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专题二配方法的应用[学生用书B12]__(教材P36作业题第5题)已知9x2＋18(n－1)x＋18n是完全平方式，求常数n的值．解：9x2＋18(n－1)x＋18n＝9[x2＋2(n－1)x]＋18n＝9[x2＋2(n－1)x＋(n－1)2]－9(n－1)2＋18n＝[3(x＋n－1)]2－9(n－1)2＋18n.已知9x2＋18(n－1)x＋18n是一个完全平方式，∴－9(n－1)2＋18n＝0，化简，得－9(n2－4n＋1)＝0，解得n＝2±3.【思想方法】配方法是对数学式子进行一种定向变形(配成“完全平方”)的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简，何时配方需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方，有时也将其称为“凑配法”．配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如：a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2＋2ab；a2＋ab＋b2＝(a＋b)2－ab＝(a－b)2＋3ab＝a＋b22＋32b2；a2＋b2＋c2＋ab＋bc＋ca＝12[(a＋b)2＋(b＋c)2＋(c＋a)2]．若x，y为任意有理数，比较6xy与x2＋9y2的大小．解：∵x2＋9y2－6xy＝(x－3y)2≥0，∴x2＋9y2≥6xy.利用配方法证明：无论x取何实数值，代数式－x2－x－1的值总是负数，并求它的最大值．证明：－x2－x－1＝－x2＋x＋14＋14－1＝－x＋122－34，∵－x＋122≤0，∴－x＋122－340，即无论x取何实数值，代数式－x2－x－1的值总是负数，当x＝－12时，－x2－x－1有最大值－34.a，b满足a2＋2b2－2ab－2b＋1＝0，求a＋2b的值．解：∵a2＋2b2－2ab－2b＋1＝0，∴a2＋b2－2ab＋b2－2b＋1＝0，∴(a－b)2＋(b－1)2＝0.∵(a－b)2≥0，(b－1)2≥0，∴a－b＝0，b－1＝0，∴a＝1，b＝1，∴a＋2b＝1＋2×1＝3，∴a＋2b的值是3.已知a2＋b2＋4a－2b＋5＝0，求3a2＋5b2－4的值．解：∵a2＋b2＋4a－2b＋5＝0，∴(a2＋4a＋4)＋(b2－2b＋1)＝0，即(a＋2)2＋(b－1)2＝0，∴a＋2＝0且b－1＝0，∴a＝－2且b＝1，∴3a2＋5b2－4＝3×(－2)2＋5×12－4＝13.已知4x2－4x＋1＋3y－2＝0，求x＋y的值．解：4x2－4x＋1＋3y－2＝0，即(2x－1)2＋3y－2＝0，∵(2x－1)2≥0，3y－2≥0，∴2x－1＝0，且3y－2＝0，即x＝12，y＝23，则x＋y＝12＋23＝116.已知a是一元二次方程x2－4x＋1＝0的两个实数根中较小的根．(1)求a2－4a＋2012的值；(2)化简求值a2－2a＋1－1a.解：(1)∵a是一元二次方程x2－4x＋1＝0的根．∴a2－4a＋1＝0，∴a2－4a＝－1，∴a2－4a＋2012＝－1＋2012＝2011；(2)原方程的解是x＝4±232＝2±3.∵a是一元二次方程x2－4x＋1＝0的两个实数根中较小的根，∴a＝2－31，∴原式＝（a－1）2－1a＝1－a－1a＝1－(2－3)－12－3＝1－(2－3)－(2＋3)＝－3.对关于x的二次三项式x2＋4x＋9进行配方得x2＋4x＋9＝(x＋m)2＋n.(1)求m，n的值；(2)当x为何值时x2＋4x＋9有最小值？并求最小值．解：(1)∵x2＋4x＋9＝(x＋m)2＋n＝x2＋2mx＋m2＋n，∴2m＝4，m2＋n＝9，解得m＝2，n＝5；(2)∵m＝2，n＝5，∴x2＋4x＋9＝(x＋m)2＋n＝(x＋2)2＋5，∴当x＝－2时，x2＋4x＋9有最小值是5.小萍说，无论x取何实数，代数式x2＋y2－10x＋8y＋42的值总是正数．你的看法如何？请谈谈你的理由．解：小萍的说法是正确的，此代数式的值总是正数．∵x2＋y2－10x＋8y＋42＝x2＋y2－10x＋25＋8y＋16＋1＝(x－5)2＋(y＋4)2＋1，无论x，y取何值，(x－5)2≥0，(y＋4)2≥0，故(x－5)2＋(y＋4)2＋1≥1＞0，因此此代数式的值总是正数．当a，b为何值时，多项式a2＋2ab＋2b2＋6b＋18有最小值？并求出这个最小值．解：a2＋2ab＋2b2＋6b＋18＝a2＋2ab＋b2＋b2＋6b＋9＋9＝(a＋b)2＋(b＋3)2＋9，∴当a＝3，b＝－3时，多项式的最小值为9.若a，b，c是△ABC的三边，且a2＋b2＋c2＋50＝6a＋8b＋10c，判断这个三角形的形状．解：由已知条件可把原式变形为(a－3)2＋(b－4)2＋(c－5)2＝0，∴a＝3，b＝4，c＝5，由于a2＋b2＝c2，故此三角形为直角三角形．