二元函数中值定理的简单应用

目录一、引言…………………………………………………………………1二、主要定理的证明、应用……………………………………………12.1二元函数中值定理的第一种形式…………………………………12.11定理及推论的证明………………………………………………12.12定理及推论的应用………………………………………………22.2二元函数中值定理的第二种形式…………………………………52.21定理及推论的证明………………………………………………52.22定理及推论的应用………………………………………………52.3二元函数中值定理的不等式形式…………………………………62.31定理及推论的证明………………………………………………62.32定理及推论的应用………………………………………………8三、结论…………………………………………………………………9四、参考文献……………………………………………………………9五、致谢…………………………………………………………………9数学科学学院本科学年论文二元函数中值定理的简单应用二元函数中值定理的简单应用内容摘要给出了二元函数中值定理的三种不同形式：含一个参变量型、含两个参变量型和不等式型.在每一种形式下我们都给出主要定理的证明，充分了解定理的生成以及内容.此外，在就给出的定理的各种形式以及他们的推论加以推广、运用，得到许多在多元函数中得到广泛运用的重要定理.关键词：二元函数中值定理1xy),(00yx),(00yyxxxyO一、引言我们知道，一元函数的中值定理是数学分析中的一个重要定理，他深刻的揭示了函数在某些区间上的增量与函数在该区间内某点处的导数及区间的长度之间的关系，是利用导数研究函数性质的基础，本文将中值定理推广到二元函数（多元函数的代表），并利用最基本的公式、定理证明一些重要的结论和定理.二、主要定理的证明、应用2.1二元函数中值定理的第一种形式2.11定理及推论的证明定理1若二元函数(,)fxy在点000(,)pxy的邻域G存在两个偏导数，则Gyyxx),(00，全改变量0000,(),(yxfyyxxfz)yyyxfxyyxxfyx),('),('200010其中.10,1021证明：显然，若点Gyyxx),(00，则点)(0,0yyx与Gyxx),(00，且连接两点),(00yyxx与),(00yyx或),(00yyxx与),(00yxx的线段也属于G，如图1,为此，将全改变量z改写为如下形式：图12),(),(0000yxfyyxxfz)],(),([)],(),([00000000yxfyyxfyyxfyyxxf上述等式右端第一个方括号内，yyy0是常数，只是x由0x变到xx0；第二个方括号内0xx是常数，只是y由0y变到yy0.根据一元函数中值定理，有),(),(0000yxfyyxxfzyyyxfxyyxxfyx),('),('200010其中.10,10212.12定理及推论的应用定理2若二元函数),(yxf在点),(000yxp的邻域G存在两个偏导数，且两个偏数在点),(000yxp连续，则二元函数),(yxf在点),(000yxp可微.证明：（利用二元函数中值定理）Gyyxx),(00，根据定理，将全改变量z写为：),(),(0000yxfyyxxfzyyyxfxyyxxfyx),('),('200010其中.10,1021已知偏导数在),(000yxp连续，有.),('),('00010yxfyyxxfxx0lim0),('),('00200yxfyyxfyy0lim0从而有.),('),('0000yxyyxfxyxfzxxyxyx30)0(或)(oyx于是，),(),(0000yxfyyxxfz)(),('),('0000oyyxfxyxfxx即函数),(yxf在点),(000yxp可微.注：偏导数连续是二元函数可微的充分条件，而不是必要条件.定理3若二元函数),(yxFz在以点),(00yx为中心的矩形区域D（边界平行坐标轴）满足下列条件：1)),('yxFx与),('yxFy在D连续（从而),(yxF在D连续）；2)0),(00yxF；3)0),('yxFy.则：1)0与0，),(00xxx存在唯一一个)(xfy（隐函数）使0)](,[xfxF，00)(yxf，且00)(yxfy.2))(xfy在区间连续.3))(xfy在区间有连续导数，且),(),()('''yxFyxFxfyx.证明：1)的证明未涉及到本文提到的二元函数中值定理，故略之，直接用其结论.2)隐函数)(xfy在区间连续，只需证明，x，函数)(xfy在x连续，已知),('yxFx与),('yxFy闭区间);(0000yyyxxxG连续.