第二章-数列-专题突破二-数列的单调性和最大(小)项

专题突破二数列的单调性和最大(小)项一、数列的单调性(1)定义：若数列{an}满足：对一切正整数n，都有an＋1＞an(或an＋1＜an)，则称数列{an}为递增数列(或递减数列)．(2)判断单调性的方法①转化为函数，借助函数的单调性，如基本初等函数的单调性等，研究数列的单调性．②利用定义判断：作差比较法，即作差比较an＋1与an的大小；作商比较法,即作商比较an＋1与an的大小，从而判断出数列{an}的单调性．例1已知函数f(x)＝1－2xx＋1(x≥1)，构造数列an＝f(n)(n∈N*)．试判断数列的单调性．解f(x)＝1－2xx＋1＝－2＋3x＋1.方法一∵an＝－2＋3n＋1(n∈N*)，an＋1＝－2＋3n＋2，∴an＋1－an＝3n＋2－3n＋1＝3n＋1－n－2n＋1n＋2＝－3n＋1n＋2＜0.∴an＋1＜an.∴数列{an}是递减数列．方法二设x1＞x2≥1，则f(x1)－f(x2)＝－2＋3x1＋1－－2＋3x2＋1＝3x1＋1－3x2＋1＝3x2－x1x1＋1x2＋1，∵x1＞x2≥1，∴x1＋1＞0，x2＋1＞0，x2－x1＜0，∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，∴f(x)在[1，＋∞)上为减函数，∴an＝f(n)为递减数列．反思感悟研究数列的单调性和最大(小)项，首选作差，其次可以考虑借助函数单调性．之所以首选作差，是因为研究数列的单调性和研究函数单调性不一样，函数单调性要设任意x1x2，而数列只需研究相邻两项an＋1，an，证明难度是不一样的．另需注意，函数f(x)在[1，＋∞)上单调，则数列an＝f(n)一定单调，反之不成立．跟踪训练1数列{an}的通项公式为an＝－3×2n－2＋2×3n－1，n∈N*.求证：{an}为递增数列．证明an＋1－an＝－3×2n－1＋2×3n－(－3×2n－2＋2×3n－1)＝3(2n－2－2n－1)＋2(3n－3n－1)＝－3×2n－2＋4×3n－1＝2n－212×32n－2－3，∵n≥1，n∈N*，∴32n－2≥321－2＝23，∴12×32n－2≥8＞3，∴12×32n－2－3＞0，又2n－2＞0，∴an＋1－an＞0，即an＋1＞an，n∈N*.∴{an}是递增数列．二、求数列中的最大(或最小)项问题常见方法：(1)构造函数，确定函数的单调性，进一步求出数列的最值．(2)利用an≥an＋1，an≥an－1(n≥2)求数列中的最大项an；利用an≤an＋1，an≤an－1(n≥2)求数列中的最小项an.当解不唯一时，比较各解大小即可确定．例2在数列{an}中，an＝n－2018n－2019，求该数列前100项中的最大项与最小项的项数．解an＝n－2018n－2019＝1＋2019－2018n－2019，设f(x)＝1＋2019－2018x－2019，则f(x)在区间(－∞，2019)与(2019，＋∞)上都是减函数．因为44201945，故数列{an}在0n≤44，n∈N*时递减，在n≥45时递减，借助f(x)＝1＋2019－2018x－2019的图象知数列{an}的最大值为a45，最小值为a44.所以最大项与最小项的项数分别为45,44.反思感悟本题考查根据数列的单调性求数列的最大项和最小项，此类题一般借助相关函数的单调性来研究数列的单调性，然后再判断数列的最大项与最小项．跟踪训练2已知数列{an}的通项公式an＝411－2n，则{an}的最大项是()A．a3B．a4C．a5D．a6答案C解析f(x)＝411－2x在－∞，112，112，＋∞上都是增函数．且1≤n≤5时，an0，n≥6时，an0.∴{an}的最大值为a5.例3已知数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4，n∈N*.