结构力学静定结构位移计算习题解答

6-1求图示桁架AB、AC的相对转角，各杆EA为常量。解：（1）实状态桁架各杆的轴力如图（b）所示。P(b)(a)PNP(d)(c)题6-112√aa√2110a√2NAC001/a1/a1/a000001/a1/a1/a1/a0001/a1/aNAB0√P2√2PP2√0-P3PP-2P-2P-Pa3×aCAB（2）建立虚设单位力状态如（c）所示,求AB杆的转角。1113(2)82iPiABiiPaPaPaNNlPaaaEAEAEAEAEA（↺）（3）建立虚设单位力状态如（d）所示,求AC杆的转角。122113(2)()(72)22iPiACiiPaPaPaNNlPaaaEAEAEAEAEA（↺）故，AB、AC的相对转角为两杆转角之差：8(72)(12)0.414ABACPPPPEAEAEAEA（夹角减小）6-2求半圆曲梁中点K的竖向位移。只计弯曲变形。EI为常数。方法一解：（1）荷载作用下的实状态的约束反力如图（a）所示。以任意半径与水平坐标轴的顺时针夹角为自变量，其弯矩方程为：sin(0)PMPr（2）建立虚设单位力状态如（b）所示，其弯矩方程为：1cos)(0)2211cos()cos)()222iM(r-rr-r(r+rAPKBθAPi=1KBθ1/21/2P(a)题6-2(b)xxrθddsθdrds（3）积分法求半圆曲梁中点K的竖向位移。20233220022311cos)(sin)cos)(sin)2211cos)sincos)sinsinsin2)sinsin2)2222cos2iVPkPrPrMMdsrdrdEIEIEIPrPrddddEIEIPrEI(r-r(r+r(-(+(-(+(-11320211cos2)coscos2)442PrEI（）(方法二：本题也可以只算纵向对称轴左边，再乘2。x题6-2BPdsdrPθAθ(a)Ksdx(b)1/21/2BKPi=1Aθdθ2033220033201sin)(Prcos)221sin)coscossin2)21sincos2)42iVPkMMdsrdEIEIPrPrddEIEIPrPrEIEI（）(r-r(-(-(16-3求梁的自由端的挠度。EI为常数。方法一：（积分法）解：（1）荷载作用的实状态,以及坐标如图（a）,其弯矩方程为：21(0)2Mxqlxqxxl（2）建立虚设单位力状态,以及坐标如图（b）所示,其弯矩方程为：(0)iMxxxl（3）积分法求梁自由端的竖向位移VB。方法二：（图乘法）6-4求图示梁支座B左右两侧截面的相对转角。EI=常数。l/21题6-41Mi图(c)(a)(b)MP图2ql48ql2lBAl/2C解：（1）荷载作用的实状态,其弯矩图如图（b）所示。（2）建立虚设单位力状态,其弯矩图如图（c）所示。（3）图乘梁（b）、（c）求自由端的竖向位移VB223121115()38224248iiByqlqlqlllEIEIEI（↺↻）A(b)(a)qqllEIB1xx积分法题6-32023043401()()21)21111)3824liVPBllxqlxqxMMdxdxEIEIqlxxdxEIqqllxxEIEI（）(+(解：（1）荷载作用的实状态,其弯矩图如图（b）所示。（2）建立虚设单位力状态,其弯矩图如图（c）所示。（3）图乘梁（b）、（c）求自由端的竖向位移VB。22423()311822()324VBqllqllllqlEIEIEIl2题6-318ql2BBEIlqlql223qlMi图MP图(a)(b)(c)A图乘法6-5求图示悬臂梁的自由端的挠度。523.8410kNmEI。BEI4mq(a)AC4m(c)(m)Mi图题6-5481(kN·m)MP图1040120(b)B解：（1）荷载作用的实状态,其弯矩图如图（b）所示。（2）建立虚设单位力状态,其弯矩图如图（c）所示。（3）图乘梁（b）、（c）求自由端的竖向位移VC3511122112(404(84)480(84)(4044)(4102)223333656065605.6910(m)5.69mm()333.8410ViiCyEIEIEIEIEI6-6求简支梁中点K的竖向位移。EI=常数。Mi图(c)(b)MP图题6-64l1BA2ql328ql2163ql25ql87ql8Bl/4l/2qlAK(a)ql/4解：（1）荷载作用的实状态,其弯矩图如图（b）所示。（2）建立虚设单位力状态,其弯矩图如图（c）所示。（3）图乘梁（b）、（c）求自由端的竖向位移VK22241311122()()()3164222883232848ViikyqllllqlllqllqlEIEIEIEIEI6-7求图示刚架结点K的转角。E=常数。