第一章-波函数与薛定谔方程

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第1111章波函数与SchrodingerSchrodingerSchrodingerSchrodinger方程§1.11.11.11.1波函数的统计诠释1.1.11.1.11.1.11.1.1实物粒子的波动性一、物质波假设和德布罗意关系静止质量不为零的实物粒子也具有波动性⎪⎩⎪⎨⎧==nhph��λνε德布罗意坚信物质波产生于任何物体的运动π2h≡ℏ:约化普朗克常数k�ℏℏ==ω二、物质波是一种新型的波物质波可在真空中传播,因而它不是机械波;不带电的物体运动也产生物质波,因此它也不是电磁波。三、物质波的波长具有确定能量EEEE和动量pppp的自由粒子,其德布罗意波为单色平面波)(),(tkxiAetxωψ−=ℏ/)(tEpxiAe−=((((一维)))))(),(trkiAetrωψ−⋅=���ℏ��/)(tErpiAe−⋅=((((三维))))地球::::,kg106~24×地m,m/s103~4×地vm106.3~63−×=地地vmhλ宏观微尘::::,m10~6−l,kg10~15−mm/s1=vm106~19−×λ经电压VVVV加速的电子:kg101.931−×=em)(A27.1222伏VeVmhEmhee�===λ�A227.1=λ100100100100伏电压加速下四、物质波存在的实验证实i.1927i.1927i.1927i.1927年C.J.Davisson&L.H.GermerC.J.Davisson&L.H.GermerC.J.Davisson&L.H.GermerC.J.Davisson&L.H.Germer镍单晶上电子衍射实验ii.1927ii.1927ii.1927ii.1927年G.P.ThomsonG.P.ThomsonG.P.ThomsonG.P.Thomson金、铝、铂等多晶薄膜上电子衍射实验DavissonDavissonDavissonDavisson和ThomsonThomsonThomsonThomson分享1937193719371937年度诺贝尔物理学奖iii.1976iii.1976iii.1976iii.1976年P.G.MerliP.G.MerliP.G.MerliP.G.Merli等电子双棱镜干涉((((等价于电子双缝干涉))))iv.1988iv.1988iv.1988iv.1988年蔡林格等中子双缝干涉v.1999v.1999v.1999v.1999年M.ArndtM.ArndtM.ArndtM.Arndt等分子束的衍射60C……………………1.1.21.1.21.1.21.1.2波粒二象性的分析一、经典的粒子与经典的波粒子波原子性或颗粒性实在物理量的弥散分布有确切轨道叠加性((((干涉、衍射))))波粒二象性是说微观粒子具有原子性和干涉、衍射的特性二、对物质波两种错误的理解i.i.i.i.物质波就是单个粒子的实际结构ii.ii.ii.ii.物质波是大量粒子在空间中的弥散分布三、为什么我们没有察觉到物质波?i.i.i.i.尚未发现人类具有直接感知物质波的感官ii.ii.ii.ii.宏观物体个体大、波长短,难以显现波动性iii.iii.iii.iii.微观粒子个体小、波长长,可能呈现出波动LouisVictordeBroglie(1892LouisVictordeBroglie(1892LouisVictordeBroglie(1892LouisVictordeBroglie(1892~1987)1987)1987)1987)法国一显赫贵族家庭的次子1910191019101910年巴黎大学历史学学士受兄影响转攻物理,师从郎之万1923192319231923年提出物质波思想1929192919291929年获诺贝尔物理学奖1.1.31.1.31.1.31.1.3概率波,多粒子体系的波函数一、手枪与电子枪弹着点分布比较靶心距着弹数或几率比较发现:i.i.i.i.