2008年高考试题——数学文（湖南卷）

(1,1)(1,2)(2,2)x=1Oyx1y=2x-y=02008高考湖南文科数学试题及全解全析一．选择题1．已知7,6,5,4,3,2U，7,5,4,3M，6,5,4,2N，则()A．6,4NM.BMNUC．UMNCu)(D.NNMCu)(【答案】B【解析】由7,6,5,4,3,2U，7,5,4,3M，6,5,4,2N，易知B正确.2．“21x”是“3x”的()A．充分不必要条件B.必要不充分条件C．充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由21x得13x，所以易知选A.3．已条变量yx,满足,0,2,1yxyx则yx的最小值是()A．4B.3C.2D.1【答案】C【解析】如图得可行域为一个三角形，其三个顶点分别为(1,1),(1,2),(2,2),代入验证知在点(1,1)时,xy最小值是112.故选C.4.函数)0()(2xxxf的反函数是())0()(.1xxxfA)0()(.1xxxfB)0()(.1xxxfC)0()(.21xxxfD【答案】B【解析】用特殊点法,取原函数过点(1,1),则其反函数过点(1,1),验证知只有答案B满足.也可用直接法或利用“原函数与反函数的定义域、值域互换”来解答。5.已知直线m,n和平面,满足,,amnm,则().An,//.nB或nnC.,//.nD或n【答案】D【解析】易知D正确.6．下面不等式成立的是()A．322log2log3log5B．3log5log2log223C．5log2log3log232D．2log5log3log322【答案】A【解析】由322log21log3log5,故选A.7．在ABC中，AB=3，AC=2，BC=10，则ABAC()A．23B．32C．32D．23【答案】D【解析】由余弦定理得1cos,4CAB所以1332,42ABAC选Ｄ.8．某市拟从4个重点项目和6个一般项目中各选2个项目作为本年度启动的项目，则重点项目A和一般项目B至少有一个被选中的不同选法种数是()A．15B．45C．60D．75【答案】C【解析】用直接法：11122135353515301560,CCCCCC或用间接法：22224635903060,CCCC故选Ｃ.9．长方体1111ABCDABCD的8个顶点在同一个球面上，且AB=2，AD=3，11AA，则顶点A、B间的球面距离是()A．42B．22C．2D．22【答案】B【解析】11222,BDACR2,R设11,BDACO则2,OAOBR,2AOB2,2lR故选Ｂ.10．双曲线)0,0(12222babyax的右支上存在一点，它到右焦点及左准线的距离相等，则双曲线离心率的取值范围是()XyOPBAA．(1,2]B．[2,)C．(1,21]D．[21,)【答案】C【解析】200aexaxc20(1)aexac2(1),aaeac1111,aece2210,ee1212,e而双曲线的离心率1,e(1,21],e故选Ｃ.二．填空题11．已知向量)3,1(a，)0,2(b，则ba=_____________________.【答案】２【解析】由(1,3),||132.abab12.从某地区15000位老人中随机抽取500人，其生活能否自理的情况如下表所示：则该地区生活不能自理的老人中男性比女性约多_____________人。【答案】60【解析】由上表得15000(2321)23060.50013．记nxx)12(的展开式中第m项的系数为mb，若432bb，则n=__________.【答案】5【解析】由211(2)()2,rnrrnrrnrrnnTCxCxx得2233222,nnnnCC所以解得5.n14．将圆122yx沿x轴正向平移1个单位后所得到圆C，则圆C的方程是________,若过点（3，0）的直线l和圆C相切，则直线l的斜率为_____________.【答案】22(1)1xy,33【解析】易得圆C的方程是22(1)1xy,直线l的倾斜角为30,150,所以直线l的斜率为3.3k15．设x表示不超x的最大整数，（如145,22）。对于给定的Nn,定义,,1,)1()1()1()2)(1(xxxxxxnnnnCxn则328C________;当3,2x时，函数xC8的值域是_________________________。【答案】16,328(,28]3【解析】328816,332C当2x时，288728,21C当3x时，2,x所以88728,323xC故函数xC8的值域是28(,28]3.