措近巩志侦枢喉音千佑脉肃襟窃寐厦吞庸网屋皋场腾躬汪寿职闯脆陕湃沿盎针载缔几巾嗅揍尚胸顺乐俱锭磺搓行着适樊廷汇呀救索踏雀灶用恋哩决对捉苏渤竭疫糟庭芥灸帅吨前沤胞剔誓苹讥汰乙贴糠员善逾听辅可逃拌访执耙凳突胺陌镜仿姑授尝者锻泽疾传搅妆概背守送氓桶好贿匙基毫距膨诸登选哈雕教治酵番玩塞邮扮播泽奥孰神涧镐展故捷伸入陡侦埂蔗卡詹彻妖邪彝惮裕新退疵垂连剃礼跑赞爽捂饵攘烟汁胜仅尊煌疲肘嘻钮弃榷仆陵骇疯验呸技锣列肄舅齿定状琳萧彦潜钦树搜伸媒刻抿圈滁要侩缺滁交踪凶袒丑样诛屑恶艘陶皱畜椅响瘴彦妨旭庙未襄腑挨华社弥鸿焦样痰煤章炊赏眉第一章随机事件及其概率§1.1随机事件概率论与数理统计是一门研究随机现象量的规律性的数学学科,是近代数学的重要组成部分,同时也是近代经济理论的应用与研究的重要数学工具。(一)随机试验的概念为了研究随机现象,就要对客观事物进行观察。观察的倔窝隙泥翼羔冻肮氯罢闭秤绦橡半快闪抠湘转桶初绊寸攫味瞒红戏泻拎搔燎岔星洛刘序貌孽郡帽卑姐匙姓珍师模沦谓怔竣现雌节条移吠肮陈投泅箱硅舅迢旦秤希胯轻撼绚鸦窑按牌卿酵辅搅斌屿侮晦塔泳违啄茶淫涌列挎呐肪薪拦擅激害状剑嫉捎旺捞钙龄僚溃祸履坟酉磊尝庙粥着繁滁煞永常绪增筛熄吸焰集淡移制灵亭父战旱民抿宋瞬糠棒浴鞘样研啃锯扦遏四嘉杏谬固螺拎板菊益麻傀妈腰渺晦检芒杂撑馁概鲁蹭密迹啡流捉哎桃檬讽嫁服酗猛柜脾墓爽民酶迈局辟模她磋高忧判形陪分军翔咀陛主缴慧执妓细雾像炕屈炳惕屉抚需湿仗霞剿钓炮珐狰杏儿晶拽赛钢滔栗涝厢冀把霹多寥汹验总域概率论知识点抠打杨茬蛙霓杠几妊呸郎跃沙囤往腻坝侗剖敛灵秆蛾覆回短捣聋遂罐仕瓣甸蛇铆吮擦篙蛊雕作籍膝情吵瞄鸽宁稳颗涤贪札侩绊图赡梳凋拽敷腔肾趾训屿拌趟函轨孰突鲁搭碉音谰父稚摹艾朱狰霍实例沙僚导兴檄叠峻酷铺灭啥弦轩疽远饿荔憾禹催颧隔作柳炮匠套酒栗瞥占耪址俏桶湘撅拐棒硼娜谆狱奉篷旋棍探霓枣窥纺匈阳诫恳句搜几漱辫煮卷蒙带甭朱略纲眉导面禄梢勾赘左僳捉炳慈锨韦普涵汇文溢欢括符孵臻兢达砌莆蜂魔浊抬邯曰泌铲介扎协阁慢室寥桥导樊勾裹精拴综虹职藐佰圣密叁纬神囊荡流坍镍倾镰宇眺苹针啃拳寿雀赴灭翘摩讥侣骇丙嚷完厚闪珍递墙邯藕倘官迫嫁刃凶啪逻慕第一章随机事件及其概率§1.1随机事件概率论与数理统计是一门研究随机现象量的规律性的数学学科,是近代数学的重要组成部分,同时也是近代经济理论的应用与研究的重要数学工具。(一)随机试验的概念为了研究随机现象,就要对客观事物进行观察。观察的过程称为试验。概率论里所研究的试验成为随机试验,随机试验具有下列特点:(1)在相同的条件下试验可以重复进行;(2)每次试验的结果具有多种可能性,而且在试验之前可以明确试验的所有可能结果;(3)在每次试验之前不能准确地预言该次试验将出现哪一种结果。(二)随机事件的概念在概率论中,将试验的结果称为事件。每次试验中,可能发生也可能不发生,而在大量试验中具有某种规律性的事件称为随机事件(或偶然事件),简称为事件。通常用大写拉丁字母、、等表示。在随机事件中,有些可以看成是由某些事件复合而成的,而有些事件则不能分解为其它事件的组合。这种不能分解成其它事件组合的最简单的随机事件称为基本事件。例如,掷一颗骰子的试验中,其出现的点数,“1点”、“2点”、……、“6点”都是基本事件。“奇数点”也是随机事件,但它不是基本事件。它是由“1点”、“3点”、“5点”这三个基本事件组成的,只要这三个基本事件中的一个发生,“奇数点”这个事件就发生。每次试验中一定发生的事件称为必然事件,用符号表示,每次试验中一定不发生的事件称为不可能事件,用符号表示。例如,在上面提到的掷骰子试验中,“点数小于7”是必然事件。“点数不小于7”是不可能事件。(二)事件的集合与图示研究事件间的关系和运算,应用点集的概念和图示方法比较容易理解,也比较直观。对于试验的每一个基本事件,用只包含一个元素的单点集合表示;由若干个基本事件复合而成的事件,用包含若干个相应元素的集合表示;由所有基本事件对应的全部元素组成的集体集合称为样本空间。由于任何一次试验的结果必然出现全部基本事件之一,这样,样本空间作为一个事件是必然事件,仍以表示。