(1)数列中有多少项是负数？(2)n为何值时，an有最小值？并求出其最小值．解(1)由n2－5n＋4＜0，解得1＜n＜4.∵n∈N*，∴n＝2,3.∴数列中有两项是负数．(2)∵an＝n2－5n＋4＝n－522－94，且n∈N*，∴当n＝2或n＝3时，an有最小值，其最小值为22－5×2＋4＝－2.反思感悟有时也可借助函数最值来求数列最值．但应注意函数最值点不是正整数的情形．跟踪训练3已知(－1)na＜1－12n对任意n∈N*恒成立，则实数a的取值范围是．答案－12，34解析设f(n)＝1－12n，n≥1，则f(n)单调递增．当n为奇数时，有－a＜1－12n又f(n)min＝f(1)＝1－12＝12.∴－a＜12即a＞－12.当n为偶数时，a＜1－12n.f(n)min＝f(2)＝1－14＝34.∴a＜34.综上，－12＜a＜34.例4已知数列{an}的通项公式为an＝n79n＋1，n∈N*，则该数列是否有最大项，若有，求出最大项的项数；若无，说明理由．解∵an＋1－an＝(n＋1)·79n＋2－n79n＋1＝79n＋1·7－2n9，且n∈N*，∴当n3，n∈N*时，an＋1－an0；当1≤n≤3，n∈N*时，an＋1－an0.综上，可知{an}在n∈{1,2,3}时，单调递增；在n∈{4,5,6,7，…}时，单调递减．所以存在最大项．又a3＝3×793＋1a4＝4×794＋1，所以第4项为最大项．反思感悟如果本例用函数单调性来解决，就会变得很麻烦．跟踪训练4已知数列{bn}的通项公式为bn＝2n－92n，n∈N*，求{bn}的最大值．解∵bn＋1－bn＝2n－72n＋1－2n－92n＝－2n＋112n＋1，且n∈N*，∴当n＝1,2,3,4,5时，bn＋1－bn＞0，即b1＜b2＜b3＜b4＜b5.当n＝6,7,8，…时，bn＋1－bn＜0，即b6＞b7＞b8＞…，又b5＝132＜b6＝364.∴{bn}的最大值为b6＝364.三、利用数列的单调性确定变量的取值范围常利用以下等价关系：数列{an}递增⇔an＋1＞an恒成立；数列{an}递减⇔an＋1＜an恒成立，通过分离变量转化为代数式的最值来解决．例5已知数列{an}中，an＝n2＋λn，n∈N*.(1)若{an}是递增数列，求λ的取值范围．(2)若{an}的第7项是最小项，求λ的取值范围．解(1)由{an}是递增数列⇔anan＋1⇔n2＋λn(n＋1)2＋λ(n＋1)⇔λ－(2n＋1)，n∈N*⇔λ－3.∴λ的取值范围是(－3，＋∞)．(2)依题意有a7≤a6，a7≤a8，即72＋7λ≤62＋6λ，72＋7λ≤82＋8λ，解得－15≤λ≤－13，即λ的取值范围是[－15，－13]．反思感悟注意只有对二次函数这样的单峰函数，这个解法才成立，对于如图的多峰函数满足a7≤a6，a7≤a8，不一定a7最小．跟踪训练5数列{an}中，an＝2n－1－k·2n－1，n∈N*，若{an}是递减数列，求实数k的取值范围．解an＋1＝2(n＋1)－1－k·2n＋1－1＝2n＋1－k·2n，an＋1－an＝2－k·2n－1.∵{an}是递减数列，∴对任意n∈N*，有2－k·2n－1＜0，即k＞22n－1恒成立，∴k＞22n－1max＝2，∴k的取值范围为(2，＋∞)．1．设an＝－2n2＋29n＋3，n∈N*，则数列{an}的最大项是()A．103B.8658C.8258D．108答案D解析∵an＝－2n－2942＋2×29216＋3，而n∈N*，∴当n＝7时，an取得最大值，最大值为a7＝－2×72＋29×7＋3＝108.故选D.2．已知数列{an}的通项公式为an＝49n－1－23n－1，则数列{an}()A．有最大项，没有最小项B．有最小项，没有最大项C．既有最大项又有最小项D．