数学分析复习要点

数学分析复习要点上册第一章实数集与函数内容：实数集相关概念及性质、确界原理，复合函数，反函数，基本初等函数与初等函数，函数的有界性、单调性及奇偶性等相关问题。重点：邻域，上、下确界的概念，确界原理。第二章数列极限内容：数列极限的精确定义与性质，单调数列概念，单调有界定理、柯西收敛准则，收敛与发散数列，数列极限存在条件。重点：数列极限的精确定义，利用ε-Ν定义证题，收敛数列性质，数列极限的求法。第三章函数极限内容：函数极限的概念与性质、函数极限的存在性，两个重要极限，无穷量及阶的比较，曲线的渐近线。重点：函数极限的精确定义及其证题，极限的求法，极限存在准则，两个重要极限，常用等价无穷小。第四章函数的连续性内容：函数的连续与间断的概念，间断点的分类，连续函数的局部性质与闭区间上连续函数的基本性质，初等函数的连续性。重点：函数在一点连续与左、右连续概念，间断点及分类，连续性的判别，闭区间上连续函数的最值性、有界性、介值性、根的存在性与一致连续性定理，初等函数的连续性及在求极限中应用。第五章导数和微分内容：导数与高阶导数的概念，导数的几何意义，求导法则与公式、各类型函数（尤其复合函数）的求导（含高阶导数）法，函数极值的概念与费马定理、达布定理、微分与高价微分概念与性质及应用。重点：导数的几何意义的应用，基本求导公式及求导法，微分形式不变性，可导、可微与连续的关系。第六章微分中值定理及其应用内容：三个微分中值定理，利用导数研究函数的单调性、不定式极限、泰勒公式，函数的极值与最值的求法，函数的凹凸性及函数的作图。重点：三个微分中值定理，特别是拉格朗日中值定理及推论，函数单调性与凹凸性的判定及其应用，不定式极限求法、函数的极值与最值的求法及应用。第七章实数的完备性内容：区间套、点集聚点与开覆盖概念的概念、实数完备性七个基本定理的內容及证明（除确界原理）。闭区间上连续函数性质的证明。重点：区间套定理。第八章不定积分内容：原函数与不定积分的概念与性质，不定积分的求法、重点：原函数与不定积分的概念，基本积分公式，利用換元积分法与分部积分法求不定积分。第九章定积分内容：定积分的概念与性质，可积条件，变限积分的概念，微积分学基本定理与牛顿莱布尼茨公式，定积分的換元积分法与分部积分法。重点：可积条件，定积分的计算，变限积分的概念及性质，微积分学基本定理的证明，牛顿莱布尼茨公式，用換元积分法证题。第十章定积分的应用内容：元素法，定积分在几何与物理方面的应用。重点：用定积分计算各种形式平面图形面积，已知截面面积函数求立体体积和旋转体的体积。第十一章反常积分内容：无穷积分与瑕积分敛散性的概念、性质与判别。绝对收敛性与条件收敛性。重点：无穷积分敛散性的比较判别法与柯西判别法。