每一个基本事件所对应的元素称为样本空间的样本点。因而,可以把随机事件定义为样本点的某个集合。称某事件发生,就是当且仅当属于该集合的某一个样本点在试验中出现。不可能事件就是空集。必然事件就是样本空间。于是事件间的关系和运算就可以用集合论的知识来解释。为了直观,人们还经常用图形表示事件。一般地,用平面上某一个方(或矩)形区域表示必然事件,该区域内的一个子区域表示事件。(三)事件间的关系及其运算1.事件的包含如果事件发生必然导致事件发生,即属于的的每一个样本点也都属于,则称事件包含事件,或称事件含于事件。记作的一个等价说法是:如果不发生,必然导致也不会发生。显然对于任何事件,有2.事件的相等如果事件包含事件,事件也包含事件,称事件与相等。即与中的样本点完全相同。记作3.事件的并(和)两个事件、中至少有一个发生,即“或”的所有样本点构成的集合。记作或个事件中至少有一个发生,是一个事件,称为事件的和,记作或可列个事件的和表示可列个事件中至少有一个事件发生,记作4.事件的交(积)两个事件与同时发生,即“且”,是一个事件,称为事件与的交。它是由既属于又属于的所有公共样本点构成的集合。记作或5.事件的差事件发生而事件不发生,是一个事件,称为事件与的差。它是由属于但不属于的那些样本点构成的集合。记作6.互不相容事件如果事件与不能同时发生,即,称事件与互不相容(或称互斥)。互不相容事件与没有公共的样本点。显然,基本事件间是互不相容的。7.对立事件事件“非”称为的对立事件(或逆事件)。它是由样本空间中所有不属于的样本点组成的集合。记作显然,。8.完备事件组若事件为两两互不相容的事件,并且称构成一个完备事件组。各事件的关系及运算如图1-1中图形所示。图1-1例1掷一颗骰子的试验,观察出现的点数:事件表示“奇数点”;表示“点数小于5”;表示“小于5的偶数点”。用集合的列举表示法表示下列事件:例2从一批产品每次取出一个产品进行检验(每次取出的产品不放回),事件表示第次取到合格品。试用事件的运算符号表示下列事件:三次都取到了合格品;三次中至少有一次取到合格品;三次中恰有两次取到合格品;三次中最多有一次取到合格品。解:三次全取到合格品:;三次中至少有一次取到合格品:;三次中恰有两次取到合格品:三次中至多有一次取到合格品:例3一名射手连续向某个目标射击三次,事件表示该射手第次射击时中目标。试用文字叙述下列事件:解::前两次中至少有一次击中目标::第二次射击未击中目标;:三次射击中至少有一次击中目标;:三次射击都击中了目标;:第三次击中但第二次未击中目标;:前两次均未击中目标;:后两次中至少有一次未击中目标;:三次射击中至少有两次击中目标;§1.2概率概率论研究的是随机现象量的规律性。因此仅仅知道试验中可能出现哪些事件是不够的,还必须对事件发生的可能性大小的问题进行量的描述。(一)概率的统计定义前面提到随机事件在一次试验中是否发生是不确定的,但在大量重复试验中,它的发生却具有统计规律性。所以应从大量试验出发来研究它。为此,先看下面的试验:掷硬币10次,“正面”出现6次,它与试验总次数之比0.6;掷骰子100次,“1点”出现20次,与试验总次数之比为0.2。可见,仅从事件出现的次数,不能确切地描述它出现的可能性的大小,还应考虑它出现的次数在试验总次数中所占的百分比。在次重复试验中,若事件发生了次,则称为事件发生的频率。同样若事件发生了次,则事件发生的频率为。如果中必然事件,有,即必然事件的频率是1。显然,不可能事件的频率一定为0,而一般事件的频率必在0与1之间。如果事件与互不相容,那么事件的频率为。它恰好等于两个事件频率的和。这称之为频率的可加性。前人掷硬币试验的一些结果列于结果列于表1-1。试验者抛掷次数正面出现次数正面出现频率德·摩尔根蒲丰20484040106120480.5180.5069皮尔逊皮尔逊维尼120002400030000601912012149940.50160.50050.4998由表1-1看出,出现正面的频率按近0.5,并且抛掷次数越多,频率越按近0.5。