讲授内容主线

1教学目的掌握n阶行列式的性质，理解行列式按行按列展开的性质和定理，熟练掌握特殊类型行列式的求法。会用行列式的性质和余子式定理求行列式的值。作业重点应用行列式性质计算行列式，按行（列）展开计算行列式练习册第2-4页第4题至第5题注：交1－2页难点行列式按行（列）展开媒体黑板与投影讲授内容主线内容概括转置交换为0，k倍加后恒等，公因提取又断爪，递增逐行多减少。班级：时间：年月日；星期行列式两种形式转置法则按行等价按列按行交换按行数乘按行加法按行数乘加法分类应用代数余子式第二讲行列式的运算2性质4行列式如果有两行（列）元素成比例，则此行列式的值等于零说明：提出某一行的比例系数，则两行相等，再用性质2推导即可性质5若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，如,2122222211111211nnnininnniiniiaaaaaaaaaaaaaaaD则D等于下列两个行列式之和：nnninnniniaaaaaaaaaaaaD21222221111211.21222221111211nnninnniniaaaaaaaaaaaa一、行列式性质（续）nininiinpipptnpipptnpipipptaaaaaaaaaaD'11'1111)1()1())1(＋（显然：第二讲行列式的运算3性质6把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数，然后加到另一行（列）对应的元素上去，行列式不变..以数k乘第j行加到第i行上，记作.jikrr以数k乘第j列加到第i列上，记作.jikcc如D=nnnjninnjinjiaaaaaaaaaaaa12222111111jikccnnnjnnjnjaaaaaaaaa122211111用性质5将D拆成2个，前一个就是D，第二个两列成比例，值为0njjninjinpjpjpptnpipptnpjpipptaaaaaaaakaaaD111111)1()1())1(（利用定义：：njnijijikaakaakaa2211第二讲行列式的运算4例1.计算3111131111311113D解D4321rrrr311113111131666661r3111131111311111612rr1111613rr14rr00020200200048性质结论：任何n阶行列式总能利用性质将其化为上（下）三角行列式.（注：12页例8）思路：化成三角行列式；规律：每列元素和相等一般情况下，计算行列式沿着2大步骤思考：第一是发现题目的规律，第二是确定基本思路2.例题选讲：第二讲行列式的运算5例2（1997.4）设n阶行列式___0111110111110111110111110AA则分析：行（列）和相等行列式，方法均加到第一列（行），提取公因式，把第1列（行）变成1。把第2、3、…n列各行均加到第一行，，提取公因数n－1后，再把第一行的－1倍加到第2、3…n各行，则有：10000010000010000010111111)(nA)1()1(1nn第二讲行列式的运算6例3：计算4阶行列式：____4001030100211111D分析：对于爪型行列式，方法：将3爪的一个边爪变成0，将其转化为上（下）三角行列式1004101031001211111432D第二讲行列式的运算)(413121124100410103100121000413121124723rr例4.计算dcbacbabaadcbacbabaadcbacbabaadcbaD3610363234232D解34rrdcbacbabaadcbacbabaadcba2342320aba3cba36cbabaadcbacbabaadcba3630cba230aba2（12页例9）行（列）递增行列式，方法：逐行（列）减，多项行（列）减少项行（列）第二讲行列式的运算834rrcbabaadcba0baa300baa20023rr34rrbaacbabaadcba20004aa00012rrcbabaacbabaadcba36302320cbabaa0第二讲行列式的运算9例5.分块行列式的计算nnnnknnkkkkkbbccbbccaaaaD1111111111110,det,det1111211111nnnnijkkkkijbbbbbDaaaaaD证明:设.21DDD则1D2D（14页例10）分析：按照性质，任意行列式均可由性质恒等变成三角行列式第二讲行列式的运算10证对作运算1D,jikrr把化为下三角形行列式：1DkkkpppD11110kkppp2211对作运算2D,jikcc把化为下三角形行列式：2DnnnqqqD11120nnqqq2211对的前k行作运算D,jikrr对后n列作运算,jikcc把化D为下三角行列式相当于对D1作运算，不影响D2、C和0块相当于对D2作运算，不影响D1、0块第二讲行列式的运算11nnnnknkkkkqqccqccpppD11111111110nnkkqqqpppD22112211.21DD它的重要性在于它提供了分块运算的依据第二讲行列式的运算12nnnnkkkkbbbbaaaa111111110nnnnkkkkbbbbaaaaD1111111100nnnnkkkkbbbbaaaa111111110,11111111nnnnkkkkbbbbaaaa结论：第二讲行列式的运算13例6：计算4阶行列式：分析：本题解法较多，较简单的办法是用两列对换，两行对换，把0元素调到行列式一角，用分块行列式计算办法即可。