2008年上海市普通高等学校春季招生考试试卷（数学）

精品教学网（ranj.5d6d.com），教案、课件、试题批量打包下载2008年上海市普通高等学校春季招生考试数学试卷考生注意：1.答卷前，考生务必将姓名、高考座位号、校验码等填写清楚.2.本试卷共有22道试题，满分150分.考试时间120分钟.一.填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分.1．已知集合1Axx或23x，24Bxx，则AB.2．计算：131lim32nnnn.3．函数26()1xxfxx的定义域是.4．方程2cos14x在区间(0,)内的解是.5．已知数列na是公差不为零的等差数列，11a.若125aaa、、成等比数列，则na.6．化简：cossin36.7．已知P是双曲线22219xya右支上的一点，双曲线的一条渐近线方程为30xy.设12FF、分别为双曲线的左、右焦点.若23PF，则1PF.8．已知一个凸多面体共有9个面，所有棱长均为1，其平面展开图如右图所示，则该凸多面体的体积V.得分评卷人得分评卷人oyxbnbn-1b2b3b1a3a2a1an-1an......9．已知无穷数列na前n项和113nnSa，则数列na的各项和为.10．古代“五行”学说认为：“物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金.”将五种不同属性的物质任意排成一列，设事件A表示“排列中属性相克的两种物质不相邻”，则事件A出现的概率是（结果用数值表示）.11．已知12,,,naaa；12,,,nbbb（n是正整数），令112nLbbb，223Lbb,nb，nnLb.某人用右图分析得到恒等式：1122nnababab112233aLcLcLkkcLnncL，则kc(2)kn.12．已知(1,2),(3,4)AB，直线1l：20,:0xly和3:lx3y10.设iP是il(1,2,3)i上与A、B两点距离平方和最小的点，则△123PPP的面积是.二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，否则一律得零分.13．已知向量(2,3),(3,)ab，若//ab，则等于[答]()（A）23.（B）2.（C）92.（D）23.14．已知椭圆221102xymm，长轴在y轴上.若焦距为4，则m等于[答]（）（A）4.（B）5.（C）7.（D）8.15．已知函数()()fxgx、定义在R上，()()()hxfxgx，则“()()fxgx、均为奇函数”是“()hx为偶函数”的[答]()（A）充分不必要条件.（B）必要不充分条件.（C）充要条件.（D）既不充分也不必要条件.16．已知Cz，且22i1,iz为虚数单位，则22iz的最小值是[答]()（A）2.（B）3.（C）4.（D）5.三．解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤.17.(本题满分12分)已知2cos,,32，求2cossin2sin的值.[解]得分评卷人18.(本题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，AB、分别为直线2xy与xy、轴的交点，C为AB的中点.若抛物线22(0)ypxp过点C，求焦点F到直线AB的距离.[解]得分评卷人19.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知函数2()log21xfx.（1）求证：函数()fx在(,)内单调递增；（2）记1()fx为函数()fx的反函数.若关于x的方程1()()fxmfx在[1,2]上有解，求m的取值范围.[证明]（1）[解]（2）得分评卷人20.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.某厂根据市场需求开发折叠式小凳（如图所示）.凳面为三角形的尼龙布，凳脚为三根细钢管.考虑到钢管的受力和人的舒适度等因素，设计小凳应满足：①凳子高度为30cm，②三根细钢管相交处的节点O与凳面三角形ABC重心的连线垂直于凳面和地面.（1）若凳面是边长为20cm的正三角形，三只凳脚与地面所成的角均为45，确定节点O分细钢管上下两段的比值（精确到0.01）；（2）若凳面是顶角为120的等腰三角形，腰长为24cm，节点O分细钢管上下两段之比为2:3.确定三根细钢管的长度（精确到0.1cm）.[解]（1）（2）得分评卷人ABCO21.(本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分.在直角坐标平面xOy上的一列点11221,,2,,,AaAa(,),nnAna，简记为nA.若由1nnnbAAj构成的数列nb满足1,1,2,nnbbn，其中j为方向与y轴正方向相同的单位向量，则称nA为T点列.（1）判断123111,1,2,,3,,,23AAA1,,nAnn，是否为T点列，并说明理由；（2）若nA为T点列，且点2A在点1A的右上方.任取其中连续三点1kkAA、、2kA，判断△12kkkAAA的形状（锐角三角形、直角三角形、钝角三角形），并予以证明；（3）若nA为T点列，正整数1mnpq满足mqnp，求证：nqmpAAjAAj.