2008年高考试题——数学（江苏卷）（有解析）

2008年普通高校招生统一考试江苏卷(数学)1.()cos()6fxwx的最小正周期为5，其中0w，则w▲。【解析】本小题考查三角函数的周期公式。2105Tww。答案102.一个骰子连续投2次，点数和为4的概率为▲。【解析】本小题考查古典概型。基本事件共66个，点数和为4的有(1,3)、(2,2)、(3,1)共3个，故316612P。答案1123.11ii表示为abi(,)abR，则ab=▲。【解析】本小题考查复数的除法运算，1,0,11iiabi，因此ab=1。答案14.2(1)37,Axxx则AZ的元素个数为▲。【解析】本小题考查集合的运算和解一元二次不等式。由2(1)37xx得2580xx因为0，所以A，因此AZ，元素的个数为0。答案05.,ab的夹角为0120，1,3ab，则5ab▲。【解析】本小题考查向量的线形运算。因为1313()22ab，所以22225(5)2510abababab=49。因此5ab7。答案76.在平面直角坐标系xoy中，设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D中随意投一点，则落入E中的概率为▲。【解析】本小题考查古典概型。如图：区域D表示边长为4的正方形ABCD的内部（含边界），区域E表示单位圆及其内部，因此214416P。答案167.某地区为了解70~80岁老人的日平均睡眠时间（单位：h），随机选择了50位老人进行调查。下表是这50位老人日睡眠时间的频率分布表。序号（i）分组（睡眠时间）组中值（iG）频数（人数）频率（iF）1[4,5)4.560.122[5,6)5.5100.203[6,7)6.5200.404[7,8)7.5100.205[8,9)8.540.08在上述统计数据的分析中，一部分计算算法流程图，则输出的S的值是▲。【解析】本小题考查统计与算法知识。答案6.428.直线12yxb是曲线ln(0)yxx的一条切线，则实数b▲。【解析】本小题考查导数的几何意义、切线的求法。1yx，令112x得2x，故切点为(2,ln2)，代入直线方程，得1ln222b，所以ln21b。答案ln21b9.在平面直角坐标系中，设三角形ABC的顶点坐标分别为(0,),(,0),(,0)AaBbCc，点(0,)Pp在线段OA上（异于端点），设,,,abcp均为非零实数，直线,BPCP分别交,ACAB于点E，F，一同学已正确算出OE的方程：11110xybcpa，请你求OF的方程：▲。【解析】本小题考查直线方程的求法。画草图，由对称性可猜想1111()()0xycbpa。事实上，由截距式可得直线:1xyABab，直线:1xyCDcp，两式相减得1111()()0xycbpa，显然直线AB与CP的交点F满足此方程，又原点O也满足此方程，故为所求的直线OF的方程。答案1111()()0xycbpa。10.将全体正整数排成一个三角形数阵：12345678910按照以上排列的规律，第n行(3)n从左向右的第3个数为▲。【解析】本小题考查归纳推理和等差数列求和公式。前1n行共用了123(1)n(1)2nn个数，因此第n行(3)n从左向右的第3个数是全体正整数中的第(1)32nn个，即为262nn。答案262nn11.2,,,230,yxyzRxyzxz的最小值为▲。【解析】本小题考查二元基本不等式的运用。由230xyz得32xzy，代入2yxz得229666344xzxzxzxzxzxz，当且仅当3xz时取“=”。答案3。12.在平面直角坐标系中，椭圆22221(0)xyabab的焦距为2，以O为圆心，a为半径的圆，过点2(,0)ac作圆的两切线互相垂直，则离心率e=▲。【解析】本小题考查椭圆的基本量和直线与圆相切的位置关系。如图，切线,PAPB互相垂直，又OAPA，所以OAP是等腰直角三角形，故22aac，解得22cea。答案2213.若2,2ABACBC，则ABCS的最大值▲。【解析】本小题考查三角形面积公式及函数思想。因为AB=2（定长），可以以AB所在的直线为x轴，其中垂线为y轴建立直角坐标系，则(1,0),(1,0)AB，设(,)Cxy，由2ACBC可得2222(1)2(1)xyxy，化简得22(3)8xy，即C在以（3，0）为圆心，22为半径的圆上运动。又1222ABCccSAByy。答案2214.3()31fxaxx对于1,1x总有()0fx成立，则a=▲。【解析】本小题考查函数单调性及恒成立问题的综合运用,体现了分类讨论的数学思想。要使()0fx恒成立，只要min()0fx在1,1x上恒成立。22()333(1)fxaxax01当0a时，()31fxx，所以min()20fx，不符合题意，舍去。02当0a时22()333(1)0fxaxax，即()fx单调递减，min()(1)202fxfaa，舍去。03当0a时1()0fxxa①若111aa时()fx在11,a和1,1a上单调递增，在11,aa上单调递减。所以min1()min(1),()fxffa(1)400411()120faafaa②当111aa时()fx在1,1x上单调递减，min()(1)202fxfaa，不符合题意，舍去。综上可知a=4.答案4。15.如图，在平面直角坐标系xoy中，以ox轴为始边做两个锐角,，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为225,105。