2008年高考试题——数学理（广东卷）（有答案解析）

绝密★启用前试卷类型B2008年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上．将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”．2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须填写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号（或题组号）对应的信息点，再作答．漏涂、错涂、多涂的，答案无效．5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．参考公式：如果事件AB，互斥，那么()()()PABPAPB．已知n是正整数，则1221()()nnnnnnababaababb．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知02a，复数z的实部为a，虚部为1，则z的取值范围是（）A．(15)，B．(13)，C．(15)，D．(13)，2．记等差数列{}na的前n项和为nS，若112a，420S，则6S（）A．16B．24C．36D．483．某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如表1．已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19．现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为（C）A．24B．18C．16D．12表1一年级二年级三年级女生373xy男生377370z4．若变量xy，满足24025000xyxyxy，，，，≤≤≥≥则32zxy的最大值是（）A．90B．80C．70D．405．将正三棱柱截去三个角（如图1所示ABC，，分别是GHI△三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（）6．已知命题:p所有有理数都是实数，命题:q正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是（）A．()pqB．pqC．()()pqD．()()pq7．设aR，若函数3axyex，xR有大于零的极值点，则（B）A．3aB．3aC．13aD．13a8．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点OE，是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F．若ACa，BDb，则AF（B）A．1142abB．2133abC．1124abD．1233ab二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9~12题）9．阅读图3的程序框图，若输入4m，6n，则输出a，i．（注：框图中的赋值符号“”也可以写成“”或“:”）10．已知26(1)kx（k是正整数）的展开式中，8x的系数小于120，则k．EFDIAHGBCEFDABC侧视图1图2BEA．BEB．BEC．BED．开始1in整除a?是输入mn，结束ami输出ai，1ii图3否11．经过圆2220xxy的圆心C，且与直线0xy垂直的直线方程是．12．已知函数()(sincos)sinfxxxx，xR，则()fx的最小正周期是．二、选做题（13—15题，考生只能从中选做两题）13．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线12CC，的极坐标方程分别为cos3，π4cos002，≥≤，则曲线1C与2C交点的极坐标为．14．（不等式选讲选做题）已知aR，若关于x的方程2104xxaa有实根，则a的取值范围是．15．（几何证明选讲选做题）已知PA是圆O的切线，切点为A，2PA．AC是圆O的直径，PC与圆O交于点B，1PB，则圆O的半径R．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（本小题满分13分）已知函数()sin()(00π)fxAxA，，xR的最大值是1，其图像经过点π132M，．（1）求()fx的解析式；（2）已知π02，，，且3()5f，12()13f，求()f的值．17．（本小题满分13分）随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元．设1件产品的利润（单位：万元）为．（1）求的分布列；（2）求1件产品的平均利润（即的数学期望）；（3）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%．如果AyxOBGFF1图4此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？18．（本小题满分14分）设0b，椭圆方程为222212xybb，抛物线方程为28()xyb．如图4所示，过点(02)Fb，作x轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为G，已知抛物线在点G的切线经过椭圆的右焦点1F．