角a，当变点s沿CS顺时针绕行一周时，a的变化为-360°。映射到F(s)平面上对应变点F(s)沿CF绕行一周后的幅角变化也应等于-360°。同理，当围线CS的内域包含Z个零点时(但不包含极点)，CF应顺时针包围原点Z次。ABCDEFGH12平面s顺时针SC-2-1.5-2-1.5-1-0.500.511.52-1-0.500.511.52ACDEGa⒊围线CS只包围极点不包围零点这种情况如图所示，如果围线CS包围一个极点，则当变点s沿CS顺时针绕行一周时，因子(s+0)–1的幅角–b将变化360°。映射到F(s)平面上，围线CF应逆时针包围原点一次。同理，当围线CS的内域只包含P个极点时，CF应逆时针包围原点P次，或者说，CF顺时针包围原点－P次。ABCDEFGH12平面s顺时针SC-1-0.500.511.522.53-2-1.5-1-0.500.511.52ABCDEFGHb⒋围线CS包围Z个零点和P个极点由上述讨论显然可知，当变点s沿CS顺时针绕行一周时，CF应顺时针包围原点Z－P次。亦即CF顺时针包围原点次数N=Z－P。这就是所谓幅角原理。ABCDEFGH12平面s顺时针SC-2.0-1.5-1.0-0.50.00.51.01.52.0-1-0.500.511.522.53ABCDEFGH设CS为s平面上不含F(s)任何奇点的封闭曲线，该曲线内包含了F(s)的P个极点和Z个零点，当动点s沿CS顺时针运动一周，映射到F(s)平面上的曲线CF包围原点的方向和周数为：NZP0,NCF顺时针包围原点N周；0,NCF不包围原点；0,NCF逆时针包围原点N周；[柯西幅角原理]1,Z0,PNZP1顺时针包围原一周；0,Z1,PN逆时针包围原一周；12,Z2,P0N不包围原点；一、控制系统的辅助函数开环传递函数为：()()()()()kMsGsGsHsNs特征多项式为：()1()()1()MsGsHsNs()()()MsNsNs取()()()1()()()MsNsFsGsHsNs为辅助函数，闭环极点，也就是特征方程的根；F(s)的零点：(1()()0)GsHsN(s)=0的根，即开环极点；)(sR)(sC)(sG)(sH闭环传递函数为：()()1()()GssGsHsF(s)的极点：(()0)Ns5.4.2奈奎斯特稳定判据对于一个控制系统，若其特征根处于s右半平面，则系统是不稳定的。对于上面讨论的辅助函数F(s)＝1＋Gk(s)，其零点恰好是闭环系统的极点，因此，只要搞清F(s)的零点在s右半平面的个数，就可以给出稳定性结论。如果F(s)的右半零点个数为零，则闭环系统是稳定的。奈奎斯特为了应用柯西幅角原理研究闭环系统的稳定性，因此设想：如果有一个s平面的封闭曲线能包围整个s右半平面，则根据柯西幅角原理知：该封闭曲线在F(s)平面上的映射包围原点的次数应为：N=F(s)的右半零点数－F(s)的右半极点数=闭环系统右半极点数－开环系统右半极点数当已知开环右半极点数时，便可由N判断闭环右极点数。二、奈奎斯特轨迹这里需要解决两个问题：1、如何构造一个能够包围整个s右半平面的封闭曲线，并且它是满足柯西幅角条件的？2、如何确定相应的映射F(s)对原点的包围次数N，并将它和开环频率特性Gk(jw)相联系？①正虚轴：0sjww第1个问题：先假设F(s)在虚轴上没有零、极点。按顺时针方向做一条曲线CS包围整个s右半平面，这条封闭曲线称为奈奎斯特路径。如下图所示。它可分为三部分：wjew0sCⅠⅡⅢ22jsReR，，从②右半平面上半径为无穷大的半圆：0sjww③负虚轴：F(s)平面上的映射是这样得到的：得到映射曲线后，就可由柯西幅角定理计算N=Z－P，式中Z、P是F(s)在s右半平面的零点数和极点数。若已知P，并能确定N，可求出Z=N+P。当Z=0时，系统稳定；否则不稳定。①以s=jw代入F(s)，令w从0→∞变化，得第一部分的映射；③以s=jw代入F(s)，令w从－∞→0，得第三部分的映射。②以s=R·ej代入F(s)，令R→∞，:，得第二部分的映射；22③F(s)的极点就是Gk(s)的极点，因此F(s)在右半平面的极点数就是Gk(s)在右半平面的极点数。②F(s)对原点的包围，相当于Gk(s)对(-1,j0)的包围；即映射曲线F(s)对原点的包围次数N与Gk(s)对(-1,j0)点的包围的次数一样。奈奎斯特路径的第I部分的映射是Gk(jw)曲线向右移1；①由Gk(jw)可求得F(jw)，而Gk(jw)是开环频率特性。第2个问题：如何确定相应的映射F(s)对原点的包围次数N，并将它和开环频率特性Gk(jw)相联系？奈奎斯特所构造的的F(s)＝1＋Gk(s)，Gk(s)为开环传递函数。因此，有以下三点是明显的：第II部分的映射，一般在Gk(s)中，分母阶数比分子阶数高，所以当s=R·ej时，Gk(s)→0，即F(s)=1。若分母阶数=分子阶数，则Gk(s)→K(零极点形式的开环增益)，即F(s)=1+K。第III部分的映射是第I部分的映射关于实轴的对称。F(s)G(s)H(s)与平面的关系：()()1()GsHsFsImRe0GH平面ImRe0F(s)平面将GH平面原点左移一个单位，即F(s)的原点(1,0)j幅角定理可以用GH平面上对（-1，j0）点的包围来讨论。-2-102345w=0w=∞ReIm-4-3-2-112341F平面原点F平面-4-3-2-11234-2-1012345Gk平面原点Gk平面Gk平面(-1,j0)点[奈奎斯特稳定判据的另一种描述]：设开环系统传递函数Gk(s)在右半s平面上的极点数为P，则闭环系统稳定的充分必要条件为：在Gk(s)平面上的开环频率特性曲线及其镜象当w从–∞变化到+∞时，将以逆时针的方向围绕(–1，j0)点P圈。对于开环系统稳定的情况，P=0，则闭环系统稳定的充分必要条件是开环频率特性曲线及其镜象不包围(–1，j0)点。不稳定的闭环系统在s右半平面的极点数为：Z=N+P。根据上面的讨论，如果将柯西幅角定理中的封闭曲线取奈奎斯特路径，则可将柯西幅角定理用于判断闭环控制系统的稳定性。就是下面所述的奈奎斯特稳定判据。[奈奎斯特稳定判据]：若系统的开环传递函数在右半平面上有P个极点，且开环频率特性曲线对(–1，j0)点包围的次数为N，（N0顺时针，N0逆时针），则闭环系统在右半平面的极点数为：Z=N+P。若Z=0，则闭环系统稳定，否则不稳定。三、奈奎斯特稳定判据[例]开环传递函数为：，试用奈氏判据判断闭环系统的稳定性。12()(1)(1)kKGsTsTs