高中数学双曲线

第4节双曲线Page2最新考纲1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道它的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).2.理解数形结合的思想.考点专项突破知识链条完善经典考题研析知识链条完善把散落的知识连起来【教材导读】1.平面内与两定点F1,F2的距离之差的绝对值等于常数2a的动点的轨迹一定为双曲线吗?提示:只有当02a|F1F2|时,动点的轨迹才是双曲线,当2a=0时,动点的轨迹是线段F1F2的中垂线;当2a=|F1F2|时,动点的轨迹是以F1,F2为端点的两条射线;当2a|F1F2|时,动点的轨迹不存在.2.方程Ax2+By2=1表示双曲线的充要条件是什么?提示:若A0,B0,表示焦点在x轴上的双曲线;若A0,B0,表示焦点在y轴上的双曲线.当上述两种条件都不满足时,不表示双曲线,所以Ax2+By2=1表示双曲线的充要条件是AB0.知识梳理1.双曲线的定义平面内与两个定点F1,F2的距离的等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线,这两个定点叫做双曲线的,两焦点间的距离叫做双曲线的.差的绝对值焦点焦距标准方程22xa-22yb=1(a0,b0)22ya-22xb=1(a0,b0)图形2.双曲线的标准方程及简单几何性质范围x≥a或x≤-ay≥a或y≤-a对称性对称轴:对称中心:顶点顶点坐标:A1,A2顶点坐标:A1,A2渐近线离心率e=ca,e∈,其中c=性质实虚轴线段A1A2叫做双曲线的,它的长|A1A2|=;线段B1B2叫做双曲线的,它的长|B1B2|=;a叫做双曲线的实半轴长,b叫做双曲线的虚半轴长a,b,c间的关系c2=a2+b2(ca0,cb0)x轴、y轴坐标原点(-a,0)(a,0)(0,-a)(0,a)byxaayxb(1,+∞)22ab2a实轴虚轴2b3.等轴双曲线的定义及性质实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线,其方程为x2-y2=λ(λ≠0),离心率e=.渐近线方程为.它们互相,并且平分实轴和虚轴所成的角.2y=±x垂直【拓展提升】1.双曲线22xa-22yb=1(a0,b0)中,过焦点垂直于实轴所在直线的弦长为22ba.3.已知双曲线22xa-22yb=λ(a0,b0,λ≠0),求其渐近线的方程,只需把λ改写为0整理即可.2.双曲线的焦点到渐近线的距离等于其虚半轴长.对点自测C1.已知M(-2,0),N(2,0),|PM|-|PN|=4,则动点P的轨迹是()(A)双曲线(B)双曲线左边一支(C)一条射线(D)双曲线右边一支解析:因为|MN|=4,|PM|-|PN|=4,所以动点P的轨迹是一条射线,故选C.(A)y=±3x(B)y=±13x(C)y=±3x(D)y=±33xC解析:因为双曲线213x-y2=1,所以渐近线方程是y=±3x.故选C.2.双曲线3x2-y2=1的渐近线方程是()3.与椭圆24x+y2=1共焦点且过点P(2,1)的双曲线方程是()(A)24x-y2=1(B)22x-y2=1(C)23x-23y=1(D)x2-3y2=1B解析:椭圆中c2=4-1=3,故焦点为F1(-3,0),F2(3,0).设双曲线方程22xa-223ya=1代入P(2,1)得24a-213a=1,解得a2=6(舍)或a2=2,所以双曲线方程为22x-y2=1.故选B.4.设双曲线C经过点(2,2),且与24y-x2=1具有相同渐近线,则C的方程为;渐近线方程为.解析:根据题意,可设双曲线C:24y-x2=λ,将(2,2)代入双曲线C的方程得λ=-3,所以C的方程为23x-212y=1.渐近线方程为y=±2x.答案:23x-212y=1y=±2x5.若双曲线22xa-22yb=1(a0,b0)的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的14,则该双曲线的离心率是.解析:设双曲线的一个焦点为(c,0),一条渐近线为y=bax,则22bcab=bcc=b=14×2c.