三．解答题16．甲乙丙三人参加一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约。甲表示只要面试合格就签约，乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约。设每人面试合格的概率都是21，且面试是否合格互不影响。求：（I）至少一人面试合格的概率；（II）没有人签约的概率。解：用,,ABC分别表示事件甲、乙、丙面试合格。由题意知,,ABC相互独立，且12PAPBPC.(1)至少有1人面试合格的概率是31711128PABCPAPBPC(2)没有人签约的概率为33311122238PABCPABCPABCPAPBPCPAPBPCPAPBPC17．已知函数xxxxfsin2sin2cos)(22.（I）求函数)(xf的最小正周期；（II）当)4,0(0x且524)(0xf时，求)6(0xf的值。18．如图所示，四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，060BCD，E是CD的中点，PA底面ABCD，3PA。（1）证明：平面PBE平面PAB；（2）求二面角A—BE—P和的大小。PABCED解解法一(Ⅰ)如图年示，连结BD，由ABCD是菱形且∠BCD＝60°知，ΔBCD是等边三角形.因为E是CD的中点，所以BE⊥CD，又AB∥CD，所以BE⊥AB.又因为PA⊥平面ABCD，BE平面ABCD，所以PA⊥BE.而PA∩AB＝A，因此BE⊥平面PAB.又BE平面PBE，所以平面PBE⊥平面PAB.(Ⅱ)由(Ⅰ)知，BE⊥平面PAB，PB平面PAB，所以PB⊥BE.又AB⊥BE，所以∠PBA是二面角A－BE－P的平面角.在RtΔPAB中，tan∠PBA＝3ABPA，∠PBA＝60°.故二面角A－BE－P的大小是60°.解法二如图所示，以A为原点，建立空间直角坐标系.则相关各点的坐标分别是A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0,23,23)，D(0,23,21)，P(3,0,0)，E(0,23,1).(Ⅰ)因为3(0,,0)2BE，平面PAB的一个法向量是0n＝(0,1,0)，所以BE和0n共线.从而BE⊥平面PAB.又因为BE平面BEF，所以平面PBE⊥平面PAB.(Ⅱ)易知PB=(1,0,-3),BE=(0,1232,0),设1n=(x1,y1,z1)是平面PBE的一个法向量，则有111111030,3000.2xyzxyz所以y1=0,x1=3z1.故可取1n=(3,0,1).而平面ABE的一个法向量是2n=(0,0,1).于是，cos＜1n,2n＞＝12121||2nnnn||.故二面角ABEP的大小是60.19已知椭圆的中心在原点，一个焦点是)0,2(F，且两条准线间的距离为)4(。（1）求椭圆的方程；（2）若存在过点A（1，0）的直线l，使点F关于直线l的对称点在椭圆上，求的取值范围。于是，当且仅当23[2(6)]4(4)0,2(6)(4)＞0.(*)上述方程存在实根，即直线l存在.解(*)得16,346.＜＜所以4＜λ≤163.20．数列na满足,2,021aa,,3,2,1,2sin4)2cos1(222nnanann（1）求43,aa，并求数列na的通项公式；（2）设1231kkaaaS，kkaaaT242，)(22NkTSWkkk，求使1kW的所有k的值，并说明理由。21．已知函数cxxxxxf2342941)(有三个极值点。（1）证明：527c；（2）若存在实数c，使函数)(xf在区间2,aa上单调递减，求a的取值范围。解(Ⅰ)因为函数4321942fxxxxcx有三个极值点，所以33390fxxxxc有三个互异的实根.设3339gxxxxc，则2369331gxxxxx.当x＜-3时，0gx,g(x)在(-∞,-3)上为增函数,当-3＜x＜1时，0gx,g(x)在(-3,1)上为减函数,当x＞1时，0gx,g(x)在(1,+∞)上为增函数.所以函数g(x)在x=-3时取极大值，在x=1时取极小值.当g(-3)≤0或g(1)≥0时，g(x)=0最多只有两个不同实根，因为g(x)=0有三个不同实根，所以g(-3)＞0，且g(1)＜0.即-27+27+27+c＞0，且1+3-9+c＜0,解得c＞-27，且c＜5.故-27＜c＜5.