2008年高考试题——数学理（福建卷）

2008年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，第Ⅰ卷第1至第2页，第Ⅱ卷第2至第4页。全卷满分150分，考试时间120分钟。参考公式：如果事件A、B互斥，那么球的表面积公式P(A+B)=P(A)+P(B)24RS如果事件A、B相互独立，那么其中R表示球的半径P(A·B)=P(A)+P(B)第一卷（选择题60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。⑴若复数iaaa)1()23(2是纯虚数，则实数a的值为（）A）1B）2C）1或2D）-1⑵设集合}01|{xxxA，}30|{xxB，那么“Am”是“Bm”的（）A）充分而不必要条件B）必要而不充分条件C）充要条件D）既不充分也不必要条件⑶设}{na是公比为正数的等比数列，若16,151aa，则数列}{na的前7项的和为（）A）63B）64C）127D）128⑷函数)(1sin)(3Rxxxxf，若2)(af，则)(af的值为（）A）3B）0C）-1D）-2⑸某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为54，那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是（）A）62516B）62596C）625192D）625256⑹如图，在长方体1111DCBAABCD中，1,21AABCAB，则1BC与平面DDBB11所成角的正弦值为（）A）36B）552C）515A）510⑺某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为（）A）14B）24C）28D）48D1C1ABB1CDA1⑻若实数001xyx，则xy的取值范围是（）A）)1,0(B）]1,0(C）),1(D）),1[⑼函数)(cos)(Rxxxf的图象按向量)0,(m平移后，得到函数)(xfy的图象，则m的值可以为（）A）2B）C）D）2⑽在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若acBbca3tan)(222，则角B的值为（）A）6B）3C）6或65D）3或32⑾双曲线)0,0(12222babyax的两个焦点为1F、2F，若P为其上一点，且||2||21PFPF，则双曲线离心率的取值范围是（）A）)3,1(B）]3,1(C）),3(D）),3[⑿已知函数)(),(xgyxfy的导函数的图象如右图，那么)(),(xgyxfy的图象可能是（）第二卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在答题卡的相应位置。⒀若01223344555)2(axaxaxaxaxax，则54321aaaaa。（用数字作答）⒁若直线043myx与圆sin2cos1yx(为参数)没有公共点，则实数m的取值范围是。⒂若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是。⒃设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a、Pb，都有ba、ba、ab、Pba（除数0b），则称P是一个数域。例如有理数集Q是数域；数集},|2{QbabaF也是数域。有下列命题：①整数集是数域；②若有理数集MQ，则数集M必为数域；③数域必为无限集；④存在无穷多个数域。其中正确的命题的序号是。（把你认为正确的命题的序号都填上）三、解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。(17)（本小题满分12分）已知向量)cos,(sinAAm，)1,3(n，1nm，且A为锐角。(Ⅰ)求角A的大小；(Ⅱ)求函数)(sincos42cos)(RxxAxxf的值域。(18)（本小题满分12分）如图，在四棱锥PABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA=PD=2，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，ABAD，222ADABBC，O为AD中点。(Ⅰ)求证：PO平面ABCD；(Ⅱ)求异面直线PB与CD所成角的大小；(Ⅲ)线段AD上是否存在点Q，使得它到平面PCD的距离为23？若存在，求出QDAQ的值；若不存在，请说明理由。ODCBAP(19)（本小题满分12分）已知函数231)(23xxxf(Ⅰ)设}{na是正数组成的数列，前n项和为nS，其中31a，若点))(2,(*121Nnaaannn在函数)(xfy的图象上，求证：点),(nSn也在)(xfy的图象上；(Ⅱ)求函数)(xf在区间),1(aa内的极值。(20)（本小题满分12分）某项考试按科目A、科目B依次进行，只有当科目A成绩合格时，才可继续参加科目B的考试。已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证书。现某人参加这项考试，科目A每次考试成绩合格的概率均为32，科目B每次考试成绩合格的概率均为21。假设各次考试成绩合格与否均互不影响。(Ⅰ)求他不需要补考就可获得证书的概率；(Ⅱ)在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为ξ，求ξ的数学期望Eξ。(21)（本小题满分12分）如图，椭圆)0(12222babyax的一个焦点是)0,1(F，O为坐标原点。(Ⅰ)已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；(Ⅱ)设过点F的直线l交椭圆于A、B两点。若直线l绕点F任意转动，恒有222||||||ABOBOA，求a的取值范围。