数学的起源与早期发展

6数学的起源与早期发展当人们发现一对雏鸡和两天之间有某种共同的东西（数字2）时，数学就诞生了。——伯特兰·罗素1数与形概念的产生如同古代世界的许多伟人一样，数学史上的先驱人物也消失在历史的迷雾中。然而，数学每前进一步，都伴随着人类文明的一次进步。亿万年前，那些居住在岩洞里的人就有了数的概念，在为数不多的事物中间增加或取出几个同样的事物，他们能分辨出多寡（不少动物也具有这类意识）。慢慢地，人类就有了明确的数的概念：1，2，3，……正如部落的头领需要知道有多少成员，牧羊人也需要知道他拥有多少只绵羊。在有文字记载以前，记数和简单的算术就发展起来了。打猎的人知道，把2枚箭矢和3枚箭矢放在一起就有了5枚箭矢。就像不同种族称呼家庭主要成员的声音大同小异一样，人类最初的计数方法也是相似的，最早可能是手指计数，一只手上的五个指头可以被现成地用来表示五个以内事物的集合。两只手上的指头合在一起，不超过10个元素的集合就有办法表示。例如，当数羊的只数时，每有一只羊就扳一个手指头。后来，才逐渐衍生出三种有代表性的记数方法——石子记数（有的是用小木棍）、结绳记数和刻痕记数（土坯、木头、石块或兽骨上），这样不仅可以记录较大的数字，也便于累计和保存。在古希腊的荷马史诗《奥德赛》中有这样一则故事：当主人公奥德修斯刺瞎了独眼巨人波吕斐摩斯仅有的一只眼睛以后，那个不幸的盲老人每天都坐在自己的山洞里照料他的羊群。早晨羊儿外出吃草，每出来一只，他就从一堆石子里捡出一颗。晚上羊儿返回山洞，每进去一只，他就扔掉一颗石子。当他把早晨捡起的石子全都扔光时，他就确信所有的羊儿返回了山洞。说来有点残酷，一些美洲印第安人通过收集被杀者的头皮来算计他们杀敌的数目，而一些非洲的原始猎人通过积累野猪的牙齿来算计他们杀死野猪的数目。当指头不敷运用时，就出现了石子记数等，以便表示同更多的集合元素的对应。但记数的石子堆很难长久保存信息，于是又有结绳记数和刻痕记数。我国《周易·系辞下》有“上古结绳而治，后世圣人，易之以书契”的说法。“结绳而治”即结绳记事或结绳记数，“书契”就是在物体上刻痕，以后逐渐发展成为文字。结绳记事、记数，并不限于中国，世界各地都有，如希腊、波斯、罗马、巴勒斯坦以及伊斯兰国家都有记载或实物标本。纽约美国自然史博物馆就藏有古代南美印加部落用来记事的绳结，在一根较粗的绳子上拴系涂有颜色的细绳，再在细绳上打各种各样的结，不同的颜色和结的位置、形状表示不同的事物和数目。结好的绳有一个专名叫“基普”。日本的琉球群岛的某些小岛至今还保留这种结绳记数的古老方法。（课件展示古印加人的结绳）在物体上刻痕记数，最迟在旧石器时代的晚期已经出现。1937年在捷克摩拉维亚的洞穴中发现一根幼狼胫骨，长约18厘米，上有很深的人工刻痕，时间据考大约在3万年前。刻痕共55道，分为两组，第一组25道，第二组30道，每一组刻痕又按五个一群排列。后来，就产生了各种各样的语言，包括对应于大小不同的数的语言符号。再后来，又经历了数万年的发展后，直到距今大约五千多年前，才出现了书写记数以及相应的记数系统。早期记数系统有：①公元前3400年左右的古埃及象形数字；②公元前2400年左右的巴比伦楔形数字；③公元前1600年左右的中国甲骨文数字；④公元前500年左右的希腊阿提卡数字；⑤公元前500年左右的中国筹算数码；⑥公元前300年左右的印度婆罗门数字⑦以及年代不详的玛雅数字。（课件展示古埃及的象形数字。）埃及有四种文字，最古老的是象形文字。后来经过简化，成为僧侣文，再进一步简化成通俗文字。还有一种科普特文是公元后2—3世纪时用希腊字母拼写的埃及文字。象形数字用一根垂直棒或一竖表示1，一根足械或轭表示10，一卷轴或一圈绳表示100，一朵莲花表示1000。10，000是一个手指头，有时向左弯，有时向右弯。100，000有好几种写法，有时像青蛙或鱼，有时像小鸟。1，000，000是一个跪着的人，象征埃及管空间之神。