变力做功的计算

变力做功的计算公式适用于恒力功的计算，对于变力做功的计算，一般有以下几种方法cosFsW一、微元法对于变力做功，不能直接用公式进行计算，但是我们可以把运动过程分成很多小段，每一小段内可认为F是恒力，用公式求出每一小段内力F所做的功，然后累加起来就得到整个过程中变力所做的功。这种处理问题的方法称为微元法，这种方法具有普遍的使用性。但在高中阶段主要用于解决大小不变，方向总与运动方向相同或相反的变力的做功问题，例1、用水平拉力，拉着滑块沿半径为R的水平圆轨道运动一周，如图1所示，已知物体的质量为m，物体与轨道间的动摩擦因数为μ。求此过程中的摩擦力所做的功。分析解答：把圆轨道分成无穷多个微元段S1,S2,S3,Sn.摩擦力在每一段上可认为是恒力，则每一段是摩擦力的功分别nnmgsWmgsWmgsWmgsW,,,332211mgRssssmg2)(321321摩擦力在一周内所做的功。小结点评：对于变力做功，一般不能用功的公式直接进行计算，但有时可以根据变力的特点变通使用功的公式，如力的大小不变而方向总与运动方向相同或相反时，可用公式计算该力的功，但式子中的s不是物体运动的位移，而是物体运动的路程。发散演习１：如图3所示，某个力F=10N作用与半径R=1m的转盘的边缘上，力F的大小保持不变，但方向任何时刻与作用点的切线方向保持一致。则转动半圆，这个力F做功多少？答案：31.4J在直角坐标系中，用纵坐标表示作用在物体上的力F，横坐标表示物体在力的方向上的位移s，如果作用在物体上的力是恒力，则其F-s图象如图4所示。经过一端时间物体发生的位移为S，则图线与坐标轴所围成的面积（阴影面积）在数值上等于对物体做的功Ｗ＝Ｆｓ，s轴上方的面积表示对物体做的正功，S轴下方的面积表示力对物体做功（如图4（b）所示）。二、图象法如果F-s图象是一条曲线（如图5所示），表示力的大小随位移不断变化，在曲线下方作阶梯形折线，则折线下放每个小矩形面积分别表示相应恒力所做的功。当阶梯折线越分越密时，这些小矩形的总面积越趋进于曲线下方的总面积，可见曲线与坐标所围成的面积在数值上等于变力所做的功。由于F-s图象可以计算功，因此F-s图象又称为示功图。例2、子弹以速度v0射入墙壁，如射深度为h，若子弹在墙壁中受到的阻力与深度成正比，欲使子弹的入射深度为2h，求子弹的速度应增大到多少？正确解答：解法一：设射入深度为h时，子弹克服阻力做功w1；射入深度为2h时，子弹克服阻力做功W2。由图6可知W2=4W1思路点拨：阻力随深度的变化图象如图6所示，由图象求出子弹克服阻力所做的功，在由动量定理进行求解。021201mvW02122mvW02Vv根据动能定理，子弹减少的动能用于克服阻力做功，有联立求解得：解法二：设阻力与深度间的比例系为K，Ff=ks由于Ff随位移是线性变化的所以的平均值为ksFf02120210021mvhkh122102021mvhk202vv小结点评：若力随位移按一次方函数关系变化时，求功时可用平均作用力来代替这个变力，用恒力功的公式求功，也可用图象求功；若力随位移的变化不是一次函数关系，则可用F--s图象求功，而不能用平均值求功。根据动能定理，有发散演习1：如图7所示，有一劲度系数k=500N/m的轻弹簧，左端固定在墙壁上，右端紧靠一质量m=2㎏的物块，物块与水平面间的动摩擦因数0.4,弹簧处于自然状态。现缓慢推动物块使弹簧从B到A处压缩10㎝，然后由静止释放物块，求:（1）弹簧恢复原长时，物块的动能多大？（2）在弹簧恢复原长的过程中，物块的大动能为多大？答案：（1）1.7J：（2）1.764J.摩弹1mgxW摩其中提示：（1）从A到B的过程中，对物体应用动能定理得：JJJEkB7.11.01024.01.0500212（2）放开物体后，物体做的是加速度越来越小的加速运动，当弹簧的弹力等于摩擦力时，物体有最大的动能，设此时弹簧的压缩量为x2mgkx2mmkmgx016.05001024.02Ｗ弹可利用示功图求出，画出弹簧力随位移变化的图（如图8所示），F1=kx12121xkxW弹弹簧做功的值等于△OAB的面积,即mmmxxS084.0016.01.0212221OCkxkxW弹222121mgssxxkWWEkm摩弹JJJ764.1084.01024.0084.0016.01.050021发散练习2：用质量为5kg的均匀铁索从10m深的井中吊起一质量为20kg的物体，在这个过程中至少要做多少功？（g取10ｍ／S2）物体的位移：在这一过程中弹力的功在数值上等于图8中梯形OADC的面积，即所以物体的最大动能为答案：2250J10052501010hhhmgMgF提示：作用在物体和铁索上的力至少应等于物体和铁索的重力，但在拉起来的过程中，铁索长度逐渐缩短，因此拉力也逐渐减小，即拉力是一个随距离长度变化的变力，从物体在井底开始算起，拉力随深度h的变化关系是JJW2250102200250作出图线如图9所示，利用示功图求解拉力的功（可用图中梯形面积），得出发散练习：一辆汽车质量为1×105kg，从静止开始运动，其阻力为车重的0.05倍。其牵引力的大小与车前进的距离是线形关系，且F=103s×5×104N，Ff是车所受阻力，当该车前进100m时，牵引力做了多少功？