傅立叶谱与反应谱

一个简单的简谐振动合成任意振动的例子一般情况，变化非常复杂的物理量难以直接定量分析，将复杂的现象分解为许多简单现象的合成，化繁为简，化难为易。什么是频谱？频谱是针对以时间为自变量的物理量变化函数而言，例如将任意复杂的振动分解为不同频率的简谐分量。如同白光能分解为各种频率的彩色光一样，任何复杂的地震动也都可以分解为许多简谐振动，这些简谐振动的振幅、初相位随频率变化。时域和频域：时程和频谱不同频率信号的时域图和频域图复杂周期信号波形从一般信号分析（数学化）的观点来看：连续信号与离散信号周期信号与非周期信号周期信号：)(tfTtft连续信号f(t)0t0tf(t)f0f1f2离散信号01234-1tf(tk)(3)(2)(4.5)(1.5)(6)(-1)将振动信号（或任意变化的函数）分解为简谐振动（三角函数）的过程称为傅立叶（Fourier）分解。得到振幅和相位随频率变化的关系称为傅里叶谱，包括振幅谱和相位谱，统称(大多指振幅谱)为频谱，完成分解的运算称为傅立叶变换。振动时程各不相同，傅里叶谱也互相各异，有各自的特点，即频谱特性。振动信号的频谱有重要的物理意义和应用。一、傅里叶谱在数学上可将任意变化的周期函数分解为正弦或余弦变化的三角函数（称为简谐函数）之和，分解是通过傅立叶展开或傅立叶变换完成的。对随时间任意变化的物理量，分解具有物理意义：例如对振动信号来说，时间变量的三角函数表示简谐振动，这种分解就是将复杂的地震动化为无数简谐振动之和。法国数学家傅立叶（J.Fourier）首先研究将任意函数分解为三角级数之和的方法和条件，并建立数学基础，后人发展并以其名字命名，称为傅立叶级数。-300-200-100010020030040001020304050时间/sec加速度/Gal020406080100120140160051015202530频率/Hz傅立叶幅值谱/cm/sec051015202530频率/Hz2/2/4/4/0相位/弧度埃森特罗地震记录南北分量时程（上）与傅立叶振幅谱（左下）和相位谱（右下）)()()(i)()(ieCBAC傅里叶谱是复数，由实部和虚部组成，它的模称为幅值谱，幅角为相位谱()arctan[()/()]AB)()()(22BAC1,,2,1,01,,2,1,0110kn2102NkeFaNkeaNFNnNinkNkknNkni实际上地震动时程无法用解析函数表示，因此要用离散方法做数值计算可得,,,ntaatktnkkktN2tNN22解释：1）称为采样间隔，时间步距；为频率间隔，或频率的分辨率。2）频率的分辨率取决于时间步距，间隔越小，或时间步距固定，则采样点（可以补零）越多，频率分辨率越高。tTtNf11TTfTf傅立叶幅值谱F(f)时程x(t)3）时间分割和频率分割精度互相矛盾，是测不准原理的体现。4）由于（共轭），故为对称点，称为折叠频率，可得nNFnF2NtNN22tfN2/12/tc1(2)ftRf若给定时间序列的采样间隔则从采样后的离散信号中所能分辨出的最高频率就是折叠频率：称为采样定理，折叠频率亦称奈奎斯特频率（Nyquistfrequency）例如加速度时程的时间步距为0.01sec，则离散傅里叶谱的有效高频为50Hz。加速度振幅谱特点：1）开始（频率小)很小，迅速增大，然后减小，高频和低频都小，意味某个频段幅值大，这些振动分量强2）主要分量在0—10Hz之间3）因为是离散计算，曲线毛刺多，可以平滑化，如红线示意。2、用严格的数理方法求解结构地震反应时，简谐振动反应容易求解。对线性体系，先求解每个简谐振动的反应，再叠加求得总体反应的方法，比直接求解便利得多；分解对研究地震动特性具有重要的意义1、它定量揭示地震动的动力特性。以不同频率分量的表现来研究地震动及其对结构的作用，是动力分析的特点；3、频谱分析的结果可以方便地在结构抗震、基础隔震等工程问题中应用。二、反应谱（地震工程的灵魂）回顾单自由度的地震反应分析，这是结构地震反应分析最简单，最本质的分析模型。mkc此时没有外力作用，结构随地面一起运动，位移是（x+y），x，y分别为相对位移和牵连位移。mkxc)(tymkxcxckx)(ty)(yxm此时结构加速度为)(yxmkxcxckx)(ty)(yxm绝对位移：x+y，相对位移：x0)(kxxcyxmymkxxcxm地震反应振动方程dtemftxtt)(sin)()()(00此解称为杜哈梅积分。如何估计结构地震反应？方法：解单质点对地震动的反应只选取加速度最大值加速度乘以质量就是惯性力与重力之比称为地震系数WF*基于两个简化：1）结构体系模型用单质点模型，计算简单2）用一个不变的（静）力表示，便于设计应用反应谱就是以不同单质点自振频率（或周期）为横坐标，反应最大值为纵坐标画出的曲线，因为与频率（周期）对应，亦是谱的一种。反应谱表征了地震动加速度时间过程作用于单自由度弹性体系的最大反应（加速度、速度和位移）随体系的自振特性（周期、阻尼比）变化的函数关系。表示地震反应的物理量不同，反应谱的形式也不同，如加速度、速度、位移等位移反应谱；速度反应谱；加速度反应谱（绝对）dteututudteutudteututtggttgttg2sincossin1000020000反应谱计算公式：对反应谱的注释：反应谱是单自由度体系对地震动输入的地震反应的最大值；反应谱反映的是地震动的频谱特性；反应谱还与体系的阻尼比有关。在反应谱计算中大多取值0.05，有时也取值0、0.02和0.10；在反应谱计算公式的推导中还隐含了“刚性地基”的假定。正规化（标准化、规准化、归一化）反应谱。02004006008001000012345678910周期/sec加速度反应谱/cm/s/s1.02.03.0放大倍数单质点的自振周期为0，什么含义？即自振频率为无穷大。K无穷大，此物施加多大的力都不变形，就是刚体。它随地面一起运动，所以加速度最大值就是地面的加速度值。加速度放大倍数是1。速度和位移呢？此处是相对速度和位移，因和地面一起运动，无相对运动，所以都是0。