当在一个数中出现某个数码的若干倍时，就将它的符号重复写若干次，这说明古埃及人的记数系7统是叠加制而不是位值制。这些数字常见于陶片、石头、木头或纸草上，在坟墓内、庙宇的墙上及方尖塔上都可以看到。早在公元前4、5千年，两河流域（今伊拉克境内）的苏美尔人就创造了楔（xie）形文字，用木笔在软泥板上刻写，形状像楔子。后来传给巴比伦人。他们用垂直的楔形来表示1，如。用末端二个横向楔形表示10，如。（课件展示中国甲骨文数字）这是殷周时代刻在龟甲兽骨上的数字，最初出土于河南安阳小屯村的殷墟，距今3千多年。殷墟是我国商代后期的都城。公元前1300年商王盘庚建都与安阳，史称“殷墟”。更加接近现代位值制的是中国的算筹记数法。算筹是用于计算的小竹棍(也有木质、骨质、象牙或金属材料的算筹)，和筷子差不多长，它是中国人创造的计算工具．春秋战国时代，算筹的使用已相当普遍，书中多有记载，如“孟子持筹而算之”(《十发》)，“善计者不用筹策”(《老子》)，等等．用筹进行计算称为筹算．据文献记载，用算筹表示数有纵横两种摆法。(图中第一行为纵式，第二行为横式)记数时与十进位值制相配合，采用从左到右（或从上到下）纵横相间的摆法，遇零则空位．例如2561摆成，308摆成．筹算加减法与珠算类似，从左到右逐位相加或相减．筹算乘除法的步骤稍微复杂一些．算筹在中国数学史上占有非常重要的地位，在长达两千年的时间里，一直是中国的主要计算工具，直到元明时代才逐渐被珠算所代替。中国古代数学家也称为筹人。印度文明可远溯到公元前2000年，但他们在公元前800年以前是没有数学的。大约在公元前3世纪以后，印度出现了数的记号，典型的的是婆罗门数字。（课件展示婆罗门数字）婆罗门数字的出色之处是它给1到9的每个数都有单独的记号，还没有零和进位记法。哥伦布到达以前的美洲，有两个文化中心：一个是南美洲的印加，广泛使用结绳记数，前面介绍了。另一个是中美洲的玛雅。玛雅人分布在现今墨西哥南部的尤卡坦半岛、危地马拉、伯利兹、洪都拉斯西部一带。玛雅文化的开始可以上溯到公元前1000年获更早，但真正繁荣的时期是公元3—9世纪。他们创造了一种象形文字，最初刻在石碑和建筑物的墙上。大约从9世纪起，将无花果的树皮压制成“纸”，用红、蓝。黄、吕、黑等颜色在上面写成“书”。16世纪西班牙入侵，将这些珍贵的文献焚毁殆尽。玛雅人创造了一种20进位值制记数法，数字表达与算盘的算珠有异曲同工之妙。玛雅人创造了零点符号，像半开的眼睛，也像一只贝壳。他们使用三个符号：一点、一横、一个代表零符号──就可以表示任何数字。类似的原理今天被应用在电脑的“二进位制”上。这些记数系统采用不同的进制，其中巴比伦楔形数字采用六十进制、玛雅数字采用二十进制外，其他均采用十进制。记数系统的出现使人类文明向前迈进了一大步，在此基础上初等算术便在几个古老的文明地区发展起来。与算术的产生相仿，最初的几何知识是从人们对形的直觉中萌发出来。史前人首先从自然界本身提取几何形式，并且在器皿制作、建筑设计、及绘画装饰中加以再现。（课件展示埃及前王朝时期陶器与西安半坡遗址及出土陶器。）半坡遗址，位于距陕西省西安市十余里的半坡村。考古学家使用碳14测出半坡遗址的年代在距今5000年左右，属于新石器时代的聚落遗址。遗址总面积约10万平方米，是一片不规则的圆形。遗址的主体部分是通常所见的居住区，居住区内有房基、窖穴和饲养家畜的圈栏。房屋有地面和半地穴式两种，全部为单间。可以看出建筑技术已有了相当的水平。石器是半坡人使用的主要生产工具。半坡遗址居住区的东面是制陶区。从出土的陶器看，陶器坯子主要是手制。经验的几何知识随着人们的实践活动而不断扩展。据希腊历史学家，被尊称为“历史之父”的希罗多德（越公元前484—前425）的研究，古埃及几何学产生于尼罗河泛滥后土地的重新丈8量。尼罗河定期泛滥，通常自7月中旬开始，淹没全部谷地。11月洪水逐渐退落，土地上遗留着肥沃的淤泥。正月，埃及人在松软的土壤里播种，能获得丰富的收成。古埃及测量土地人员有一个专名，叫做“司绳”或者“拉绳者”，“拉绳者”指的就是当时的几何学家。