电子与子弹遵从不同的运动规律;ii.ii.ii.ii.电子呈现出某种波动;iii.iii.iii.iii.电子的波与几率有关。二、波函数的玻恩几率诠释状态用波函数表示;),(tr�ψ2),(tr�ψ代表粒子在tttt时刻处于的相对几率密度。r�Postulate1Postulate1Postulate1Postulate1讨论:i.i.i.i.与表示同一状态;),(tr�ψ),(),(trctr��ψϕ≡ii.ii.ii.ii.若,,,,Ardtr=∫全空间32),(�ψ),(1),(trAtr��ψϕ≡则是归一化的,1),(32=∫全空间rdtr�ϕ即iii.iii.iii.iii.含任意相因子仍归一化,为任意实数αieα三、多粒子体系的波函数),,,,(21trrrN�⋯��ψ∫)(32313221),,,,(全NNrdrdrdtrrr⋯�⋯��ψ∫≡)(*全τψψd),(ψψ≡MaxBorn(1882MaxBorn(1882MaxBorn(1882MaxBorn(1882~1970)1970)1970)1970)德国理论物理学家1901190119011901年进入布雷斯劳大学1905190519051905年曾前往哥廷根大学聆听希尔伯特、闵可夫斯基讲学1926192619261926年给出波函数的统计诠释获1954195419541954年度诺贝尔物理学奖1925192519251925年与海森堡等创立矩阵力学1954195419541954年与黄昆合著《晶格动力学》研究还涉及流体动力学、非线性动力学等1.1.41.1.41.1.41.1.4动量分布概率一、波函数的动量表象任意函数),(txψ可按平面波函数系∫∞∞−=xxipxdptptxexℏℏ/),(21),(ϕπψ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧∞−∞∈=),(|21)(/xxipppxexxℏℏπψ展开:其中∫∞∞−−=dxtpetxxipxx),(/21),(ψπϕℏℏ傅里叶变换推广到三维∫⋅=pdtptrerpi3/2/3),()2(1),(ℏ���ℏ�ϕπψ其中∫⋅−=rdtrtperpi3/2/3),()2(1),(ℏ���ℏ�ψπϕ),(),(tptr��∵ϕψ↔↔状态表示同一状态与)(),(,trtp��ψϕ∴动量表象波函数坐标表象波函数:),(:)(tp,tr��ϕψ可证∫∫∞∞−∞∞−=pdtprdtr3232),(),(��ϕψ二、动量几率分布的动量在范围内的几率;pdpp���+→i.i.i.i.仿照BohrBohrBohrBohr的几率诠释,pdtp32),(�ϕ代表粒子ii.ii.ii.ii.从晶体衍射看动量分布aaaaredθyelθanλθ=sinpanh=aaaaredθyelθ从波动性分析:θ方向条纹的亮度2)(θf∝2),(tp�ϕ∝从粒子性分析:对单个电子而言就是几率分布。衍射图样反映出电子束中动量取值为各个不同的电子数目分布。p�综合波动性与粒子性:电子动量取值为的几率p�2),(tp�ϕ∝1.1.51.1.51.1.51.1.5不确定度关系一、粒子位置或动量取值的不确定性粒子位置的几率分布:),(2tr�ψ粒子动量的几率分布:),(2tp�ϕ粒子具有波动性的结果二、几个特例i.i.i.i.若粒子具有确定动量,0p,)0,(/00ℏxippex=ψ0=∆p,1)0,(20=xpψ∞=∆xii.ii.ii.ii.若粒子具有确定位置,0x,0=∆x)()0,(00xxxx−=δψ,21)0,(/00ℏℏpixxep−=πϕ∞=∆piii.iii.iii.iii.若粒子波函数为高斯波包,)0,(2/22xexαψ−=α=∆k1~kx∆⋅∆α/1=∆x,1)0,(222/ααϕkek−=0x2ψα/10k2ϕα⎯⎯→⎯=kpℏℏ~px∆⋅∆三、不确定度关系讨论:i.i.i.i.粒子的位置((((坐标))))与动量不能同时具有确定值;ℏ~px∆⋅∆ii.ii.ii.ii.粒子轨道、粒子速度的概念没有意义;波粒二象性的结果iii.iii.iii.iii.