2008年高考试题——数学理（四川卷）

2008年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)理科数学说明：2008年是四川省高考自主命题的第三年，因突遭特大地震灾害，四川六市州40县延考，本卷为非延考卷．一、选择题：（5'1260'）1．若集合{1,2,3,4,5}U，{1,3}A2,，{234}B，，，则()UCAB（）A．{2,3}B．{1,4,5}C．{4,5}D．{1,5}解析：选B．离散型集合的交并补，送分题．难度为三年来最低，究其原因，盖汶川地震之故．2．复数22(1)ii（）A．4B．4C．4iD．4i解析：选A．计算题，无任何陷阱，徒送分耳．2008四川考生因祸得福．3．2(tancot)cosxxx（）A．tanxB．sinxC．cosxD．cotx解析：原式32sincoscos()cossincoscossinsinxxxxxxxxx23sincoscossinxxxx22cos(sincos)sinxxxxcossinxxcotx，选D．同角三角函数基本关系式，切化弦技巧等，属三角恒等变换范畴，辅以常规的代数变形．中等生无忧．4．直线3yx绕原点逆时针旋转90，再向右平移1个单位后所得的直线为（）A．1133yxB．113yxC．33yxD．113yx解析：本题有新意，审题是关键．旋转90则与原直线垂直，故旋转后斜率为13．再右移1得1(1)3yx．选A．本题一考两直线垂直的充要条件，二考平移法则．辅以平几背景之旋转变换．5．若02，sin3cos，则的取值范围是（）A．(,)32B．(,)3C．4(,)33D．3(,)32解析：sin3cos，即sin3cos0，即2sin()03，即sin()03；又由02，得5333；综上，03，即433．选C．本题考到了正弦函数的正负区间．除三角函数的定义域、值域和最值、单调性、奇偶性、周期性之外，还要记对称轴、对称中心、正负区间．3，4，5题是本卷第一个坡，是中差生需消耗时间的地方．6．从包括甲、乙共10人中选4人去参加公益活动，要求甲、乙至少有1人参加，则不同的选法有（）A．70B．112C．140D．168解析：审题后针对题目中的至少二字，首选排除法．4410821070140CC．选C．本题应注意解题策略．7．已知等比数列{}na中，21a，则该数列前三项和3S的取值范围是（）A．(,1]B．(,0)(1,)C．[3,)D．(,1][3,)解析：311Sxx(0)x．由双勾函数1yxx的图象知，12xx或12xx，故本题选D．本题主要考查等比数列的相关概念和双勾函数的图象和性质．以上诸题，基本功扎实的同学耗时不多．8．设M、N是球O的半径OP上的两点，且NPMNOM，分别过N、M、O作垂直于OP的面截球得三个圆，则这三个圆的面积之比为（）A．3：5：6B．3：6：8C．5：7：9D．5：8：9解析：由题知，M、N是OP的三等分点，三个圆的面积之比即为半径的平方之比．在球的轴载面图中易求得：2228()39RRR，22225()39RRR，故三个圆的半径的平方之比为：22285::99RRR，故本题选D．本题着意考查空间想象能力．9．设直线l平面，过平面外一点A且与l、都成30角的直线有且只有（）A．1条B．2条C．3条D．4条解析：所求直线在平面内的射影必与直线l平行，这样的直线只有两条，选B．本题考查空间角的概念和空间想象能力．10．设()sin()fxx，其中0，则函数()fx是偶函数的充分必要条件是（）A．(0)0fB．(0)1fC．'(0)1fD．'(0)0f解析：本题考查理性思维和综合推理能力．函数()fx是偶函数，则2k，(0)1f，故排除A，B．又'()cos()fxx，2k，'(0)0f．选D．此为一般化思路．也可走特殊化思路，取1，2验证．11．定义在R上的函数()fx满足：()(2)13fxfx，(1)2f，则(99)f（）A．13B．2C．132D．213解析：由()(2)13fxfx，知(2)(4)13fxfx，所以(4)()fxfx，即()fx是周期函数，周期为4．所以1313(99)(3424)(3)(1)2ffff．选C．题着意考查抽象函数的性质．赋值、迭代、构造是解抽象函数问题不可或缺的三招．本题看似艰深，实为抽象函数问题中的常规题型，优生要笑了．12．设抛物线2:8Cyx的焦点为F，准线与x轴相交于点K，点A在C上且2AKAF，则AFK的面积为（）A．4B．8C．16D．32解析：解几常规题压轴，不怕．边读题边画图．28yx的焦点(2,0)F，准线2x，(2,0)K．设(,)Axy，由2AKAF，得2222(2)2(2)xyxy，即2222(2)2[(2)]xyxy．化简得：22124yxx，与28yx联立求解，解得：2x，4y．1144822AFKASFKy，选B．本题的难度仅体现在对运算的准确性和快捷性上．点评：（1）纵观12道选择题，没有真正意义上的压轴题，这是大众数学时代的来临呢，还是沾了2008地震的光?（2）真正体现了多考点想，少考点算的一套试题，做到了言而有信．（3）进一步体现了回归教材的意图，在高三复习中，题海战术应被教材串讲取而代之．（4）全面考查双基，基础扎实的同学受益，走难偏深押题路线的策略得不偿失．（5）周考月考的命题意图命题方向命题难度值得反思．二、填空题：（4'416'）13．34(12)(1)xx的展开式中2x项的系数是答案：6．解析：二项式定理再现，难度高于文科．