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习题课两个计数原理与排列、组合问题导学1.两个计数原理(1)分类加法计数原理m+n(2)分步乘法计数原理m×n2.排列、组合综合题的一般解法一般坚持先组后排的原则，即先选元素后排列，同时注意按元素性质分类或按事件的发生过程分类.3.解析受限制条件的排列、组合问题的一般策略(1)特殊元素优先安排的策略；(2)正难则反，等价转化的策略；(3)相邻问题，捆绑处理的策略；(4)不相邻问题，插空处理的策略；(5)定序问题，除法处理的策略；(6)“小集团”排列问题，先整体后局部的策略；(7)平均分组问题，除法处理的策略；(8)构造模型的策略.题型探究例1电视台在某节目中拿出两个信箱，其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封，现由主持人抽奖确定幸运观众，若先确定一名幸运之星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴，有________种不同的结果.类型一两个计数原理的应用答案解析命题角度1“类中有步”的计数问题28800反思与感悟用流程图描述计数问题，类中有步的情形如图所示：具体意义如下：从A到B算作一件事的完成，完成这件事有两类办法，在第1类办法中有3步，在第2类办法中有2步，每步的方法数如图所示.所以，完成这件事的方法数为m1m2m3＋m4m5，“类”与“步”可进一步地理解为：“类”用“＋”号连接，“步”用“×”号连接，“类”独立，“步”连续，“类”标志一件事的完成，“步”缺一不可.跟踪训练1现有4种不同颜色，要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两部分不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有A.24种B.30种C.36种D.48种答案√解析解析将原图从上而下的4个区域标为1,2,3,4.因为1,2,3之间不能同色，1与4可以同色，因此，要分类讨论1,4同色与不同色这两种情况.故不同的着色方法种数为4×3×2＋4×3×2×1＝48.故选D.命题角度2“步中有类”的计数问题答案解析264例2有4位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“握力”、“台阶”五个项目的测试，每位同学上、下午各测试一个项目，且不重复.若上午不测“握力”项目，下午不测“台阶”项目，其余项目上、下午都各测一人，则不同的安排方式共有________种.(用数字作答)反思与感悟用流程图描述计数问题，步中有类的情形如图所示：从计数的角度看，由A到D算作完成一件事，可简单地记为A→D.完成A→D这件事，需要经历三步，即A→B，B→C，C→D.其中B→C这步又分为三类，这就是步中有类.其中mi(i＝1,2,3,4,5)表示相应步的方法数.完成A→D这件事的方法数为m1(m2＋m3＋m4)m5.以上给出了处理步中有类问题的一般方法.跟踪训练2如图所示，使电路接通，开关不同的开闭方式共有答案解析A.11B.12C.20D.21√类型二有限制条件的排列问题例33个女生和5个男生排成一排.(1)如果女生必须全排在一起，有多少种不同的排法？解答解(捆绑法)因为3个女生必须排在一起，所以可先把她们看成一个整体，这样同5个男生合在一起共有6个元素，排成一排有A66种不同排法.对于其中的每一种排法，3个女生之间又有A33种不同的排法，因此共有A66·A33＝4320(种)不同的排法.(2)如果女生必须全分开，有多少种不同的排法？解(插空法)要保证女生全分开，可先把5个男生排好，每两个相邻的男生之间留出一个空，这样共有4个空，加上两边两个男生外侧的两个位置，共有6个位置，再把3个女生插入这6个位置中，只要保证每个位置至多插入一个女生，就能保证任意两个女生都不相邻.由于5个男生排成一排有A55种不同的排法，对于其中任意一种排法，从上述6个位置中选出3个来让3个女生插入有A36种方法，因此共有A55·A36＝14400(种)不同的排法.解答(3)如果两端都不能排女生，有多少种不同的排法？解答(4)如果两端不能都排女生，有多少种不同的排法？解答(5)如果甲必须排在乙的右面(可以不相邻)，有多少种不同的排法？解答解(顺序固定问题)因为8人排队，其中两人顺序固定，共有A88A22＝20160(种)不同的排法.反思与感悟(1)排列问题的限制条件一般表现为：某些元素不能在某个位置，某个位置只能放某些元素等.