高考数学中的恒成立问题与存在性问题

1“恒成立问题”的解法常用方法：①函数性质法；②主参换位法；③分离参数法；④数形结合法。一、函数性质法1.一次函数型：给定一次函数()(0)fxaxba,若()yfx在[m,n]内恒有()0fx，则根据函数的图象（直线）可得上述结论等价于0)(0)(nfmf；同理，若在[m,n]内恒有()0fx，则有0)(0)(nfmf.例1.对满足2p的所有实数p,求使不等式212xpxpxx恒成立的x的取值范围。略解：不等式即为2(1)210xpxx,设2()(1)21fpxpxx,则()fp在[2,2]上恒大于0，故有：)2(0)2(ff，即0103422xxx3111xxxx或或13xx或.2.二次函数：①.若二次函数2()(0)0fxaxbxca（或0）在R上恒成立，则有00a（或00a）；②.若二次函数2()(0)0fxaxbxca（或0）在指定区间上恒成立，可以利用韦达定理以及根的分布等知识求解。例2.已知函数22241,fxmxmxgxmx，若对于任一实数x，()fx与()gx的值至少有一个为正数，则实数m的取值范围是（)A．(0，2)B．(0，8)C．(2，8)D．(－∞，0)选B。例3.设2()22fxxax,当[1,)x时，都有()fxa恒成立，求a的取值范围。解：设2()()22Fxfxaxaxa，（1)当4(1)(2)0aa时，即21a时，对一切[1,)x，()0Fx恒成立；（2）当4(1)(2)0aa时，由图可得以下充要条件：nmoxynmoxy-1oxy20(1)021,2fa即(1)(2)0301,aaaa32a;综合得a的取值范围为[-3，1]。例4.关于x的方程9(4)340xxa恒有解，求a的范围。解法：设3xt,则0t.则原方程有解即方程2(4)40tat有正根。12120(4)040xxaxx2(4)1604aa8a.3.其它函数：()0fx恒成立min()0fx（若()fx的最小值不存在，则()0fx恒成立()fx的下界0）；()0fx恒成立max()0fx（若()fx的最大值不存在，则()0fx恒成立()fx的上界0）.例5．设函数321()(1)4243fxxaxaxa，其中常数1a，（1）讨论()fx的单调性；（2）若当0x时，()0fx恒成立，求a的取值范围。.s.5.u.c.o.m解：（2）由（I）知，当0x时，)(xf在ax2或0x处取得最小值。aaaaaaaf2424)2)(1()2(31)2(23aaa2443423；af24)0(则由题意得,0)0(,0)2(1fafa即1,4(3)(6)03240.aaaaa16a(1,6)a。二、主参换位法：某些含参不等式恒成立问题，在分离参数会遇到讨论的麻烦或者即使能容易分离出参数与变量，但函数的最值却难以求出时，可考虑把主元与参数换个位置，再结合其它知识，往往会取得出奇制胜的效果。例6．已知函数323()(1)132afxxxax，其中a为实数．（1）已知函数()fx在1x处取得极值，求a的值；（2）已知不等式2()1fxxxa＞对任意(0)a，都成立，求实数x的取值范围．3解：由题设知“223(1)1axxaxxa对(0)a，都成立，即22(2)20axxx对(0)a，都成立。设22()(2)2gaxaxx（aR），则()ga是一个以a为自变量的一次函数。220x恒成立，则对xR，()ga为R上的单调递增函数。所以对(0)a，，()0ga恒成立的充分必要条件是(0)0g，220xx，20x，于是x的取值范围是{|20}xx。三、分离参数法：利用分离参数法来确定不等式,0fx（Dx,为实参数）恒成立时参数的取值范围的基本步骤:（1）将参数与变量分离，即化为gfx（或gfx）恒成立的形式；（2）求fx在xD上的最大（或最小）值；（3）解不等式max()gfx(或mingfx)，求得的取值范围。适用题型：（1）参数与变量能分离；（2）函数的最值易求出。例7．当(1,2)x时，240xmx恒成立，则m的取值范围是.解:当(1,2)x时，由240xmx得24xmx.令244()xfxxxx，则易知()fx在(1,2)上是减函数，所以4()5fx，所以245xx，∴5m.例8.已知xR时，不等式cos254sin54axxa恒成立，求实数a的取值范围。解：原不等式即为：214sin2sin554xxaa，要使上式恒成立，只需45a-a+5大于214sin2sinxx的最大值，因为214sin2sin3xx，∴5543aa，即542aa22054054(2)aaaa或04502aa，解得54a8.四、数形结合（对于()()fxgx型问题，利用数形结合思想转化为函数图象的关系再处理）：若把等式或不等式进行合理的变形后，能非常容易地画出等号或不等号两边函数的图象，则可以通过画图直接判断得出结果。尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷。例9．若对任意xR,不等式||xax恒成立，则实数a的取值范围是（）(A)1a(B)||1a(C)||1a（D）1a||yx||yxyaxyaxxyO4选B。例10.当|(1,2)x)时，2(1)logaxx恒成立，求a的取值范围。答案：12a.例11.已知关于x的方程2lg(20)lg(863)0xxxa有唯一解，求实数a的取值范围。解：原问题即为：方程2208630xxxa有唯一解。令2120yxx，2863yxa,则如图所示，要使1y和2y在x轴上有唯一交点，则直线必须位于1l和2l之间。（包括1l但不包括2l)。当直线为1l时，1636a;当直线为2l时，12a，∴a的范围为1631[,)62。另解：方程21263xxa在方程(,20)(0,)x上有唯一解有唯一解。五。根据函数的奇偶性、周期性等性质：函数是奇偶性、单调性、周期性都在给定区间上恒成立。例12.若()sin()cos()fxxx为偶函数，求的值。解：由题得：()()fxfx对一切xR恒成立，sin()cos()sin()cos()xxxxsin()sin()cos()cos()xxxxsincossinsinxxsin(cossin)0x对一切xR恒成立．．．，只需也必须cossin04k.（kZ)xyo12y1=(x-1)2y2=logax