2008年高考试题——数学文（福建卷）

2008年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学（文史类）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）若集合A={x|x2-x＜0},B={x|0＜x＜3},则A∩B等于A.{x|0＜x＜1}B.{x|0＜x＜3}C.{x|1＜x＜3}D.￠（2）“a=1”是“直线0xy和直线0xay互相垂直”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件（3）设|an|是等左数列，若273,13aa,则数列{an}前8项的和为A.128B.80C.64D.56（4）函数3sin1fxxxxR，若2fa,则fa的值为A.3B.0C.-1D.-2(5)某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为45，那么播下3粒种子恰有2粒发芽的概率是A.12125B.16125C.48125D.96125(6)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为A.223B.23C.24D.13（7）函数cos()yxxR的图象向左平移2个单位后，得到函数ygx的图象，则gx的解析式为A.sinxB.sinxC.cosxD.cosx(8)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若2223acbac,则角B的值为A.6B.3C.6或56D.3或23(9)某班级要从4名男士、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为A.14B.24C.28D.48(10)若实数x、y满足10,0,2,xyxx则yx的取值范围是A.（0，2）B.（0，2）C.(2,+∞)D.[2，+∞)（11）如果函数yfx的图象如右图，那么导函数yfx的图象可能是（12）双曲线22221xyab（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2，若P为其上一点，且122PFPF，则双曲线离心率的取值范围为A.（1，3）B.（1，3）C.（3，+∞）D.[3，+∞]第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置.（13）91xx展开式中3x的系数是.（用数字作答）（14）若直线340xym与圆222440xyxy没有公共点，则实数m的取值范围是.（15）若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是.（16）设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a、b∈P，都有a+b、a-b、ab、ab∈P（除数b≠0）则称P是一个数域，例如有理数集Q是数域，有下列命题：①数域必含有0，1两个数；②整数集是数域；③若有理数集QM,则数集M必为数域;④数域必为无限集.其中正确的命题的序号是.（把你认为正确的命题的序号都填上）三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）（本小题满分12分）已知向量(sin,cos),(1,2)mAAn,且0.mn(Ⅰ)求tanA的值；(Ⅱ)求函数()cos2tansin(fxxAxxR)的值域.（18）（本小题满分12分）三人独立破译同一份密码.已知三人各自破译出密码的概率分别为111,,,543且他们是否破译出密码互不影响.(Ⅰ)求恰有二人破译出密码的概率；(Ⅱ)“密码被破译”与“密码未被破译”的概率哪个大？说明理由.（19）（本小题满分12分）如图，在四棱锥P—ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA＝PD=2,底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2，O为AD中点.(Ⅰ)求证:PO⊥平面ABCD；(Ⅱ)求异面直线PB与CD所成角的余弦值；(Ⅲ)求点A到平面PCD的距离.（20）（本小题满分12分）已知｛an｝是正数组成的数列，a1=1，且点（1,nnaa）（nN*）在函数y=x2+1的图象上.(Ⅰ)求数列｛an｝的通项公式；(Ⅱ)若列数｛bn｝满足111,2nannbbb，求证：221nnnbbb.(21)（本小题满分12分）已知函数32()2fxxmxnx的图象过点1,6，且函数6gxfxx的图象关于y轴对称.(Ⅰ)求mn、的值及函数yfx的单调区间；(Ⅱ)若a＞0，求函数yfx在区间1,1aa内的极值.(22)（本小题满分14分）如图，椭圆2222:1xyCab（a＞b＞0）的一个焦点为F(1,0)，且过点（2，0）.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若AB为垂直于x轴的动弦，直线:4lx与x轴交于点N，直线AF与BN交于点M.(ⅰ)求证：点M恒在椭圆C上；(ⅱ)求△AMN面积的最大值.数学试题（文史类）参考答案一、选择题：本大题考查基本概念和基本运算.每小题5分，满分60分.（1）A（2）C(3)C(4)B(5)C(6)D（7）A（8）A(9)A(10)D(11)A(12)B二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算，每小题4分，满分16分.（13）84（14）(,0)(10,)（15）9（16）①④三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）本小题主要考查平面向量的数量积计算、三角函数的基本公式、三角恒等变换、一元二次函数的最值等基本知识，考查运算能力，满分12分.解：（Ⅰ）由题意得m·n=sinA-2cosA=0,因为cosA≠0,所以tanA=2.