机器人学导论第二章

机器人学导论(第二章）新疆大学机械工程学院第二章空间描述和变换本章内容2.1概述2.2描述：位置、姿态与坐标系2.3映射：从坐标系到坐标系的变换2.4总结2.5变换算法2.1概述机器人操作：通过某种机构使零件和工具在空间中运动。如何定义和运用表达操作臂位姿的数学量？我们必须定义坐标系并并给出表达规则。世界坐标系：我们采用的一个体系，作为我们讨论任何问题，特别是定义其它坐标系的一个参照坐标系。2.2描述：位置、姿态与坐标系描述：描述可用来确定一个操作系统处理的各种对象的特性。这些对象包括零件、工具和操作臂本身。描述：位置、姿态与坐标系1.位置描述一旦建立了坐标系，我们就能用一个3×1位置矢量对世界坐标系中的任何点进行定位。其它坐标系球坐标系柱坐标系向量向相应轴的投影注意：位置矢量必须附加信息，标明是在哪一个坐标系被定义的这个前置的上标A标明此位置矢量是在坐标系{A}中定义的PA2.姿态描述对于一个刚体来说，我们发现不仅经常需要表示它在空间中的位置，还经常需要描述空间中物体的姿态。为了描述刚体的姿态，我们将在刚体上固定一个坐标系并且给出此坐标系相对于参考系的表达。已知坐标系{B}以某种方式固定在物体上因此点的位置可用矢量描述，物体的姿态可用固定在物体上的坐标系来描述。坐标系{B}主轴方向的三个单位矢量，把它们在坐标系{A}中表达出来坐标系{B}的单位矢量写成在{A}中的表达矢量在坐标系{A}三个主轴方向的投影矢量在坐标系{A}三个主轴方向的投影矢量在坐标系{A}三个主轴方向的投影BYˆBZˆ我们将这三个单位矢量按照的顺序排列组成一个3×3的矩阵位置能用矢量来表示，姿态能用旋转矩阵来表示怎样计算?可用每个矢量在其参考坐标系中单位方向上投影的分量来表示。BBBZˆ,Yˆ,Xˆ这个称为旋转矩阵ijr于是，旋转矩阵的各个分量可用一对单位矢量的点积来表示：RAB两个单位矢量的点积可得到二者之间夹角的余弦，因此各分量又被称作方向余弦那么坐标系{A}在坐标系{B}的表达又是什么样的？进一步观察上页的式子，可以看出矩阵的行是单位矢量{A}在{B}中的表达；即因此，为坐标系{A}相对于{B}中的表达；即RBA以上表明旋转矩阵的逆矩阵等于它的转置矩阵3.坐标系的描述完整描述图中的操作手位姿所需的信息为位置和姿态我们定义这样一对包含位置和姿态信息的坐标实体旋转矩阵原点位置矢量一个参考系可以用一个坐标系相对于另一坐标系的关系来描述。2.3映射什么是映射？描述一个量从一个坐标系到另一个坐标系的数学变换。1.平移映射两个坐标系具有相同的姿态2.关于旋转坐标系的映射前面介绍了用连体坐标系主轴的三个单位矢量来描述姿态的方法。包含三个单位矢量的旋转矩阵被用来描述姿态。我们已知矢量相对于某坐标系{B}的定义，怎样求矢量相对另一个坐标系{A}的定义？且这两个坐标系原点重合。PBPA例2.1图中表示坐标系{B}相对于坐标系{A}绕轴旋转30度。这里轴指向为由纸面向外。ZˆZˆ{B}绕轴旋转30度Zˆ在{{A}中写出{B}的单位矢量，并且将它们按列组成旋转矩阵，得到:已知：求出：PA这里，的作用是将相对于坐标系{A}描述的映射到。注意:从映射的角度看，原矢量P在空间并没有改变，我们只不过求出了这个矢量相对于另一个坐标系的新的描述。PAPBPA3.关于一般坐标系的映射问题：我们已知矢量相对某坐标系{B}的描述，想求出它相对于另一个坐标系{A}的描述。一般的情形：（1）坐标系{B}和坐标系{A}不具有相同的姿态（2）坐标系{B}和坐标系{A}原点不重合(1)在坐标系{B}和坐标系{A}之间有一个矢量偏移(2){B}相对于{A}有旋转，用描述问题：给出，试着计算RABPBPA答案：（1）假设存在一个中间坐标系{C}和{A}的姿态相同、原点和{B}的原点重合。（2）考虑{C}和{A}之间的变换（3）以上的两步可以联合起来齐次变换TAB例2.2图2-8表示了一个坐标系{B}，它绕坐标系{A}的轴旋转了30度，沿平移10个单位，再沿平移5个单位。已知，求。ZˆAXˆAYˆ图2-8经平移和旋转的坐标系{B}TB0.00.70.3PPA坐标系{B}的定义为：按照{B}的定义和已知条件进行变换：已知：2.4总结介绍了一个包括姿态和位置信息的4x4齐次变换矩阵，作为表示坐标系的一般工具。它是坐标系{B}相对于{A}的描述：它是变换映射：2.5变换算法混合变换（乘法变换）已知，求PCPA已知坐标系{C}相对于坐标系{B}，并且已知坐标系{B}相对于坐标系{A}。即，我们知道答案：步骤(1)将变换成：步骤(2)将变换成：步骤(3)联立步骤(1)、(2)，消去中间项，得到PCPAPBPBPB给定已知的{B}和{C}的描述：可以得到从{C}到{A}的齐次变换矩阵：2.逆变换已知坐标系{B}相对于坐标系{A}的描述，即已知怎样求{A}相对于{B}的描述？一个可能的方法：直接对矩阵求逆另一种方法：利用变换的性质求逆，即利用矩阵的特殊结构TABTAB步骤1)由计算出步骤2)由计算出上式的左边是坐标系{B}的原点在{B}中的描述，所以左边=0RABRBABORGAPAORGBP步骤3)综上，计算的方法如下：上式是求齐次逆变换的一般且非常有用的方法注意，使用符号TBA1ABBATT1000PRRTBORGATABTABBA