J7101作出F-s图象如图10所示，图中梯形OABD的面积表示牵引力的功，所以451051010105.0NkmgFf4310510sFJJW74100.1210010155答案：提示：阻力则牵引力为例３汽车的质量为m，输出功率恒为P，沿平直公路前进距离s的过程中，其速度由ｖ１增至最大速ｖ２。假定汽车在运动过程中所受阻力恒定，则汽车通过距离s所用的时间为___.思路点拨：汽车以恒定的功率P加速时，由P=Fv可知，牵引力逐渐减小，汽车做加速度逐渐减小的加速运动，当Ｆ＝Ｆｆ时，加速度减小到零，速度达到最大，然后以最大的速度做匀速直线运动。三、利用W=Pt求变力做功这是一种等效代换的观点，用W=Pt计算功时，必须满足变力的功率是一定的。①②两式联立得2vPFf21222121mvmvsFPft221222)(vsPvvmt正确解答：当Ｆ＝Ｆｆ时，汽车的速度达到最大ｖ２，由Ｐ＝Ｆｖ，可得对汽车，根据动能定有：①②)(2121vvv212vvsvst)(2121vvvsvPvPsFW)(2121求平均牵引力)(2121FFF误点警示：有同学可能这样解：平均速度时间这样解是错误的，因为汽车的运动不是匀加速运动，不能用求平均速度。小结点评：汽车以恒定的功率启动时，牵引力是变力，牵引力的功不能用W=Fs计算，但可以用W=Pt计算，若用求牵引力的功也是错误的．因为牵引力随位移的变化不是线性关系，不能用发散演习1：质量为m的汽车在平直的公路上从速度ｖ０开始加速行使，经过一段时间t后，前进了距离s，此时恰好达到其最大速度ｖｍａｘ，设此过程中汽车发动机始终以额定功率P工作，汽车所受的阻力为恒力Ｆｆ则这段时间里，发动机所做的功为：（）tvFAfmax.PtB.stvvmC0max.tvvFDf2.max0提示：发动机所做的功即为发动机牵引力所做的功，由功率定义Ｗ＝Ｐｔ可知，选项B正确。答案：A、BtvFPtWfmax2max0vv汽车以恒定功率启动，当Ｆ＝Ｆｆ时，达到最速度ｖｍａｘ，应有Ｐ＝Ｆｖｍａｘ＝Ｆｆｖｍａｘ所以选项A正确。选项C、D均将汽车的运动看作匀变速运动，其中选项C是先求出a，再求出合外力ma的功，选项D是先算出平均速度tvFf然后用，表示发动机做的功显然都是错误的，因为机车的运动是变加速运动而不是匀变速运动这种方法的依据是：做功的过程就是能量转化的过程，功是能的转化的量度。如果知道某一过程中能量转化的数值，那么也就知道了该过程中对应的功的数值。例4。如图11所示，质量m=2kg的小球系在轻细橡皮条一端，另一端固定在悬点O处。将橡皮条拉直至水平位置OA处（橡皮条无形变）然后将小球由A处静止释放，小球达O点正下方h=0.5m处的B点时的速度为v=2m/s。求小球从A运动到B的过程中橡皮条的弹力对小球所做的功。取g=10m/s2四、利用功能关系求变力功正确解答：取过B点的水平面为零重力势能参考平面，橡皮条为原长时的弹性势能为零，设在B时橡皮条的弹性势能为ＥＰ２,由机械能守恒定律得mghEmvP2221JJJmvmghEP622215.010221222橡皮条的弹性势能增加6J，则小球的机械能必减少6J，故橡皮条的弹力对小球做功-6J。思路点拨：取小球、橡皮条和地球组成的系统为研究对象，在小球从A运动到B的过程中，只有系统内的重力和弹力做功，机械能定恒。小结点评：弹簧或橡皮条的弹力是变力，求此类弹力做功可用机械能守恒定律结合弹力做功与弹性势能变化的关系.2022121mvmv提示：对整个过程应用动能理。发散演习１：1、将一质量为m的物体以初速度为Ｖ０竖直向上抛出，落回抛出点时的速度为Ｖ，已知空气阻力与速率成正比，则从抛出到落回抛出点的整个过程中，空气阻力做的功为：（）答案：发散演习２、如图12所示，物体沿曲面从A点无速度滑下，滑至曲面的最底点B时，下滑的高度为5m，速度为６ｍ／ｓ，若物体的质量为1kg，则下落过程中物体克服阻力做的功为多少？KAKBfGEEWWJ答案：根据动能定理可得⑴用F缓慢地拉；⑵F为恒力；⑶若F为恒力，而且拉到该位置时小球的速度刚好为零。可供选择的答案有A.B.C.D.cosFLsinFLcos1FLcos1mgLθLmF解：⑴若用F缓慢地拉，则显然F为变力，只能用动能定理求解。F做的功等于该过程克服重力做的功。选D⑵若F为恒力，则可以直接按定义求功。选B⑶若F为恒力，而且拉到该位置时小球的速度刚好为零，那么按定义直接求功和按动能定理求功都是正确的。选B、D例5.如图所示，质量为m的小球用长L的细线悬挂而静止在竖直位置。在下列三种情况下，分别用水平拉力F将小球拉到细线与竖直方向成θ角的位置。在此过程中，拉力F做的功各是多少？在第三种情况下，sinFLcos1mgL=2tansincos1mgF2.一对作用力和反作用力做功的特点⑴一对作用力和反作用力在同一段时间内做的总功可能为正、可能为负、也可能为零。⑵一对互为作用反作用的摩擦力做的总功可能为零（静摩擦力）、可能为负（滑动摩擦力），但不可能为正。可见在摆角为时小球的速度最大。实际上，因为F与mg的合力也是恒力，而绳的拉力始终不做功，所以其效果相当于一个摆，我们可以把这样的装置叫做“歪摆”。