题6-7(a)(b)4IDAClq(c)ql443ql4ql24ql22ql82ql412211212l2l10lIBK4IMP图Mi图l10I解：（1）荷载作用的实状态,其弯矩图如图（b）所示。（2）建立虚设单位力状态,其弯矩图如图（c）所示。（3）图乘梁（b）、（c）求自由端的竖向位移K222233333111111121()()()()34422434423438425()96896192192iiKyqlqlqlqlllllEIEIEIEIEIqlqlqlqlqlEIEIEIEIEI6-8求图示三铰刚架D、E两点的相对水平位移和铰C两侧截面的相对转角。EI=常数。112(d)(c)1l4l4lMi2图1211Mi1图l1ql88ql(b)(a)11MP图8ql28ql28ql2ql2qll/2l/2EqCABl/2l/2EI=常数D12ql8ql8题6-8解：（1）荷载作用的实状态,其弯矩图如图（b）所示。（2）建立虚设单位力状态,其弯矩图如图（c）、（d）所示。（3）图乘梁（b）、（c）求自由端的竖向位移HDE241112()()()242864HiiDEylqlqllEIEIEI（4）图乘梁（b）、（d）求铰C两侧截面的相对转角C方法一：22231112(1)21(1)388388iiCyqlqlqlqllllEIEIEIEIEI（↻↺）方法二：实状态时C处剪力为零223111(1)2(1)2383828iiCyqlqllqllEIEIEIEI（↻↺）6-10求图示刚架结点K的竖向位移。62310kNmEI。3mKA2I10kN/m6m180MP图(kN·m)(a)(b)(c)题6-10II60kN60kN60kN60kNK3604561122261212+136329Mi1图(m)1Pi=解：（1）荷载作用的实状态,其弯矩图如图（b）所示。（2）建立虚设单位力状态,其弯矩图如图（c）所示。（3）图乘梁（b）、（c）求自由端的竖向位移VK3611111221236012618063(6180)9(1806)(1212)(645)933222332317280172805.4910()5.49()310ViiCyEIEIEIEIEIEImmmEI6-15求图示组合结构K的竖向位移。EA=常数、EI=常数。(a)KPP2aIEAEAEIEI(e)1122PaaIEAEIEIP21(a)KPP2aIEAEAEIEI(e)1122PaaIEAEIEIP21(b)2PIP221(f)121P212P2IP21(b)2PIP221(f)121P212P2IP21MP图、NP2PP(d)2(c)2PaPa2P2P2P22PP2P2122Mi图、Ni题6-15(h)212Pa2a(g)122aPa1212212112212PPP2EIEIP221a2112解：（1）荷载作用的实状态如图(a)所示；用I-I截面切开三链杆取右边为研究对象如图(b)所示，并求出此三链杆的轴力；其弯矩图如图（d）所示。（2）建立虚设单位力状态如图(e)所示；切开三链杆取右边为研究对象如图(f)所示，并求出此三链杆的轴力；其弯矩图如图（h）所示。（3）图乘梁（b）、（c）求自由端的竖向位移VK111()()1122()334iViiPKyNNEIEAEIEIEAEAEAEA梁式杆链杆222222（）（）2222PPPaaaPaaPaaPaaa6-17图示三铰刚架内部温度升高toC，材料的线膨胀率为α。求中间铰C的竖向位移。各杆截面高度h相同，EI=常数。题6-17图(b)(a)Mi图l/2l/2CABlEI=常数hh=10lPi=121121441l44l+tC解：（1）实状态如图（a）所示，刚架内外侧温度差'ttCo，轴线温度升高02ttCo（2）建立虚设单位力状态,1124NNN左右梁,其弯矩图如图（b）所示。（3）图乘梁（a）、（b）求中间铰C的竖向位移'2211112()()(22)222424242535335()8888/108iiVCNMtthtttllllllhtltltltltlhl6-20图示桁架中杆件AK在制造时比原设计长度做长了5mm，求由此引起的K点的水平位移。(a)AK(b)KA121211000002√2题6-20图解：（1）实状态如图（a）所示，桁架中AK杆在制造时比原设计长度做长了5mm。（2）建立虚设单位力状态,先求出反力，再利用结点法求出该状态AK杆的轴力。（3）图乘梁（a）、（b）求中间铰C的竖向位移255.5355()()2VCiNmm6-22图示刚架支座A发生水平位移1、竖向位移2及顺时针向转角φ，求由此引起的刚结点K的水平位移。AKK'lφAl△2题6-22(a)△1Pi=1K(b)MAYAXAA解：①实位移状态如图6-22（a）所示。②沿水平方向虚设单位力1iP，虚力状态如图6-22（b）所示。1()01AAAXYMll（↺）③由刚体的可能功方程，有：110HkAAXM1HCl（）