数学分析1期末复习题

1一、函数的特性例1已知2)(xexf，xxf1)]([且0)(x则)(x，其定义域为.解：xexfx1)]([)(2，且0)(x，故)1ln()(xx，0,11xx。周期性P1424(1)(3)(6)(7)(8)符号函数P26,5例2设xexxxfcossin)(，则在),(内，()fx是()(A)有界函数；(B)单调函数；(C)周期函数；(D)偶函数.解：因为)(sin)sin()()(cos)cos(xfexxexxxfxx，故()fx是偶函数，选（D）。因为x是无界的非周期函数，所以（A），（C）不正确；而xxcos,sin都是周期函数，所以（B）不正确。二、极限例3设01011)(1xxexfx，则0)(xxf在[B]（A）连续；（B）左连续；（C）右连续；（D）可导.利用性质求极限P52,89(1)(3)(5)例4)1sinsin(limxxxxx=1利用等价无穷小求极限单调有界必有极限P5214(1)（2）16例5利用单调有界必有极限，证明nnxlim存在，并求出它，其中10x，00111xxx，nnnxxx11,1证显然21111nnnxxx即nx有界211111nnnnnnxxxxxx=)1)(1(11nnnnxxxx……=)1)(1(1001xxxx而001xx由数学归纳法可知，nx单增有界故nnxlim存在设Axnnlim，则)11(limlim1nnnnnxxxAAA11解得215A（舍负）例6（1）)1ln(102)(coslimxxx。（2）8)2(limxxaxax，则a。解：（1）原式=)1ln(1coslim20xxxe2121lim220eexxx。（2）xaxaxxxxeaxax)12(lim)2(limaxaxxe3lim83ae，2ln38ln3a，2lna。例7求xxxln3110)2(sinlim.解：原式xxxeln312sinlnlim0………2分xxxxe322sin2coslim0………4分=312lim320eextgxx………5分例820)1ln(sin1tan1limxxxxxx；解：（1）为“00”型未定式，含根式，先有理化，然后清理非零因子，再用等价3无穷小量代换。20)1ln(sin1tan1limxxxxxx)sin1tan1]()1[ln(sintanlim0xxxxxxxx])1[ln()cos1(tanlim210xxxxxxxxxx)1ln(cos1lim21021111sinlim210xxx三、函数的连续例9若0012sin)(2xaxxexxfax在),(内连续，则a。解：因为axaxxexaxaxx222lim212sinlim020，则2a例10、设函数002arcsin1)(2tanxaexxexfxx在0x处连续，则a=。解：af)0(；22tanlim2arcsin1lim)00(0tan0xxxefxxx；aaefxx20lim)00(。所以a=-2。间断点例11函数][sinxxy在0x（C）A、连续；B、可导；C、是第一类间断点；D、是第二类间断点.P90，14（6）（8）15，三、函数的导数P1283,4P1416,7P1572(2),P1611(2)例12设xesiny，则dy=[C](A)xdexsin(B)xdexcossin；(C)xdexsinsin；(D)xdxexsinsin.4例13设)(xf可导,且满足12)1()1(lim0xxffx，则曲线)(xfy在点))1(,1(f处的切线斜率为（）(A)2；(B)-1；(C)21；(D)-2.解：由导数定义和几何性质)1(21)1()](1[lim212)1()1(lim100fxfxfxxffxx，2)1(f，选(D)例14求曲线ttytx213，在1t处的切线方程.解：22321ttdxdy1|1tdxdy当1t时，1,2yx，切线方程21xy例15设)(xyy是由方程1sinyxey所确定的隐函数，求函数曲线)(xyy在点)0,1(M的切线方程.解两边对x求导，得0cosdxdyxeedxdyyyy………2分所以yyxeyedxdycos………4分2101yxdxdyk………6分故所求切线方程为012yx………7分例16设函数)(xyy由参数方程)1ln(22tyttx所确定，则曲线)(xyy在3x处的法线与x轴交点的横坐标是（）5(A)32ln81；(B)32ln81；(C)32ln8；(D)32ln8。