2008年高考试题--数学理（湖南卷）

(1,4)(1,1)(3,3)XyOx=11x+2y-9=0x-y=0绝密★启用前2008年普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数31()ii等于()A.8B.－8C.8iD.－8i【答案】D【解析】由33412()()88iiiiii,易知D正确.2．“12x成立”是“(3)0xx成立”的()A．充分不必要条件B.必要不充分条件C．充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由12x得13x，由(3)0xx得03x，所以易知选B.3.已知变量x、y满足条件1,0,290,xxyxy则xy的最大值是()A.2B.5C.6D.8【答案】C【解析】如图得可行域为一个三角形，其三个顶点分别为(1,1),(1,4),(3,3),代入验证知在点(3,3)时,xy最大值是336.故选C.4.设随机变量服从正态分布(2,9)N,若(1)(1)PcPc,则c=()A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】2(2,3)N12(1)1(1)(),3cPcPc12(1)(),3cPc31()()1,33cc311()()1,33cc解得c=2,所以选B.5.设有直线m、n和平面、.下列四个命题中，正确的是()A.若m∥,n∥,则m∥nB.若m,n,m∥,n∥,则∥C.若，m,则mD.若，m，m,则m∥【答案】D【解析】由立几知识,易知D正确.6.函数2()sin3sincosfxxxx在区间,42上的最大值是()A.1B.132C.32D.1+3【答案】C【解析】由1cos231()sin2sin(2)2226xfxxx,52,42366xxmax13()1.22fx故选C.7.设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点，且2,DCBD2,CEEA2,AFFB则ADBECF与BC()A.反向平行B.同向平行C.互相垂直D.既不平行也不垂直【答案】A【解析】由定比分点的向量式得:212,1233ACABADACAB12,33BEBCBA12,33CFCACB以上三式相加得1,3ADBECFBC所以选A.8.若双曲线22221xyab（a＞0,b＞0）上横坐标为32a的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是()A.(1,2)B.(2,+)C.(1,5)D.(5,+)【答案】BC1D1B1A1ODCBA【解析】2033,22aexaeaaac23520,ee2e或13e(舍去),(2,],e故选B.9.长方体ABCD－A1B1C1D1的8个顶点在同一球面上，且AB=2,AD=3,AA1=1,则顶点A、B间的球面距离是()A.22B.2C.22D.24【答案】C【解析】11222,BDACR2,R设11,BDACO则2,OAOBR,2AOB2,2lR故选C.10.设［x］表示不超过x的最大整数（如［2］=2,［54］=1）,对于给定的nN*,定义(1)(1),(1)(1)xnnnnxCxxxxx1,,则当x3,32时，函数xnC的值域是()A.16,283B.16,563C.284,328,56D.16284,,2833【答案】D【解析】当x3,22时，328816,332C当2x时，1,x所以8842xC;当2,3时，288728,21C当3x时，2,x88728,323xC故函数xC8的值域是16284,,2833.选D.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。把答案填在对应题号后的横线上。11.211lim______34xxxx.【答案】15【解析】21111111limlimlim.34(4)(1)(4)5xxxxxxxxxx12.已知椭圆22221xyab（a＞b＞0）的右焦点为F,右准线为l,离心率e=5.5过顶点A(0,b)作AMl,垂足为M，则直线FM的斜率等于.【答案】12【解析】2(,),aMbc55,2,5eacbc201.2FMbckabcc13.设函数()yfx存在反函数1()yfx,且函数()yxfx的图象过点(1,2),则函数1()yfxx的图象一定过点.【答案】(-1,2)【解析】由函数()yxfx的图象过点(1,2)得:(1)1,f即函数()yfx过点(1,1),则其反函数过点(1,1),所以函数1()yfxx的图象一定过点(1,2).14.已知函数3()(1).1axfxaa（1）若a＞0,则()fx的定义域是;(2)若()fx在区间0,1上是减函数，则实数a的取值范围是.【答案】3,a,,01,3【解析】（1）当a＞0时，由30ax得3xa,所以()fx的定义域是3,a;(2)当a＞1时，由题意知13a;当0a1时，为增函数,不合;当a0时，()fx在区间0,1上是减函数.故填,01,3.15.对有n(n≥4)个元素的总体1,2,,n进行抽样，先将总体分成两个子总体1,2,,m和1,2,,mmn(m是给定的正整数，且2≤m≤n-2),再从每个子总体中各随机抽取2个元素组成样本.用ijP表示元素i和j同时出现在样本中的概率，则1nP=;所有ijP(1≤i＜j≤n的和等于.