4433221100000000ababbaba应选D000000001443322112ababbaba）（332244112000000001abbaabba）（33224411abbaabba第二讲行列式的运算14例7：习题5.(3)2222222222222222)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(ddddccccbbbbaaaa23cc52)2()1(52)2()1(52)2()1(52)2()1(222222222222ddddccccbbbbaaaa32323232dcba12121212dcba34cc12cc34cc23cc22122212221222122222ddccbbaa.0第3列乘－1加到第4列，第2列乘－1加到第3列，出现2列元素相同行（列）递增行列式，方法：逐行（列）减，多项行（列）减少项行（列）第3列乘“-1”加到第4列；第2列乘“-1”加到第3列……第二讲行列式的运算15例8：7（2）习题xaaaaanxaxaaaanxaaxaanxaaaxanxaaaaanxccnii1111121anx11cxaaaaaxaaaaxaaaaxaaaaanx111111xaaaaaxaaaaaxaaaaaxaaaaaxDn＝分析：每一行（列）元素和相同，可以按照行（列）相加计算第二讲行列式的运算1611naxanx1rrii=2,3…naxaxaxaxaaaaanx000000000000000011第二讲行列式的运算17二.行列式按行（列）展开（代数余子式及其性质）1.余子式与代数余子式在n阶行列式中，把元素所在的第ija留下的n-1阶行列式叫做元素的余子式，ija记作；ijM而代数余子式由右式决定,1ijjiijMAijA叫做元素的代数余子式.ija如32M,444341242321141311aaaaaaaaa32A444341242321141311aaaaaaaaa231i行和第j列划去后，444342413433312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaD32a.444341242321141311aaaaaaaaa第二讲行列式的运算18性质1：一个n阶行列式，如果其中第i行所有元素除外ija都为零，那么这行列式等于与它的代数余子式的乘积，即ijaijijAaD证先证位于第1行第1列的情形。ija,nnnnnaaaaaaaD21222211100这是分块行列式中当k=1的特殊情况，由分块的结论，有1111MaD又11A1111111MM从而1111AaD运用了分块行列式运算的结论右下块正好是11M2.代数余子式的性质第二讲行列式的运算19再证一般情况，此时nnnjnijnjaaaaaaaD1111100先将调换到第一行，ija调换次数为i-1,再将调换到第一列，ija调换次数为j-1次，nnnjnjnnnjnijijiiijinijijiiijinjjjnjjjaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaD11211111112111111111211121212222121111112111100000ij调换就是它依次向上对换，每一次对换变一次“－”号上有i-1行第二讲行列式的运算20得到行列式1DDji21,1Dji元素在中的余子式，ija1D也是在中的余子式Dija.ijM由前面的结果知，ijijMaD1所以11DDjiijijjiMa1ijijAa即经i+j-2次调换,把调换到第1行第1列，ija性质2：行列式按行（列）展开法则定理3行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式式乘积之和，即ininiiiiijnjijAaAaAaAaD22111ni,,,21性质1告诉我们求解行列式的一种通用方法：将行列式的某一行的n-1个元素利用性质变为0，然后用这个不为0的元素乘上它的代数余子式即可第二讲行列式的运算21njnjjjjjijniijAaAaAaAaD22111nj,,2,1或证：第i行加0，利用性质5展开nnnnnnininiinnaaaaaaaaaaaaD12112111112110000000000第二讲行列式的运算22只保留一个不为零的元素，由此，可将n阶行列式的某行（列）元素通过变换化为只计算一个n-1阶行列式的值即可.nnnnnninnnaaaaaaaaa1211111211000＋nnnnnninnaaaaaaaaa12121111211000＋nnnnnninnaaaaaaaaa12111111211000＝＋ininAa22iiAa11iiAa11ininAa定理的作用：降阶第二讲行列式的运算23例1证明：1212341123121321nnnn-xnxxxnxxxxxx