等差数列前n项和性质

等差数列前n项和性质（1）一.知识点回顾1(1)2nnndSna1()2nnnaaS1.等差数列的前n项和公式：等差数列前n项和的性质（1）11?,1,2nnSnSSnnnnnn已知等差数列的前n项和S，如何求a利用S与a的关系:a=返回3．已知数列{an}的前n项和为Sn，且lg(Sn＋1)＝n＋1，求通项公式．解：因为lg(Sn＋1)＝n＋1，所以Sn＋1＝10n＋1.即Sn＝10n＋1－1.当n＝1时，a1＝S1＝102－1＝99，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(10n＋1－1)－(10n－1)＝9×10n，从而，数列{an}的通项公式为：an＝99n＝19×10nn≥2.等差数列前n项和的性质（2）k2kk3k2k2等差数列的之和也成等差数列。即S,S-S,S-S,......也成等差数列。(公差为k连续k项d)22111221112213222112(21)(1)2[]22(42)2(1)3(31)[3222(21)93422]32222622()2kkkkkkkdkkdkakakkkkkadkkdkkdkakakkdkkkkSSkkkkkakadkkkkadSSSa1证明：设首项为a，公差为d，又21222211332(3)2(3)()2kkkkkdkkkadkakkkakkdSSSSSd而=2（）结2（）论成立。1{}na102030例：在等差数列中，S=10,S=40,求S40240901020103020303030解：由等差数列前n项和性质知S,S-S,S-S也成等差数列，即10，30，S-成等差数列，3010（S-）解得S例2.在等差数列{an}中，S10＝100，S100＝10.求S110.[解]法一：(基本量法)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则10a1＋1010－12d＝100，100a1＋100100－12d＝10.解得a1＝1099100，d＝－1150.∴S110＝110a1＋110110－12d＝110×1099100＋110×1092×(－1150)＝－110.法二：(设而不求整体代换法)∵S10＝100，S100＝10，∴S100－S10＝a11＋a12＋…＋a100＝90a11＋a1002＝－90.∴a11＋a100＝－2.又∵a1＋a110＝a11＋a100＝－2，∴S110＝110a1＋a1102＝－110.例2.在等差数列{an}中，S10＝100，S100＝10.求S110.法三：(新数列法)∵S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90，S110－S100，…成等差数列，∴设该数列公差为d，则其前10项和为10×100＋10×92d＝10，解得d＝－22.∴前11项和为11×100＋10×112d＝11×100＋10×112×(－22)＝－110.例2.在等差数列{an}中，S10＝100，S100＝10.求S110.等差数列前n项和的性质（3）1(2)2.()(2)1nnnnSSSSaSSdSaSnSSanaSn奇偶所有偶偶奇奇奇奇偶偶关于奇数项与偶数项和的关系的几个：1.当项数为（偶数）时：（1）当项数为2n-1（奇数）时：（1）是中间项结论2n1(2)nnSaSSdnSa偶偶奇奇1.当项数为（偶数2n）时：（1）221242121132111111()(2)...22()(2)...22(1)()(2)nnnnnnnnnnnnnnnnSnaSnanaanaaaanaanaaaanananSSndSaSaaanana偶奇偶奇偶奇证明：2.(,)(2)1nSnSSaaSn奇奇偶中偶当项数为2n-1（奇数）时：（1）中间项即22224221211321(1)(1)1(1)():...2(1)(2)2()(2)...22(1)(1)(2)(1)nnnnnnnnnnnnnnaaaaananaanaaaananananSnanaSnanaSSaaSnSna偶中奇中奇偶中奇偶证明例1.在等差数列{an}中,已知公差d=1/2,且a1+a3+a5+…+a99=60,a2+a4+a6+…+a100=()A.85B.145C.110D.90A变式：一个等差数列的前12项的和为354,其中项数为偶数的项的和与项数为奇数的项的和之比为32:27,则公差为.58525602525215050-奇偶奇偶解析：SSdndSS