341221223344(12)(1)(124)(1)xxCxCxCxCx2x项的系数是2112434324624126CCCC．这是中档略偏难的常规题．中差生在准确性和快捷性上有缺陷．14．已知直线:60lxy，圆22:(1)(1)2Cxy，则圆C上各点到直线l的距离的最小值是答案：22．解析：由数想形，所求最小值＝圆心到到直线的距离－圆的半径．圆心(1,1)到直线60xy的距离6322d．故最小值为32222．15．已知正四棱柱的一条对角线长为6，且与底面所成的角的余弦值为33，则该正四棱柱的体积是．答案：2．解析：由题意，222623cos36aaha，12ah，22Vah16．设等差数列{}na的前n项和为nS，410S，515S，则4a的最大值是.答案：4．解析：由题意，11434102545152adad，即11461051015adad，1123523adad，413aad．这是加了包装的线性规划，有意思．建立平面直角坐标系1aod，画出可行域1123523adad（图略），画出目标函数即直线413aad，由图知，当直线413aad过可行域内(1,1)点时截距最大，此时目标函数取最大值44a．本题明为数列，实为线性规划，着力考查了转化化归和数形结合思想．掌握线性规划问题＂画－移－求－答＂四步曲，理解线性规划解题程序的实质是根本．这是本题的命题意图．因约束条件只有两个，本题也可走不等式路线．设111213(23)(2)adadad，由121221323解得1213，∴1113(23)3(2)adadad，由不等式的性质得：1123523adad11(23)53(2)9adad11(23)3(2)4adad，即4134aad，4a的最大值是4．从解题效率来看，不等式路线为佳，尽管命题者的意图为线性规划路线．本题解题策略的选择至关重要．点评：（1）二项式定理，直线和圆的方程，正四棱柱，数列几个知识点均为前两年未考点．（2）无多选压轴题．无开放性压轴题．易入手，考不好考生只能怪自已．题出得基础，出得好，出得妙．尤其是第16题．三、解答题：（12'12'12'12'12'14'76'）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．求函数2474sincos4cos4cosyxxxx的最大值和最小值．解析：2474sincos4cos4cosyxxxx2484sincos14cos4cosxxxx2284sincos(12cos)xxx282sin2cos2xx282sin2(1sin2)xx272sin2sin2xx26(1sin2)xmax10y，min6y．解析：2474sincos4cos4cosyxxxx2272sin24cos(1cos)xxx2272sin24cossinxxx272sin2sin2xx26(1sin2)xmax10y，min6y．点评：一考三角恒等变换，二考三角函数与二次函数相结合，意在避开前几年固定套路．由此观之，一味追前两年高考试题套路之风有踏空之嫌，立足考点回归教材方为根本．18．设进入某商场的每一位顾客购买甲商品的概率0.5，购买乙商品的概率为0.6，且顾客购买甲商品与购买乙商品相互独立，每位顾客间购买商品也相互独立．（Ⅰ）求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率；（Ⅱ）求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率；（Ⅲ）设是进入商场的3位顾客至少购买甲、乙商品中一种的人数，求的分布列及期望．解析：题目这么容易，估计今年的评分标准要偏严了．（Ⅰ）0.5(10.6)(10.5)0.6P0.20.30.5（Ⅱ）1(10.5)(10.6)0.8P（Ⅲ）可取0，1，2，3．033(0)(10.8)0.008PC123(1)(10.8)0.80.096PC223(2)(10.8)0.80.384PC333(3)0.80.512PC的分布列为0123P0.0080.0960.3840.512~(3,0.8)B30.82.4E．点评：返朴归真，教材难度，审题无障碍．平和中正之风宜大力提倡．19．如图，面ABEF面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，90BADBAF，BC//12AD，BE//12AF．（Ⅰ）求证：C、D、E、F四点共面；（Ⅱ）若BABCBE，求二面角AEDB的大小．解析：不是会不会的问题，而是熟不熟的问题，答题时间是最大问题．（Ⅰ）∵面ABEF面ABCD，90AFAB∴AF面ABCD．∴以A为原点，以AB，AD，AF所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz．不妨设ABa，2ADb，2AFc，则(0,0,0)A，(,0,0)Ba，(,,0)Cab，(0,2,0)Db，(,0,)Eac，(0,0,2)Fc．∴(0,2,2)DFbc，(0,,)CEbc，∴2DFCE，∴//DFCE，∵EDF，∴//DFCE，∴C、D、E、F四点共面．（Ⅱ）设1AB，则1BCBE，∴(1,0,0)B，(0,2,0)D，(1,0,1)E．设平面AED的法向量为1111(,,)nxyz，由1100nAEnAD，得111020xzy，1(1,0,1)n设平面BED的法向量为2222(,,)nxyz由2100nBEnBD