（1）求tan()的值；（2）求2的值。【解析】本小题考查三角函数的定义、两角和的正切、二倍角的正切公式。由条件得225cos,cos105，为锐角，故72sin0sin10且。同理可得5sin5，因此1tan7,tan2。（1）17tantan2tan()11tantan172=-3。（2）132tan(2)tan[()]11(3)2=-1，0,0,223022，从而324。16．在四面体ABCD中，CB=CD，ADBD，且E，F分别是AB，BD的中点，求证（I）直线EFD面AC；（II）EFCD面面BC。证明：（I）E，F分别为AB，BD的中点EFADEFADADACDEFACDEFACD面面面。DEFCAB（II）EFADEFBDADBDCDCBCFBDBDEFCFBDEFCFF面为的中点又BDBCD面，所以EFCD面面BC17．某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的顶点A，B，及CD的中点P处，已知20ABkm,10CDkm,为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD的区域上（含边界），且A，B与等距离的一点O处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO，BO，OP，设排污管道的总长为ykm。（I）按下列要求写出函数关系式：①设()BAOrad，将y表示成的函数关系式；②设()OPxkm，将y表示成x的函数关系式。（II）请你选用（I）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排水管道总长度最短。【解析】本小题考查函数最值的应用。（I）①由条件可知PQ垂直平分AB，()BAOrad，则10AQOACOSBAOCOS故10OBCOS，又1010tanOP，所以10101010tanyOAOBOPCOSCOS2010sin10(0)cos4。②()OPxkm，则10OQx，所以222(10)1020200OAOBxxx，所以所求的函数关系式为2220200(010)yxxxx。（II）选择函数模型①。22210cos(2010sin)(sin)10(2sin1)coscosy。令0y得1sin2，又04，所以6。当06时，0y，y是的减函数；64时，0y，y是的增函数。所以当6时min10310y。当P位于线段AB的中垂线上且距离AB边1033km处。18.设平面直角坐标系xoy中，设二次函数2()2()fxxxbxR的图象与坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C。（1）求实数b的取值范围；（2）求圆C的方程；（3）问圆C是否经过某定点（其坐标与b无关）？请证明你的结论。【解析】本小题考查二次函数图象与性质、圆的方程的求法。（1）010(0)0bbf且（2）设所求圆的方程为220xyDxEyF。令202,xDxFDFb0y得202,xDxFDFb又0x时yb，从而1Eb。所以圆的方程为222(1)0xyxbyb。（3）222(1)0xyxbyb整理为222(1)0xyxyby，过曲线22:20Cxyxy与:10ly的交点，即过定点(0,1)与(2,1)。19.（I）设12,,naaa是各项均不为零的等差数列(4)n，且公差0d，若将此数列删去某一项得到的数列（按原来的顺序）是等比数列：①当4n时，求1ad的数值；②求n的所有可能值；（II）求证：对于一个给定的正整数(4)n，存在一个各项及公差都不为零的等差数列12,nbbb，其中任意三项（按原来的顺序）都不能组成等比数列。【解析】本小题考查等差数列与等比数列的综合运用。（I）①当4n时，1234,,,aaaa中不可能删去首项或末项，否则等差数列中连续三项成等比数列，则0d。若删去2a，则有2314aaa，即2111(2)(3)adaad，化简得14ad；若删去3a，则有2214aaa，即2111()(3)adaad，化简得11ad。综上可知141ad或。②当5n时，12345,,,,aaaaa中同样不可能删去首项或末项。若删去2a，则有1534aaaa，即1111(4)(2)(3)aadadad，化简得16ad；若删去3a，则有1524aaaa，即1111(4)()(3)aadadad，化简得30d，舍去；若删去4a，则有1523aaaa，即1111(4)()(2)aadadad，化简得12ad。当6n时，不存在这样的等差数列。事实上，在数列12321,,,,nnnaaaaaa中，由于不能删去首项和末项，若删去2a，则必有132nnaaaa，这与0d矛盾；同样若删去1na，也有132nnaaaa，这与0d矛盾；若删去32naa中的任意一个，则必有121nnaaaa，这与0d矛盾。综上可知4,5n。（3）略20.若121212()3,()3,,,xpxpfxfxxRpp为常数，且112212(),()()()(),()()fxfxfxfxfxfxfx(I)求1()()fxfx对所有的实数x成立的充要条件（用12,pp表示）；(II)设,ab为两实数，ab且12,(,)ppab，若()()fafb，求证：()fx在区间,ab上的单调增区间的长度和为2ba（闭区间,m