（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；（2）设AB，分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点P，使得ABP△为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）．19．（本小题满分14分）设kR，函数111()11xxfxxx，，≥，()()Fxfxkx，xR，试讨论函数()Fx的单调性．20．（本小题满分14分）如图5所示，四棱锥PABCD的底面ABCD是半径为R的圆的内接四边形，其中BD是圆的直径，60ABD，45BDC，PD垂直底面ABCD，22PDR，EF，分别是PBCD，上的点，且PEDFEBFC，过点E作BC的平行线交PC于G．（1）求BD与平面ABP所成角的正弦值；（2）证明：EFG△是直角三角形；FCPGEAB图5D（3）当12PEEB时，求EFG△的面积．21．（本小题满分12分）设pq，为实数，，是方程20xpxq的两个实根，数列{}nx满足1xp，22xpq，12nnnxpxqx（34n，，…）．（1）证明：p，q；（2）求数列{}nx的通项公式；（3）若1p，14q，求{}nx的前n项和nS．绝密★启用前试卷类型B2008年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(理科)参考答案一、选择题：CDCCADBB1．C【解析】12az，而20a，即5112a，51z2．D【解析】20624dS，3d，故481536dS3．C【解析】依题意我们知道二年级的女生有380人，那么三年级的学生的人数应该是5003703803773732000，即总体中各个年级的人数比例为2:3:3，故在分层抽样中应在三年级抽取的学生人数为1682644．C5．A6．D【解析】不难判断命题p为真命题，命题q为假命题，从而上述叙述中只有()()pq为真命题7．B【解析】'()3axfxae，若函数在xR上有大于零的极值点，即'()30axfxae有正根。当有'()30axfxae成立时，显然有0a，此时13ln()xaa，由0x我们马上就能得到参数a的范围为3a。8．B二、填空题：9．【解析】要结束程序的运算，就必须通过n整除a的条件运算，而同时m也整除a，那么a的最小值应为m和n的最小公倍数12，即此时有3i。10．【解析】26(1)kx按二项式定理展开的通项为22166()rrrrrrTCkxCkx，我们知道8x的系数为444615Ckk，即415120k，也即48k，而k是正整数，故k只能取1。11．【解析】易知点C为(1,0)，而直线与0xy垂直，我们设待求的直线的方程为yxb，将点C的坐标代入马上就能求出参数b的值为1b，故待求的直线的方程为10xy。12．【解析】21cos2121()sinsincossin2cos(2)22242xfxxxxxx，故函数的最小正周期22T。二、选做题（13—15题，考生只能从中选做两题）13．【解析】由cos3(0,0)4cos2解得236，即两曲线的交点为(23,)6。14．10,415．【解析】依题意，我们知道PBAPAC,由相似三角形的性质我们有2PAPBRAB,即222213221PAABRPB。三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．解：（1）依题意有1A，则()sin()fxx，将点1(,)32M代入得1sin()32，而0，536，2，故()sin()cos2fxxx；（2）依题意有312cos,cos513，而,(0,)2，2234125sin1(),sin1()551313，3124556()cos()coscossinsin51351365f。17．解：（1）的所有可能取值有6，2，1，-2；126(6)0.63200P，50(2)0.25200P20(1)0.1200P，4(2)0.02200P故的分布列为：621-2P0.630.250.10.02（2）60.6320.2510.1(2)0.024.34E（3）设技术革新后的三等品率为x，则此时1件产品的平均利润为()60.72(10.70.01)(2)0.014.76(00.29)Exxxx依题意，()4.73Ex，即4.764.73x，解得0.03xAyxOBGFF1图4所以三等品率最多为3%18．解：（1）由28()xyb得218yxb，当2yb得4x，G点的坐标为(4,2)b，1'4yx，4'|1xy，过点G的切线方程为(2)4ybx即2yxb，令0y得2xb，1F点的坐标为(2,0)b，由椭圆方程得1F点的坐标为(,0)b，2bb即1b，即椭圆和抛物线的方程分别为2212xy和28(1)xy；（2）过A作x轴的垂线与抛物线只有一个交点P,以PAB为直角的RtABP只有一个，同理以PBA为直角的RtABP只有一个。若以APB为直角，设P点坐标为21(,1)8xx，A、B两点的坐标分别为(2,0)和(2,0)，222421152(1)108644PAPBxxxx。关于2x的二次方程有一大于零的解，x有两解，即以APB为直角的RtABP有两个，因此抛物线上存在四个点使得ABP为直角三角形。19．解：1,1,1()()1,1,kxxxFxfxkxxkxx，21,1,(1)'()1,1,21kxxFxkxx对于1()(1)1Fxkxxx，当0k时，函数()Fx在(,1)上是增函数；当0k时，函数()Fx在1(,1)k上是减函数，在1(1,1)k上是增函数；对于1()(1)21Fxkxx，当0k时，函数()Fx在1,上是减函数；当0k时，函数()Fx在211,14k上是减函数，在211,4k上是增函数