既没有最大项也没有最小项答案C解析an＝49n－1－23n－1＝23n－12－23n－1，令23n－1＝t，则t是区间(0,1]内的值，而an＝t2－t＝t－122－14，所以当n＝1，即t＝1时，an取最大值．使23n－1最接近12的n的值为数列{an}中的最小项，所以该数列既有最大项又有最小项．3．设an＝－n2＋10n＋11，则数列{an}从首项到第几项的和最大()A．10B．11C．10或11D．12答案C解析∵an＝－n2＋10n＋11是关于n的二次函数，∴数列{an}是抛物线f(x)＝－x2＋10x＋11上的一些离散的点，∴{an}前10项都是正数，第11项是0，∴数列{an}前10项或前11项的和最大．故选C.4．数列{an}中，a1＝2，an＝2an－1(n∈N*,2≤n≤10)，则数列{an}的最大项的值为．答案1024解析∵a1＝2，an＝2an－1，∴an0，∴anan－1＝2＞1，∴an＞an－1，即{an}单调递增，∴{an}的最大项为a10＝2a9＝22a8＝…＝29·a1＝29·2＝210＝1024.5．已知数列{an}中，an＝1＋12n－1＋m.若a6为最大项，则实数m的取值范围是．答案(－11，－9)解析根据题意知，y＝1＋12x－1＋m的图象如下：由a6为最大项，知5＜1－m2＜6.∴－11＜m＜－9.一、选择题1．已知数列{an}满足a10,2an＋1＝an，则数列{an}是()A．递增数列B．递减数列C．常数列D．以上都不对答案B解析∵a10，an＋1＝12an，∴an0，∴an＋1an＝121，∴an＋1an，∴数列{an}是递减数列．2．在数列{an}中，an＝n，则{an}是()A．递增数列B．递减数列C．常数列D．以上都不是答案A解析∵an＋1－an＝(n＋1)－n＝10，∴数列{an}是递增数列．3．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－9n－100，则其最小项是()A．第4项B．第5项C．第6项D．第4项或第5项答案D解析f(x)＝x2－9x－100的对称轴为x＝92，且开口向上．∴an＝n2－9n－100的最小项是第4项或第5项．4．在递减数列{an}中，an＝kn(k为常数)，则实数k的取值范围是()A．RB．(0，＋∞)C．(－∞，0)D．(－∞，0]答案C解析∵{an}是递减数列，∴an＋1－an＝k(n＋1)－kn＝k0.5．函数f(x)满足f(n＋1)＝f(n)＋3(n∈N*)，an＝f(n)，则{an}是()A．递增数列B．递减数列C．常数列D．不能确定答案A解析an＋1－an＝f(n＋1)－f(n)＝30.6．已知p0，n∈N*，则数列{log0.5pn}是()A．递增数列B．递减数列C．增减性与p的取值有关D．常数列答案C解析令an＝log0.5pn.当p1时，pn＋1pn，∴log0.5pn＋1log0.5pn，即an＋1an；当0p≤1时，pn＋1≤pn，∴log0.5pn＋1≥log0.5pn，即an＋1≥an.故选C.7．已知数列{an}的通项公式为an＝nn2＋6(n∈N*)，则该数列的最大项为()A．第2项B．第3项C．第2项或第3项D．不存在答案C解析易知，an＝1n＋6n.函数y＝x＋6x(x0)在区间(0，6)上单调递减，在区间(6，＋∞)上单调递增，故数列an＝1n＋6n(n∈N*)在区间(0，6)上递增，在区间(6，＋∞)上递减．又263，且a2＝a3，所以最大项为第2项或第3项．8．已知数列an的通项公式an＝n＋kn，若对任意的n∈N*，都有an≥a3，则实数k的取值范围为()A．[6,12]B．(6,12)C．[5,12]D．(5,12)答案A解析n＋kn≥3＋k3对任意的n∈N*恒成立，则k1n－13≥3－n，k3－n3n≥3－n，当n≥4时，k≤3n，所以k≤12，当n＝1时，k≥3，当n＝2时，k≥6，以上三个要都成立，故