2008年高考试题——数学理（辽宁卷）

2008年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)数学(供理科考生使用)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（选择题共60分）参考公式：如果事件A、B互斥，那么球的表面积公式P(A+B)=P(A)+P(B)S=42R如果事件A、B相互独立，那么其中R表示球的半径P(A·B)＝P(A)·P(B)球的体和只公式如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率V=243R()(1)(0,1,2,,)kknknnPkCPpkn其中R表示球的半径一、选择题1.已知集合30,31xMxNxxx„,则集合1xx…为()A.MNB.MNC.()RMNðD.()RMNð答案：C解析：本小题主要考查集合的相关运算知识。依题31,3MxxNxx„，∴{|1}MNxx，()RMNð1.xx…2.135(21)lim(21)nnnn等于()A.14B.12C.1D.2答案：B解析：本小题主要考查对数列极限的求解。依题22135(21)1limlim.(21)22nnnnnnnn3.圆221xy与直线2ykx没有公共点的充要条件是()A.(2,2)kB.(,2)(2,)kC.(3,3)kD.(,3)(3,)k答案：C解析：本小题主要考查直线和圆的位置关系。依题圆221xy与直线2ykx没有公共点2211dk(33).k，4.复数11212ii的虚部是()A.15iB.15C.15iD.15答案：B解析：本小题主要考查复数的相关运算及虚部概念。依题：1111.21255iii∴虚部为1.55.已知,,OAB是平面上的三个点,直线AB上有一点C,满足2ACCB0,则OC等于()A.2OAOBB.2OAOBC.2133OAOBD.1233OAOB答案：A解析：本小题主要考查平面向量的基本定理。依题22().OCOBBCOBACOBOCOA∴2.OCOAOB6.设P为曲线2:23Cyxx上的点,且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围是[0,]4,则点P横坐标的取值范围是()A.1[1,]2B.[1,0]C.[0,1]D.1[,1]2答案：A解析：本小题主要考查利用导数的几何意义求切线斜率问题。依题设切点P的横坐标为0x,且0'22tanyx（为点P处切线的倾斜角），又∵[0,]4，∴00221x，∴01[1,].2x7.4张卡片上分别写有数字1,2,3,4,从这4张卡片中随机抽取2张,则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为()A.13B.12C.23D.34答案：C解析：本小题主要考查等可能事件概率求解问题。依题要使取出的2张卡片上的数字之和为奇数，则取出的2张卡片上的数字必须一奇一偶，∴取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率11222342.63CCPC8.将函数21xy的图象按向量a平移得到函数12xy的图象,则a等于()A.(1,1)B.(1,1)C.(1,1)D.(1,1)答案：A解析：本小题主要考查函数图像的平移与向量的关系问题。依题由函数21xy的图象得到函数12xy的图象，需将函数21xy的图象向左平移1个单位，向下平移1个单位；故(11).，a9.生产过程有4道工序,每道工序需要安排一人照看,现从甲乙丙等6名工人中安排4人分别照看一道工序,第一道工序只能从甲乙两工人中安排1人,第四道工序只能从甲丙两工人中安排1人,则不同的安排方案有()A.24种B.36种C.48种D.72种答案：B解析：本小题主要考查排列组合知识。依题若第一道工序由甲来完成，则第四道工序必由丙来完成，故完成方案共有2412A种；若第一道工序由乙来完成，则第四道工序必由甲、丙二人之一来完成，故完成方案共有12A2424A种；∴则不同的安排方案共有21242436AAA种。10.已知点P是抛物线22yx上的一个动点,则点P到点(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为()A.172B.3C.5D.92答案：A解析：本小题主要考查抛物线的定义解题。依题设P在抛物线准线的投影为'P,抛物线的焦点为F,则1(,0)2F,依抛物线的定义知P到该抛物线准线的距离为|'|||PPPF,则点P到点(0,2)A的距离与P到该抛物线准线的距离之和22117||||||()2.22dPFPAAF11.在正方体1111ABCDABCD中,,EF分别为棱11,AACC的中点,则在空间中与三条直线11,,ADEFCD都相交的直线()A.不存在B.有且只有两条C.有且只有三条D.有无数条答案：D解析：本小题主要考查立体几何中空间直线相交问题，考查学生的空间想象能力。在EF上任意取一点M,直线11AD与M确定一个平面，这个平面与CD有且仅有1个交点N,当M取不同的位置就确定不同的平面，从而与CD有不同的交点N,而直线MN与这3条异面直线都有交点的.如右图：12.设()fx是连续的偶函数,且当0x时()fx是单调函数,则满足3()()4xfxfx的所有x之和为()A.3B.3C.8D.8答案：C解析：本小题主要考查函数的奇偶性性质的运用。依题当满足3()()4xfxfx时，即34xxx时，得2330xx，此时123.xx又()fx是连续的偶函数，∴()()fxfx，∴另一种情形是3()()4xfxfx，即34xxx，得2530xx，∴345.xx∴满足3()()4xfxfx的所有x之和为3(5)8.