(22)（本小题满分14分）已知函数xxxf)1ln()(。(Ⅰ)求)(xf的单调区间；(Ⅱ)记)(xf在区间)](,0[*Nnn上的最小值为nb，令nnbna)1ln(。(ⅰ)如果对一切n，不等式22nnnacaa恒成立，求实数c的取值范围；yxlBAFO(ⅱ)求证：1122421231423121nnnaaaaaaaaaaaaa。数学试题（理工农医类）参考答案一、选择题：本大题考查基本概念和基本运算.每小题5分，满分60分.（1）B由2320aa得12a或,且101aa得2a（2）A由01xx得01x,可知“mA”是“mB”的充分而不必要条件.（3）C由151,16aa及na是公比为正数的等比数列，得公比7712212712qS（4）B注意到3()1sinfxxx为奇函数，又()2fa()11fa故()11fa即()0fa.（5）B由222444196(2)55625PC（6）D连11AC与11BD交与O点,再连BO,则10BC为所成角,下面就是计算了.（7）A只少一名女生可用间接法即46114C。（8）Cyx可看做可行域中的点与原点构成直线的低斜率.（9）A()sinyfxx,而f(x)=cosx(xR)的图象按向量(m,0)平移后得到cos()yxm,所以cos()sinxmx,故m可以为2.（10）D由222(a+c-b)tanB=3ac得222(a+c-b)3cos=22sinBacB即3coscos=2sinBBB3sin=2B,又在△中所以B为3或23.（11）B可用三角形的两边和大于第三边,及两边差小于第三边,但要注意前者可以取到等号成立,因为可以三点一线.也可用焦半径公式确定a与c的关系（12）D从导函数的图象可知两个函数在0x处斜率相同,可以排除B答案,再者导函数的函数值反映的是原函数的斜率大小,可明显看出y=f(x)的导函数的值在减小,所以原函数应该斜率慢慢变小,排除AC,最后就只有答案D了,可以验证y=g(x).二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算.每小题4分，满分16分.（13）31令54321011xaaaaaa得,再令0032xa得5432131aaaaa（14）(,0)(10,)此圆的圆心为(-1.2),因为要没有公共点,所以根据圆心到直线的距离大于半径即可;或者可以联立方程根据二次函数的0.（15）9依题可以构造一个正方体,其体对角线就是外接球的直径.23333r,（16）③④要满足对四种运算的封闭,只有一个个来检验，如①对除法如12Z不满足，所以排除；对②当M中多一个元素i则会出现1iM所以它也不是一个数域；③④成立.三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）本小题主要考查平面向量的数量积计算、三角函数的基本公式、三角恒等变换、一元二次函数的最值等基本知识，考查运算能力.满分12分.解:(Ⅰ)由题意得3sincos112sin()1,sin()662mnAAAA由A为锐角得66A,3A(Ⅱ)由(Ⅰ)知1cos2A,所以2()cos22sin12sin2sinfxxxxx2132(sin)22x因为xR,所以sin1,1x,因此,当1sin2x时,()fx有最大值32,当sin1x时,()fx有最小值-3,所以所求函数()fx的值域是332，(18)本小题主要考查直线与平面位置关系、异面直线所成角、点到平面的距离等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力。满分12分。解法一：（Ⅰ）证明：在△PAD中PA=PD,O为AD中点，所以PO⊥AD,又侧面PAD⊥底面ABCD,平面PAD平面ABCD=AD,PO平面PAD，所以PO⊥平面ABCD.（Ⅱ）连结BO，在直角梯形ABCD中、BC∥AD，AD=2AB=2BC,有OD∥BC且OD=BC,所以四边形OBCD是平行四边形，所以OB∥DC.由（Ⅰ）知，PO⊥OB,∠PBO为锐角，所以∠PBO是异面直线PB与CD所成的角.因为AD=2AB=2BC=2,在Rt△AOB中，AB=1,AO=1,所以OB＝2，在Rt△POA中，因为AP＝2，AO＝1，所以OP＝1，在Rt△PBO中，tan∠PBO＝122,arctan.222PGPBOBC所以异面直线PB与CD所成的角是2arctan2.（Ⅲ）假设存在点Q，使得它到平面PCD的距离为32.设QDx，则12DQCSx，由（Ⅱ）得CD=OB=2，在Rt△POC中，222,PCOCOP所以PC=CD=DP,233(2),42PCDS由Vp-DQC=VQ-PCD,得2，所以存在点Q满足题意，此时13AQQD.解法二：(Ⅰ)同解法一.(Ⅱ)以O为坐标原点，OCODOP、、的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz,依题意，易得A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1),所以110111CDPB＝（，，），＝（，，）.所以异面直线PB与CD所成的角是6arccos3，(Ⅲ)假设存在点Q，使得它到平面PCD的距离为32，由(Ⅱ)知(1,0,1),(1,1,0).CPCD设平面PCD的法向量为n=(x0,y0,z0).则0,0,nCPnCD所以00000,0,xzxy即000xyz，取x0=1,得平面PCD的一个法向量为n=(1,1,1).设(0,,0)(11),(1,,0),QyyCQy由32CQnn，得13,23y解y=-12或y=52(舍去)，此时13,22AQQD，所以存在点Q满足题意，此时13AQDQ.(19)本小题主要考查函数极值、等差数列等基本知识，考查分类与整合、转化与化归等数学思想方法，考查分析问题和解决问题的能力.满分12分.(Ⅰ)证明：因为321()2,3fxxx所以22fxxx,由点211(,2)(N)nnnaaan在