（课件展示底比斯墓中灰泥墙上的拉绳者图，约公元前1415年）古印度几何学的起源则与宗教实践密切相关，公元前8世纪至5世纪形成的《绳法经》就是关于祭坛与寺庙建造中的几何问题及求解法则的记载。古代中国，几何学起源更多地与天文观测相联系。数学经典《周髀算经》就是一部讨论西周初年（公元前1100年左右）天文测量中所用数学方法的著作。（后面详细介绍）2河谷文明与早期数学历史学家往往把兴起于埃及、美索不达米亚、中国和印度等地域的古代文明称为“河谷文明”。早期数学，就是在尼罗河、底格里斯河与幼发拉底河、黄河与长江、印度河与恒河等河谷地带首先发展起来的。其中古埃及与美索不达米亚的数学在年代上更为久远，只是在公元前均告衰微，崛起稍晚点的中国与印度数学则延续到纪元之后并在中世纪臻于高潮。这里先介绍古埃及与美索不达米亚数学，古代中国与印度数学我们放到中世纪一并讲述。2.1埃及数学⑴背景埃及是文化发达最早的几个地区之一。埃及文明源自何处至今未知，但它肯定在公元前4000年之前就已存在。正如希腊史学家希罗多德（Herodotus）所说，埃及是受尼罗河恩施的。这条河把南方的水一年一度地泛滥到沿河两岸之后留下沃土。他们的大多数人自古以来就一直靠耕种这片沃土为生。这国家的其余部分都是荒漠。在今天埃及这块地方，古代有两个王国，一个在北方，一个在南方。早在旧石器时代，那里就有居民。埃及的历史，从公元前3100年左右美尼斯统一南、北埃及建立第一王朝起，到公元前332年亚历山大大帝灭最后一个埃及王朝止，前后绵延约三千年。埃及文化在公元前2500年左右到达最高点，当时的统治者建立了至今闻名的金字塔。公元600年左右，埃及的历史和数学就附属于希腊文明了。⑵埃及古文字公元前3000年左右，埃及已有可考的文字记录。最古老的文字是象形文字，每个文字记号是某件东西的图形。人类最初用实物或图画来表示某种思想，这种办法在今天还可以看到它的痕迹，例如在饭馆前面挂一个幌子，表示卖某种食物。图画经过长期的演变，形成象形文字。象形文字我们前面介绍过。象形文字和图画的区别在于象形文字有固定的形状和读音，而图画没有。如图为埃及象形文字。（课件展示）象形文字有很大的局限性，写起来相当麻烦。约公元前2500年被简化成一种便于书写的僧侣文，僧侣文多为僧侣所用。僧侣文是拼音的，每个音节由一个会意文代表，而整个文字则由一些会意文组成。书写的方式是用颜料写在纸草上。纸草是盛产于尼罗河三角洲的水生植物，形状像芦苇，可以制造各种用具，如编筐、织绳等，嫩芽可吃。古代埃及人把纸草的茎逐层撕成薄片，压平后一张张粘起来就可以当纸用。纸草可以任意接长。10世纪，中国的造纸术传入埃及，纸草被中国纸所取代。因纸草会干裂成粉末，所以除了铭刻在石头上的象形文字外，古埃及的文件很少保存下来。象形文字除了简化成僧侣文之外，在公元前7世纪时还发展成一种通俗文。僧侣文主要用于抄写宗教文献，而通俗文字则用于其他方面。2—3世纪，埃及人信奉基督教，在翻译《圣经》时又创造一种用希腊文字母拼写的埃及文，叫做科普特文。象形、僧侣、通俗、科普特都是埃及的古代文字。7世纪以后，阿拉伯人占领埃及，这个地区改奉伊斯兰教，完全使用阿拉伯文，直到今天。象形文字大概在3世纪被废弃以致全部遗忘。1798年，拿破仑率军进攻埃及。拿破仑是科学的爱好者，在军事进攻的同时，他组织了科学考察团，其中有著名的数学家蒙日（GaspardMonge,1746—1818）和傅立叶（JeanBaptisteFourier,1768—1830），对埃及进行了全面的考察。1799年，拿破仑的士兵在离亚历山大489公里的罗赛塔村发现一块黑色玄武岩的石碑，长114厘米，宽72厘米（如图2—3）。碑上刻有用三种文字记述的铭文，上面是象形文字，中间是通俗文字，下面是希腊文（如图2—4）。铭文刻于公元前196年，内容是托勒密五世的践位庆典。拿破仑吃了败仗，此物归英国不列颠博物馆所有。这块石碑使精通希腊文的学者找到了解读