要先处理特殊元素或先处理特殊位置，再去排其他元素.当用直接法比较麻烦时，可以用间接法，先不考虑限制条件，把所有的排列数算出，再从中减去全部不符合条件的排列数，这种方法也称为“去杂法”，但必须注意要不重复，不遗漏(去尽).(2)对于某些特殊问题，可采取相对固定的特殊方法，如相邻问题，可用“捆绑法”，即将相邻元素看成一个整体与其他元素排列，再进行内部排列；不相邻问题，则用“插空法”，即先排其他元素，再将不相邻元素排入形成的空位中.答案解析跟踪训练3为迎接中共十九大，某校举办了“祖国，你好”诗歌朗诵比赛.该校高三年级准备从包括甲、乙、丙在内的7名学生中选派4名学生参加，要求甲、乙、丙这3名学生中至少有1人参加，且当这3名学生都参加时，甲和乙的朗诵顺序不能相邻，那么选派的4名学生不同的朗诵顺序的种数为A.720B.768C.810D.816√类型三排列与组合的综合应用例4有4张分别标有数字1,2,3,4的红色卡片和4张分别标有数字1,2,3,4的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行.如果取出的4张卡片所标的数字之和等于10，则不同的排法共有多少种？解答反思与感悟解答排列、组合综合问题的思路及注意点(1)解排列、组合综合问题的一般思路是“先选后排”，也就是先把符合题意的元素都选出来，再对元素或位置进行排列.(2)解排列、组合综合问题时要注意以下几点：①元素是否有序是区分排列与组合的基本方法，无序的问题是组合问题，有序的问题是排列问题.②对于有多个限制条件的复杂问题，应认真分析每个限制条件，然后再考虑是分类还是分步，这是处理排列、组合综合问题的一般方法.答案解析跟踪训练4某科室派出4名调研员到3个学校，调研该校高三复习备考近况，要求每个学校至少一名，则不同的分配方案种数为_______.解析先从4名调研员中选2名去同一所学校有C24种方案，然后与另外两名调研员进行全排列对应三所学校，有A33种方案，36故共有C24A33＝36(种)分配方案.达标检测答案解析1.给一些书编号，准备用3个字符，其中首字符用A，B，后两个字符用a，b，c(允许重复)，则不同编号的书共有A.8本B.9本C.12本D.18本12345解析由分步乘法计数原理得，不同编号的书共有2×3×3＝18(本).√解析根据题意，“至少有2件次品”可分为“有2件次品”与“有3件次品”两种情况，2.在100件产品中，有3件是次品，现从中任意抽取5件，其中至少有2件次品的取法种数为A.C23C397B.C23C397＋C33C297C.C5100－C13C497D.C5100－C597√“有2件次品”的抽取方法有C23C397种，“有3件次品”的抽取方法有C33C297种，则共有C23C397＋C33C297种不同的抽取方法，故选B.答案解析12345答案123453.从4男3女志愿者中选1女2男分别到A，B，C三地去执行任务，则不同的选派方法有A.36种B.108种C.210种D.72种√根据分步乘法计数原理可得不同的选派方法有18×6＝108(种).解析从4男3女志愿者中选1女2男有C13C24＝18(种)方法，分别到A，B，C地执行任务，有A33＝6(种)方法，解析答案解析123454.8次投篮中，投中3次，其中恰有2次连续命中的情形有______种.解析将2次连续命中当作一个整体，和另一次命中插入另外5次不命中留下的6个空档里进行排列有A26＝30(种).30123455.某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成.如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方法共有________种.(用数字作答)96解析甲传第一棒，乙传最后一棒，共有A44种方法.答案解析乙传第一棒，甲传最后一棒，共有A44种方法.丙传第一棒，共有C12·A44种方法.由分类计数原理得，共有A44＋A44＋C12·A44＝96(种)方法.规律与方法1.分类加法计数原理与分步乘法计数原理是两个最基本、也是最重要的原理，是解答排列、组合问题，尤其是较复杂的排列、组合问题的基础.2.解排列、组合综合题一般是先选元素、后排元素，或充分利用元素的性质进行分类、分步，再利用两个基本计数原理作最后处理.3.对于较难直接解决的问题则可用间接法，但应做到不重不漏.4.对于分配问题，解题的关键是要搞清楚事件是否与顺序有关，对于平均分组问题更要注意顺序，避免计数的重复或遗漏.