即c=2b.所以c=222ca,即有3c2=4a2.所以e=ca=233.答案:233考点专项突破在讲练中理解知识考点一双曲线的定义及方程【例1】(1)(2015·福建卷)若双曲线E:29x-216y=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线E上,且|PF1|=3,则|PF2|等于()(A)11(B)9(C)5(D)3解析:(1)|PF1|=3a+c=8,故点P在双曲线的左支上,由双曲线的定义得|PF2|-|PF1|=2a=6,所以|PF2|=9,故选B.解析:(2)22xmn-223ymn=1表示双曲线,则(m2+n)(3m2-n)0,所以-m2n3m2,由双曲线性质c2=(m2+n)+(3m2-n)=4m2,得|2m|=2,|m|=1,所以-1n3.故选A.(2)(2016·全国Ⅰ卷)已知方程22xmn-223ymn=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是()(A)(-1,3)(B)(-1,3)(C)(0,3)(D)(0,3)解析:(3)由题意得圆的方程为x2+y2=4,双曲线的渐近线方程为y=±2bx,联立224,2xybyx(3)导学号18702461(2016·天津卷)已知双曲线24x-22yb=1(b0),以原点为圆心,双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A,B,C,D四点,四边形ABCD的面积为2b,则双曲线的方程为()(A)24x-234y=1(B)24x-243y=1(C)24x-24y=1(D)24x-212y=1解得在第一象限内的交点为(244b,224bb),四边形ABCD的面积为4·244b·224bb,则4·244b·224bb=2b,解得b2=12,所以双曲线的方程为24x-212y=1.故选D.反思归纳(1)应用双曲线的定义需注意的问题在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件,即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数,且该常数必须小于两定点的距离且不等于零”.若定义中的“绝对值”去掉,点的轨迹是双曲线的一支.同时注意定义的转化应用.(2)求双曲线方程时一是标准形式判断;二是注意a,b,c的关系易错易混.【即时训练】(1)导学号18702462已知双曲线22xa-22yb=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,以F1F2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4),则此双曲线的方程为()(A)216x-29y=1(B)23x-24y=1(C)29x-216y=1(D)24x-23y=1解析:(1)以F1F2为直径的圆方程为x2+y2=c2,又因为点(3,4)在圆上,所以32+42=c2,所以c=5,双曲线的一条渐近线方程为y=bax,且点(3,4)在这条渐近线上,所以ba=43,又a2+b2=c2=25,解之得a=3,b=4,所以双曲线方程为29x-216y=1.故选C.答案:(1)C解析:(2)由题意可得22111,2,abba解得a2=12,b2=1,所以双曲线的方程为2x2-y2=1.(2)(2016·江苏南通一模)在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线22xa-22yb=1(a0,b0)过点P(1,1),其一条渐近线方程为y=2x,则该双曲线的方程为.答案:(2)2x2-y2=1解析:(3)设动圆M的半径为R,则|MC|=2+R,|MA|=R,所以|MC|-|MA|=2,由双曲线的定义知,M点的轨迹是以A,C为焦点的双曲线的左支,且a=1,c=3,所以b2=8,则动圆圆心M的轨迹方程为x2-28y=1(x-1).(3)已知圆C:(x-3)2+y2=4,定点A(-3,0),求过定点A且和圆C外切的动圆圆心M的轨迹方程为.