[解]（1）（2）得分评卷人[证明]（3）22.(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知z是实系数方程220xbxc的虚根，记它在直角坐标平面上的对应点为(Re,Im)zPzz.（1）若(,)bc在直线20xy上，求证：zP在圆1C：22(1)1xy上；（2）给定圆C：222()xmyr（Rmr、，0r），则存在唯一的线段s满足：①若zP在圆C上，则(,)bc在线段s上；②若(,)bc是线段s上一点（非端点），则zP在圆C上.写出线段s的表达式，并说明理由；（3）由（2）知线段s与圆C之间确定了一种对应关系，通过这种对应关系的研究，填写表一（表中1s是（1）中圆1C的对应线段）.[证明]（1）[解]（2）得分评卷人（3）表一线段s与线段1s的关系mr、的取值或表达式s所在直线平行于1s所在直线s所在直线平分线段1s线段s与线段1s长度相等2008年上海市普通高等学校春季招生考试数学试卷参考答案及评分标准说明1.本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同,可参照解答中评分标准的精神进行评分.2.评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅.当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分.3.第17题至第22题中右端所注的分数，表示考生正确做到这一步应得的该题累加分数.4.给分或扣分均以1分为单位.答案及评分标准一．（第1至12题）每一题正确的给4分，否则一律得零分.1.4xx.2.13.3.[2,1)(1,3].4.712x.5.21nan.6.cos.7.5.8.216.9.1.10.112.11.1kkaa.12.32.二．（第13至16题）每一题正确的给4分，否则一律得零分.题号13141516代号CDAB三．（第17至22题）17.[解]原式2cos2sincossin……2分21cossinsincoscos.……5分又2cos,,32，27sin193，……9分2cos14sin2sin2.……12分18.[解]由已知可得(2,0),(0,2),(1,1)ABC，……3分解得抛物线方程为2yx.……6分于是焦点1,04F.……9分点F到直线AB的距离为10272482.……12分19.[证明]（1）任取12xx，则11221222221()()log21log21log21xxxxfxfx，1212,02121xxxx，11222212101,log02121xxxx，12()()fxfx，即函数()fx在(,)内单调递增.……6分[解]（2）12()log21(0)xfxx，……9分[解法一]1()()mfxfx22log21log21xx22212loglog12121xxx，……11分当12x时，222123,152133215xx，m的取值范围是2213log,log35.……14分[解法二]解方程22log21log21xxm，得221log12mmx，……11分22112,1log212mmx，解得2213loglog35m.m的取值范围是2213log,log35.……14分20.[解]（1）设△ABC的重心为H，连结OH.由题意可得，2033BH.设细钢管上下两段之比为.已知凳子高度为30.则301OH.……3分节点O与凳面三角形ABC重心的连线与地面垂直，且凳面与地面平行.OBH就是OB与平面ABC所成的角，亦即45OBH.30203,13BHOH，解得，230.63923.……6分即节点O分细钢管上下两段的比值约为0.63.（2）设120,24BABBC，243AC.设△ABC的重心为H，则8,87BHAH，……10分由节点O分细钢管上下两段之比为2:3，可知12OH.设过点ABC、、的细钢管分别为AABBCC、、，则2255103760.822AACCOAOHAH，2255101336.122BBOBOHBH，对应于ABC、、三点的三根细钢管长度分别为60.8cm，36.1cm和60.8cm.……14分C/B/A/HOCBA21.[解]（1）1nan，1111(1)nbnnnn，显然有1nnbb，nA是T点列.……3分（2）在△12kkkAAA中，1112211,,1,kkkkkkkkAAaaAAaa，1122111kkkkkkkkAAAAaaaa.……5分点2A在点1A的右上方，1210baa，nA为T点列，10nbb，21110kkkkkkaaaabb，则1120kkkkAAAA.12kkkAAA为钝角，△12kkkAAA为钝角三角形.……8分（3）[证明]1,mnpqmqnp，0qpnm.①1121qpqqqqppaaaaaaaa12()qqppbbbqpb.②同理nmaa121()nnmnbbbnmb.③……12分由于nA为T点列，于是1pnbb，④由①、②、③、④可推得qpnmaaaa，……15分qnpmaaaa，即nqmpAAjAAj.……16分22.[证明]（1）由题意可得20bc，解方程2220xbxb，得22izbbb，……2分点2,2zPbbb或2,2