若把看成测量精度,对宏观物体px∆∆,ℏ∆⋅∆px比如对于质量为1g1g1g1g的物体,即使⎩⎨⎧∆∆−−smvmx/10~10~99sJpx⋅=∆⋅∆−2110)10626.6(34sJh⋅×=−WernerKarlHeisenberg(1901WernerKarlHeisenberg(1901WernerKarlHeisenberg(1901WernerKarlHeisenberg(1901~1976)1976)1976)1976)德国理论物理学家1925192519251925年与玻恩等创建矩阵力学获1932193219321932年度诺贝尔物理学奖1932193219321932年提出原子核由质子、中子构成的理论,引入同位旋的概念1953195319531953年起致力于统一理论研究慕尼黑大学普朗克研究所所长1927192719271927年发现不确定度关系1.1.61.1.61.1.61.1.6力学量的平均值与算符的引进一、坐标及其函数的平均值rdrxrx3)()(*��∫∞∞−=ψψ),(ψψx=也写成xrdrrVrV3)()()(*���∫∞∞−=ψψ),(ψψV=二、动量的平均值pdpppp3)()(*����∫∞∞−=ϕϕi.i.i.i.利用动量表象波函数计算pdpprderprpi33/*2/3)(])([)2(1∫∫∞∞−∞∞−⋅=���ℏ�ℏ��ϕψπii.ii.ii.ii.引入动量算符计算∫∞∞−⋅−=rdrperpi3/2/3)()2(1)(ℏ���ℏ�ψπϕ∫∫∞∞−∞∞−⋅∇−=rdpdepirrpi33/*2/3])()[()2(1ℏ���ℏ�ℏϕψπ∫∞∞−∇−=rdrir3*)())((�ℏ�ψψ令∇−=ℏ�ipˆ则)ˆ,()(ˆ)(3*ψψψψprdrprp�����==∫动量算符由此可定义动能算符222ˆ∇−=mTℏ)ˆ,()(ˆ)(3*ψψψψArdrArAA===∫��角动量算符,ˆ∇×−=riL�ℏ�γβαβγαεxxiL∂∂−=ℏˆ一般地,力学量((((物理量))))AAAA的平均值三、其它力学量的平均值)()(ˆxxpxλψψ=四、动量算符的本征态eigenvalueeigenvalueeigenvalueeigenvalueeigenfunctioneigenfunctioneigenfunctioneigenfunctionoreigenstateoreigenstateoreigenstateoreigenstate),()(xdxxdiλψψ=−ℏℏ/)(xiAexλψ=比较发现动量算符的本征态是具有确定动量的状态,相应的本征值就是那个确定的动量值。ℏ/)(xippxxAex=ψi.i.i.i.动量本征函数ℏ����/)(rpipAer⋅=ψ∫∞∞−′−′=dxeAxppippxxxxℏ/)(2),(ψψii.ii.ii.ii.动量本征函数的““““归一化””””ℏ���ℏ�/2/3)2(1)(rpiper⋅=πψaaaa....““““归一化””””到δ函数)(xxpp′−=δℏπ21=A于是可取,ℏℏ/21)(xippxxexπψ=bbbb....箱归一化待后处理1.1.71.1.71.1.71.1.7统计诠释对波函数提出的要求i.i.i.i.模方可积AAAA:有限正数Ardtr=∫全空间32),(�ψ对真实存在状态的波函数个别极端理想情形((((如平面波、δ函数)))),不满足此条件ii.ii.ii.ii.有限值有限范围=∫032),(τψrdtr�iii.iii.iii.iii.不考虑自旋时单值2),(tr�ψ要求得严一点,可认为单值有限),(tr�ψ§1.2Schrodinger1.2Schrodinger1.2Schrodinger1.2Schrodinger方程1.2.1Schrodinger1.2.1Schrodinger1.2.1Schrodinger1.2.1Schroding

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