答案:(3)x2-=1(x-1)28y考点二双曲线的几何性质(高频考点)考查角度1:求双曲线的离心率解析:(1)设双曲线方程为22xa-22yb=1(a0,b0),不妨设点M在双曲线的右支上,如图,AB=BM=2a,∠MBA=120°,作MH⊥x轴于H,则∠MBH=60°,BH=a,MH=3a,所以M(2a,3a).将点M的坐标代入双曲线方程22xa-22yb=1,得a=b,所以e=2,故选D.【例2】(1)(2015·全国Ⅱ卷)已知A,B为双曲线E的左,右顶点,点M在E上,△ABM为等腰三角形,且顶角为120°,则E的离心率为()(A)5(B)2(C)3(D)2答案:(1)D解析:(2)由题2×22ba=3×2c,得e=2.(2)导学号18702463(2016·山东卷)已知双曲线E:22xa-22yb=1(a0,b0),若矩形ABCD的四个顶点在E上,AB,CD的中点为E的两个焦点,且2|AB|=3|BC|,则E的离心率是.答案:(2)2解析:(3)不妨设F为左焦点(-c,0),点P在第一象限,因为线段PF的中点恰为双曲线C虚轴的一个端点,由中点坐标公式得P(c,2b),又P在双曲线C上,所以22ca-222bb=1,所以22ca=5,所以e=ca=5.答案:(3)(3)(2015·湖南卷)设F是双曲线C:22xa-22yb=1的一个焦点.若C上存在点P,使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点,则C的离心率为.5反思归纳求双曲线离心率或离心率范围的两种方法一种是直接建立e的关系式求e或e的范围;另一种是建立a,b,c的齐次关系式,将b用a,c表示,令两边同除以a或a2化为e的关系式,进而求解.解析:(1)当双曲线焦点在x轴上时,设双曲线的方程为22xa-22yb=1(a0,b0),则ba=34,则222caa=e2-1=916,所以e=54;当双曲线焦点在y轴上时,设双曲线方程为22ya-22xb=1(a0,b0),则ab=34,则ba=43,则222caa=e2-1=169,所以e=53.故选B.答案:(1)B【即时训练】(1)导学号18702444已知中心在坐标原点,焦点在坐标轴上的双曲线的渐近线方程为y=±34x,则该双曲线的离心率为()(A)54(B)54或53(C)53(D)53或52解析:(2)如图F1,F2为双曲线的左、右焦点,B1为虚轴上端点,则F1(-c,0),F2(c,0),B1(0,b),由题意得∠F1B1F2=120°,所以∠F1B1O=∠F2B1O=60°,故tan∠F1B1O=11OFOB=cb=3,所以c=3b,所以a=22cb=223bb=2b,所以e=ca=32bb=62.故选B.(2)(2016·山东潍坊3月模拟)已知双曲线C:22xa-22yb=1(a0,b0)的左、右焦点与虚轴的一个端点构成一个角为120°的三角形,则双曲线C的离心率为()(A)52(B)62(C)3(D)5答案:(2)B解析:(3)不妨设双曲线22xa-22yb=1(a0,b0)的一条渐近线的方程为bx+ay=0,则点P(2,0)到渐近线的距离为d=222bab=2bc=2,所以c2=2b2,所以a=b,所以离心率e=ca=2.(3)(2016·四川广元模拟)若点P(2,0)到双曲线22xa-22yb=1(a0,b0)的一条渐近线的距离为2,则该双曲线的离心率为.答案:(3)2解析:(1)离心率e=ca=22ca=222aba=221ba=52,所以ba=12.又双曲线C:22xa-22yb=1的渐近线方程为y=±bax=±12x.故选C.【例3】(1)已知双曲线C:22xa-22yb=1(a0,b0)的离心率为52,则C的渐近线方程为()(A)y=±14x(B)y=±13x(C)y=±12x(D)y=±x考查角度2:求双曲线的渐近线(2)(2014·全国Ⅰ卷)已知F为双曲线C:x2-my2=3m(m0)的一个焦点,则点F到C的一条渐近线的距离为()(A)3(B)3(C)3m(D)3m解析:(2)23xm-23y=1,因为m0,所以双曲线的焦点在x轴上,a2=3m,b2=3,所以一条渐近线