第Ⅰ卷（选择题共60分）二、填空题13.函数1,0,0xxxyex…的反函数是____________________.答案：11ln1.xxyxx，，，≥解析：本小题主要考查求反函数基本知识。求解过程要注意依据函数的定义域进行分段求解以及反函数的定义域问题。14.在体积为43的球的表面上有,,ABC三点,1,2,,ABBCAC两点的球面距离为33,则球心到平面ABC的距离为______________.答案：32解析：本小题主要考查立体几何球面距离及点到面的距离。设球的半径为R,则34433VR,∴3.R设A、C两点对球心张角为，则333ACR,∴3,∴3AC,∴AC为ABC所在平面的小圆的直径，∴90ABC,设ABC所在平面的小圆圆心为'O，则球心到平面ABC的距离为'dOO2'22333().22RBO15.已知231(1)()nxxxx的展开式中没有常数项,*,28nNn剟,则n______.答案：5解析：本小题主要考查二项式定理中求特定项问题。依题31()nxx对*,28nNn剟中，只有5n时，其展开式既不出现常数项，也不会出现与x、2x乘积为常数的项。16.已知()sin()(0),()()363fxxff,且()fx在区间(,)63有最小值,无最大值,则__________.答案：143解析：本小题主要针对考查三角函数图像对称性及周期性。依题()sin()(0),()()363fxxff且()fx在区间(,)63有最小值,无最大值,∴区间(,)63为()fx的一个半周期的子区间，且知()fx的图像关于6324x对称，∴32,432kkZ,取0K得14.3三、解答题17.在ABC△中,内角,,ABC对边的边长分别是,,abc.已知2,3cC.⑴若ABC△的面积等于3,求,ab;⑵若sinsin()2sin2CBAA,求ABC△的面积.说明：本小题主要考查三角形的边角关系，三角函数公式等基础知识，考查综合应用三角函数有关知识的能力．满分12分．解析：（Ⅰ）由余弦定理及已知条件得，224abab，又因为ABC△的面积等于3，所以1sin32abC，得4ab．························4分联立方程组2244ababab，，解得2a，2b．··············································6分（Ⅱ）由题意得sin()sin()4sincosBABAAA，即sincos2sincosBAAA，·········································································8分当cos0A时，2A，6B，433a，233b，当cos0A时，得sin2sinBA，由正弦定理得2ba，联立方程组2242ababba，，解得233a，433b．所以ABC△的面积123sin23SabC．·····················································12分18.某批发市场对某种商品的周销售量(单位:吨)进行统计,最近100周的统计结果如下表所示:周销售量234频数205030⑴根据上面统计结果,求周销售量分别为2吨,3吨和4吨的频率;⑵已知每吨该商品的销售利润为2千元,表示该种商品两周销售利润的和(单位:千元),若以上述频率作为概率,且各周的销售量相互独立,求的分布列和数学期望.说明：本小题主要考查频率、概率、数学期望等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力．满分12分．解析：（Ⅰ）周销售量为2吨，3吨和4吨的频率分别为0.2，0.5和0.3．·························3分（Ⅱ）的可能值为8，10，12，14，16，且P（=8）=0.22=0.04，P（=10）=2×0.2×0.5=0.2，P（=12）=0.52+2×0.2×0.3=0.37，P（=14）=2×0.5×0.3=0.3，P（=16）=0.32=0.09．的分布列为810121416P0.040.20.370.30.09··············································································································9分E=8×0.04+10×0.2+12×0.37+14×0.3+16×0.09=12.4（千元）········································12分19.如图,在棱长为1的正方体ABCDABCD中,(01)APBQbb,截面PQEFAD∥,截面PQGHAD∥.⑴证明:平面PQEF和平面PQGH互相垂直;⑵证明:截面PQEF和截面PQGH面积之和是定值,并求出这个值;⑶若DE与平面PQEF所成的角为45,求DE与平面PQGH所成角的正弦值.说明：本小题主要考查空间中的线面关系，面面关系，解三角形等基础知识，考查空间想象能力与逻辑思维能力。满分12分．解法一：（Ⅰ）证明：在正方体中，ADAD，ADAB，又由已知可得PFAD∥，PHAD∥，PQAB∥，所以PHPF，PHPQ，所以PH平面PQEF．所以平面PQEF和平面PQGH互相垂直．···························4分（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知22PFAPPHPA，，又截面PQEF和截面PQGH都是矩形，且PQ=1，所以截面PQEF和截面PQGH面积之和是(22)2APPAPQ，是定值．····