（Ⅱ）由（Ⅰ）知tanA=2得2213()cos22sin12sin2sin2(sin).22fxxxxxx因为xR,所以sin1,1x.当1sin2x时，f(x)有最大值32，当sinx=-1时，f(x)有最小值-3，所以所求函数f(x)的值域是33,.2（18）本小题主要考查概率的基本知识与分类思想，考查运用数学知识分析问题、解决问题的能力.满分12分.解：记“第i个人破译出密码”为事件A1(i=1,2,3)，依题意有123111(),(),(),54.3PAPAPA且A1，A2，A3相互独立.（Ⅰ）设“恰好二人破译出密码”为事件B，则有B＝A1·A2·3A·A1·2A·A3+1A·A2·A3且A1·A2·3A，A1·2A·A3，1A·A2·A3彼此互斥于是P(B)=P(A1·A2·3A)+P（A1·2A·A3）+P（1A·A2·A3）＝314154314351324151＝203.答：恰好二人破译出密码的概率为203.（Ⅱ）设“密码被破译”为事件C，“密码未被破译”为事件D.D＝1A·2A·3A，且1A，2A，3A互相独立，则有P（D）＝P（1A）·P（2A）·P（3A）＝324354＝52.而P（C）＝1-P（D）＝53，故P（C）＞P（D）.答：密码被破译的概率比密码未被破译的概率大.（19）本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成角、点到平面的距离等基本知识，考查空间想象能力，逻辑思维能力和运算能力.满分12分.解法一：（Ⅰ）证明：在△PAD卡中PA＝PD，O为AD中点，所以PO⊥AD.又侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO平面PAD，所以PO⊥平面ABCD.（Ⅱ）连结BO，在直角梯形ABCD中，BC∥AD,AD=2AB=2BC，有OD∥BC且OD＝BC，所以四边形OBCD是平行四边形，所以OB∥DC.由（Ⅰ）知PO⊥OB，∠PBO为锐角，所以∠PBO是异面直线PB与CD所成的角.因为AD＝2AB＝2BC＝2，在Rt△AOB中，AB＝1，AO＝1，所以OB＝2，在Rt△POA中，因为AP＝2，AO＝1，所以OP＝1，在Rt△PBO中，PB＝322OBOP,cos∠PBO=3632PBOB,所以异面直线PB与CD所成的角的余弦值为36.(Ⅲ)由（Ⅱ）得CD＝OB＝2，在Rt△POC中，PC＝222OPOC，所以PC＝CD＝DP，S△PCD=43·2=23.又S△=,121ABAD设点A到平面PCD的距离h，由VP-ACD=VA-PCD，得31S△ACD·OP＝31S△PCD·h，即31×1×1＝31×23×h，解得h＝332.解法二：（Ⅰ）同解法一，（Ⅱ）以O为坐标原点，OPODOC、、的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系O-xyz.则A（0，-1，0），B（1，-1，0），C（1，0，0），D（0，1，0），P（0，0，1）.所以CD＝（-1，1，0），PB＝（t，-1，-1），∞〈PB、CD〉=362311＝＝CDPBCDPB，所以异面直线PB与CD所成的角的余弦值为36，（Ⅲ）设平面PCD的法向量为n＝（x0,y0,x0），由（Ⅱ）知CP=（-1，0，1），CD＝（-1，1，0），则n·CP＝0，所以-x0+x0=0,n·CD＝0，-x0+y0=0，即x0=y0=x0,取x0=1，得平面的一个法向量为n=(1,1,1).又AC=(1,1,0).从而点A到平面PCD的距离d＝.33232nnAC（20）本小题主要考查等差数列、等比数列等基本知识，考查转化与化归思想，考查推理与运算能力.满分12分.解法一：（Ⅰ）由已知得an+1=an+1、即an+1-an=1，又a1=1,所以数列｛an｝是以1为首项，公差为1的等差数列.故an=1+(a-1)×1=n.(Ⅱ)由（Ⅰ）知：an=n从而bn+1-bn=2n.bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+···+（b2-b1）+b1=2n-1+2n-2+···+2+1＝2121n=2n-1.因为bn·bn+2-b21n=(2n-1)(2n+2-1)-(2n-1-1)2=(22n+2-2n+2-2n+1)-(22n+2-2-2n+1-1)=-5·2n+4·2n=-2n＜0,所以bn·bn+2＜b21n,解法二：（Ⅰ）同解法一.（Ⅱ）因为b2=1,bn·bn+2-b21n=(bn+1-2n)(bn+1+2n+1)-b21n=2n+1·bn-1-2n·bn+1-2n·2n+1＝2n（bn+1-2n+1）=2n（bn+2n-2n+1）=2n（bn-2n）=…=2n（b1-2）=-2n〈0，所以bn-bn+2b2n+1（21）本小题主要考察函数的奇偶性、单调性、极值、导数、不等式等基础知识，考查运用导数研究函数性质的方法，以及分类与整合、转化与化归等数学思想方法，考查分析问题和解决问题的能力.满分12分.解：（1）由函数f(x)图象过点（－1，－6），得m-n=-3,……①由f(x)=x3+mx2+nx-2，得f′（x）=3x2+2mx+n,则g(x)=f′(x)+6x=3x2+(2m+6)x+n;而g(x)图象关于y轴对称，所以－3262m＝0，所以m=-3,代入①得n=0.于是f′(x)＝3x2-6x=3x(x-2).由f′(x)得x2或x0,故f(x)的单调递增区间是（－∞，0），（2，＋∞）；由f′(x)0得0x2,故f(x)的单调递减区间是（0，2）.(Ⅱ)由（Ⅰ）得f′(x)＝3x(x-2),令f′(x)＝0得x=0或x=2.当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：X(-∞.0)0(0,2)2(2,+∞)f′(x)+0－0＋f(x)极大值极小值由此可得：当0a1时，f(x)在（a-1,a+1）内有极大值f(O)=-2,无极小值；当a=1时，f(x)在（a-1,a+1）内无极值；当1a3时，f(x)在（a-1,a+1）内有极小值f(2)＝－6，无极大值；当a≥3时，f(x)在（a-1,a+1）内无极值.综上得：当0a1时，f(x)有极大值－2，无极小值，当1a3时，f(x)