解：2)1(21)1(211tttdxdy，3x对应1t，2lny，故811tdxdy，曲线)(xyy在3x处的法线方程为)3(82lnxy，令0y，得该法线与x轴交点的横坐标是32ln81，选(A)。一致连续不考6四、中值定理及应用（1）并会用罗尔（Rolle）定理、拉格朗日（Lagrange）中值定理和泰勒（Taylor）定理，了解并会用柯西（Cauchy）中值定理。（2）理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法。掌握函数最大值与最小值的求法极其简单的应用。（3）会用导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形。例17设,fxgx在,ab二阶可导，0fafbgagb，且0gx，证明：（1）在,ab内0gx；（2）,ab使ffgg证：（1）反证若,ab使0g，则由Rolle定理得：12,,,ab使120gg，再由Rolle定理，12,,ab使0g，与0gx矛盾（2）即证,,fggfab即fxgxgxfx有根，所以满足Rolle定理的辅助函数FxfxgxgxfxdxfxdgxgxdfxfxgxgxdfxfxgxgxdfxfxgxfxgxC取0C，所以Fxfxgxfxgx，再验Fx满足Rolle定理即可例18设fx在0,1连续，在0,1可导，1010,12fff，证（1）1,12，使f；（2）,0,，使1ff.证：（1）令xfxx，则x在1,12连续，且1110222f，11110f，7由介值定理，1,12，使0，即f.（2）即证10fxfxx在0,有根，即10fxfxx①在0,有根，找满足Rolle定理的辅助函数Fx若①xe10xxefxefxx即0xefxx，取Fxxefxx，在0,满足Rolle定理即可.例19设0,1x，证明221ln1xxx.证法一：设221ln1fxxxx，则22ln12ln1fxxxx，2ln11fxxxx，22ln11xfxx，显然fx在0,1上连续，0fx，fx单增，当0,1x时，有00fxffx单增，有00fxffx单增，有00fxf即221ln1xxx.证法二：在0,1内，把fx展成Maclaurin公式，有23000,02!3!fffxffxxxx又0000,0ffffx，所以303!ffxx，即当0,1x时，有221ln1xxx.例20设0lim1xfxx，且0fx，证明fxx.证：因为0fx，所以fx二阶可导，从而fx连续，所以000limlim0xxfxffxxx000lim0xfxffx0lim1xfxx所以fx的Maclaurin公式22002!2!fffxffxxxx又因为0fx，所以fxx.8注：由以上两例可以看出，Taylorg公式在证明某些不等式时非常简洁。一般若能得到000,,fxfxfx时可以考虑用Taylorg公式.例21设fx在,内满足231xxfxxfxe①（1）若fx在(0)xCC有极值，试证它是极小值；（2）若fx在0x有极值，则它是极大值还是极小值？解：（1）由于fx可导，且在(0)xCC有极值，所以0fC，把xC代入①，有1CefCC，所以fC为fx的极小值.（2）由于fx在0x可导且有极值，所以00f，又因为fx有二阶导数，所以fx连续，因此0lim00xfxf，故0000limlim0xxfxffxfxx由洛必达法则有00limxffx而当0x时213xefxfxx，所以200110lim3lim10xxxxeeffxxx所以0f是fx的极小值.例22求点0,1P到曲线2yxx的最短距离.解：点0,1P到曲线上点,Mxy的距离为2221dxxx，要d最小，只要2d最小即可，设2221,,fxxxxx222121fxxxxx22121xx121fxxx令0fx，得驻点121,xx，因为120f所以1524d为dx的极小值；而因为在1x两侧fx不变号，所以1x不是dx的极值点.故点0,1P到曲线2yxx的最短距离为min1524dd.9例23设2ebae，证明：)(4lnln222abeab证明：证法1：设2)(ln)(xxf，则)(xf在],[ba上连续在),(ba内可导,由拉格朗日中值定理有：ln2)(ln)(ln22abab)(ba(3分)，设xxxgln2)(则224)(eeg，这样我们只要证明)(xg单减即可。0)ln