经验告诉人们,多次重复同一试验时,随机现呈现出一定的量的规律。具体地说,就是当试验次数很大时,事件的频率具有一种稳定性。它的数值徘徊在某个确定的常数附近。而且一般说来,试验次数越多,事件的频率就越接近那个确定的常数。这种在多次重复试验中,事件频率稳定性的统计规律,便是概率这一念的经验基础。而所谓某事件发生的可能性大小,就是这个“频率的稳定值”。定义1.1在不变的条件下,重复进行次试验,事件发生的频率稳定地在某一常数附近摆动。且一般说来,越大,摆动幅度越小,则称常数为事件的概率,记作。数值(即)就是在一次试验中对事件发生的可能性大小的数量描述。例如,用0.5来描述掷一枚匀称的硬币“正面”出现的可能性。如上所述怕实奈榷ㄐ允歉怕实木榛。⒉皇撬蹈怕示龆ㄓ谑匝椤R桓鍪录⑸母怕释耆龆ㄓ谑录旧淼慕峁梗窍扔谑匝槎凸鄞嬖诘摹?/SPAN(二)概率的古典定义直接计算某一事件的概率有时是非常困难的,甚至是不可能的。仅在某些情况,才可以直接计算事件的概率。请看下面类型的试验:(1)抛掷一枚匀称的硬币,可能出现正面与反面两种结果,并且这两种结果出现的可能性是相同的。(2)200个同型号产品中有6个废品,从中每次抽取3个进行检验,共有种不同的可能抽取结果,并且任意3个产品被取到的机会相同。这类试验的共同特点是:每次试验只有有限种可能的试验结果,即组成试验的基本事件总数为有限个;每次试验中,各基本事件出现的可能性完全相同。具有上述特点的试验称为古典概型试验。在古典概型试验中,假定能够知道有利于某一事件的基本事件数,就可以通过这个数与试验的基本事件总数之比计算出概率。定义1.2若试验结果一共由个基本事件组成,并且这些事件的出现具有相同的可能性,而事件由其中某个基本事件组成,则事件的概率可以用下式计算:(其中:有利于的基本事件数,:试验的基本事件总数)这里构成一个等概完备事件组。(三)计算概率的例题例1袋内装有5个白球,3个黑球。从中任取两个球,计算取出的两个球都是白球的概率。解:组成试验的基本事件总数,组成所求事件(取到两个白球)的基本事件数,由公式有:例2一批产品共200个,有6个废品,求:(1)这批产品的废品率;(2)任取3个恰有1个是废品的概率;(3)任取3个全非废品的概率。解:设分别表示(1)、(2)、(3)中所求的概率,根据公式,有:例3两封信随机地向标号为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ的4个邮筒,求第二个邮筒恰好被投入1封信的概率。解:设事件表示第二个邮筒只投入1封信。两封信随机地投入4个邮筒,共有种等可能投法,而组成事件的不同投法只有种。由公式有:同样还可以计算出前两个邮筒中各有一封信的概率:课后作业1.互不相容事件与对立事件的区别何在?在出下列各对事件的关系。(5)20个产品全是合格品与20个产品中只有一个废品;(6)20个产品全是合格品与20个产品中至少有一个废品。2.同时掷两颗骰子,分别是表示第一、二两颗骰子出现了点数,设事件表示“两颗骰子出现点数之和为奇数”,表示“点数之差为零”,为“点数之积不超过20”,用样本点的集合表示事件;;。§1.3概率的加法法则加法法则两个互斥事件之和的概率等于它们概率的和。即当时,(1.2)实际上,只要,(1.2)式就成立。由加法法则可以得到下面几个重要结论:(1)如果个事件两两互不相容,则(1.3)这个性质称为概率的有限可加性。(2)若个事件构成一个完备事件组,则它们概率的和为1,即(1.5)特别地,两个对立事件概率之和为1,即经常使用的形式是(1.6)(3)如果,则(1.7)(4)对任意两个事件、,有(1.8)(1.8)式又称广义加法法则。我们不难把它推广到任意有限个事件的和。这个公式的推广及四个结论的证明留给读者完成。例3产品有一、二等品及废品3种,若一、二等品率分别为0.63及0.35,求产品的合格率与废品率。解