【答案】4()mnm,6【解析】11111224(1)(1)4;(1)()(1)()mnmnmnmCCmnmPCCmmnmnmmnm第二空可分:①当,1,2,,ijm时,221mijmCPC;②当,ij1,2,,mmn时,1ijP;③当1,2,,,imj1,2,,mmn时,4()4()ijPmnmmnm;所以1146.ijP三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.（本小题满分12分）甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约.乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约.设每人面试合格的概率都是12，且面试是否合格互不影响.求：（Ⅰ）至少有1人面试合格的概率;（Ⅱ）签约人数的分布列和数学期望.解:用A，B，C分别表示事件甲、乙、丙面试合格.由题意知A，B，C相互独立，且P（A）＝P（B）＝P（C）＝12.（Ⅰ）至少有1人面试合格的概率是3171()1()()()1().28PABCPAPBPC（Ⅱ）的可能取值为0，1，2，3.(0)()()()PPABCPABCPABC＝()()()()()()()()()PAPBPCPAPBPCPAPBPC＝3231113()()().2228(1)()()()PPABCPABCPABC=()()()()()()()()()PAPBPCPAPBPCPAPBPC=3331113()()().22281(2)()()()().8PPABCPAPBPC1(3)()()()().8PPABCPAPBPC所以，的分布列是0123P38381818的期望331101231.8888E17.（本小题满分12分）如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝2.（Ⅰ）证明：平面PBE⊥平面PAB;（Ⅱ）求平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小.解:解法一（Ⅰ）如图所示，连结BD，由ABCD是菱形且∠BCD=60°知，△BCD是等边三角形.因为E是CD的中点，所以BE⊥CD,又AB∥CD,所以BE⊥AB.又因为PA⊥平面ABCD，BE平面ABCD，所以PA⊥BE.而PAAB=A,因此BE⊥平面PAB.又BE平面PBE，所以平面PBE⊥平面PAB.（Ⅱ）延长AD、BE相交于点F，连结PF.过点A作AH⊥PB于H，由（Ⅰ）知平面PBE⊥平面PAB,所以AH⊥平面PBE.在Rt△ABF中，因为∠BAF＝60°，所以，AF=2AB=2=AP.在等腰Rt△PAF中，取PF的中点G，连接AG.则AG⊥PF.连结HG，由三垂线定理的逆定理得，PF⊥HG.所以∠AGH是平面PAD和平面PBE所成二面角的平面角（锐角）.在等腰Rt△PAF中，22.2AGPA在Rt△PAB中，22225.55APABAPABAHPBAPAB所以，在Rt△AHG中，25105sin.52AHAGHAG故平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小是10arcsin.5解法二:如图所示，以A为原点，建立空间直角坐标系.则相关各点的坐标分别是A（0，0，0），B（1，0，0），33(,,0),22C13(,,0),22DP（0，0，2）,3(1,,0).2E（Ⅰ）因为3(0,,0)2BE，平面PAB的一个法向量是0(0,1,0)n，所以0BEn和共线.从而BE⊥平面PAB.又因为BE平面PBE，故平面PBE⊥平面PAB.(Ⅱ)易知3(1,0,2),(0,02PBBE，），13(0,0,2),(,,0)22PAAD设1111(,,)nxyz是平面PBE的一个法向量，则由110,0nPBnBE得111122020,3000.2xyzxyz所以11110,2.(2,0,1).yxzn故可取设2222(,,)nxyz是平面PAD的一个法向量，则由220,0nPAnAD得2222220020,1300.22xyzxyz所以2220,3.zxy故可取2(3,1,0).n于是，1212122315cos,.552nnnnnn故平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小是15arccos.518.（本小题满分12分）数列221221,2,(1cos)sin,1,2,3,.22nnnnnaaaaan满足(Ⅰ)求34,,aa并求数列na的通项公式；(Ⅱ)设21122,.nnnnnabSbbba证明：当162.nnSn时，解:(Ⅰ)因为121,2,aa所以22311(1cos)sin12,22aaa22422(1cos)sin24.aaa一般地，当*21(N)nkk时，222121(21)21[1cos]sin22kkkkaa＝211ka，即21211.kkaa所以数列21ka是首项为1、公差为1的等差数列，因此21.kak当*2(N)nkk时，22222222(1cos)sin2.22kkkkkaaa所以数列2ka是首项为2、公比为2的等比数列，因此22.kka故数列na的通项公式为**21,21(N),22,2(N).nnnnkkankk(Ⅱ)由(Ⅰ)知，2122,2nnnanba2312