且0),('yxFy.则),('yxFx在G有上界，),('yxFy在G有下界.即0M与0m，Gyx),(，有MyxFx),('与myxFy),('给自变量x该变量x，使xx，相应的有函数)(xfy的该变量y，即4)()(xfxxfy或)(xxfyy且),(00yyyy，已知0),(yxF与.0),(xyxxF).,(),(0yxFxyxxF).,(),(),(),(yxFyyxfyyxFxyxxFa)根据二元函数中值定理，有，.),('),('021yyyxFxyyxxFyx（1）其中10,1021，将(1)式改写为xyyxFyyxxFxfxxfyyx),('),(')()(201有)()(xfxxfy.),('),('21xmMxyyxFyyxxFyx于是yx0lim0limx.0)]()([xfxxf即隐函数)(xfy在x连续，从而在连续.3)隐函数)(xfy在区间有连续导数，x，由（1）式，有xy),('),('21yyxFyyxxFyx其中10,1021.已知)(xfy在x连续，从而当0x时，有0y，又可知),('yxFx与),('yxFy在D连续，有)('xf0limxxy00limyx),('),('201yyxFyyxxFyx),('),('yxFyxFyx)0),('(yxFy即隐函数)(xfy在区间有连续导数，且5),(),()('''yxFyxFxfyx注：为使层次分明，定理2的结论分为三部分，实际上，这三部分可以合并，叙述以下更加简明的形式“则存在点0x的邻域，在存在唯一一个有连续导数的隐函数)(xfy，使0)](,[xfxF，00)(yxf，且),(),()('''yxFyxFxfyx.2.2二元函数中值定理的第二种形式2.21定理及推论的证明定理4设二元函数f在凸区域2RD上连续，在D所有的内点都可微，则对D内任意两点,),(),,(DkbhaQbaP存在某)10(使得),(),(bafkbhaf.),('),('kkbhafhkbhafyx（2）证明：令).,()(tkbthaft它是定义在]1,0[上的一元函数，由定理中的条件知)(t在]1,0[上连续，在]1,0[可微，于是根据一元函数中值定理，存在)10(使得)(')0()1(（3）由复合函数的求导法则，kkbhafhkbhafyx),('),(')('（4）由于D是凸区域，所以.),(Dkbha故由（3）、（4）即得所要证的（2）式.2.22定理及推论的应用定理5（中值定理的推论）若二元函数二元函数),(yxf在凸区域D上存在偏导数，且0),('),('yxfyxfyx，则),(yxf在区域D上是常函数.证明：,),(),,(00Dyxyx因为D是区域存在一条完全属于D的折线将),(),,(00yxyx连接，不妨设这折线的转接点依次是：6).,(),,(),(),,(),,(11221100yxyxyxyxyxkk（记yyxxkk,）不失一般性，可以使这些点适当的接近，从而使折线段),(),(11iiiiyxyx11,0ki也全部在区域D内，因为),(yxf在区域内存在偏导数，且0),('),('yxfyxfyx故利用中值定理),(11yxf),(00yxf))]((),(['01010010xxyyyxxxfx))]((),(['01010010yyyyyxxxfy0其中10.从而有),(11yxf),(00yxf同理推得,),(00yxf),(11yxf).,(),(),(1122yxfyxfyxfkk将),(00yx点确定),(yx在D中随意选取上式均成立，由此得证结论成立.例1通过对yxyxFcossin),(施用中值定理，证明对某)1,0(有6sin3sin66cos3cos343解：二元函数yxyxFcossin),(在2R上连续且可微，由中值定理知，对D内两点)0,0(),(ba及).6,3(),(kbha)1,0(，有),(),(baFkbhaF.),('),('kkbhaFhkbhaFyx)0,0()6,3(FF6sin3sin66cos3cos3即，.6sin3sin66cos3cos3432.3二元函数中值定理的不等式形式2.31定理推论的证明定理6设二元函数),(yxf在凸区域2RD内任取一点，沿任意方向的方向导lf存在一致有界，即存在nm,使得,nlfm则对D内任意两点),,(baP),(kbhaQ有,),()()(nQPPfQfm其中22),(khQP（5）7t)(tg1P0Q1Q)(1Pf)(1Qf)(0Qf为证这个定理，先叙述一个引理.引理设二元函数),(yxf在凸区域D的内点),(0baP沿方向L的方向导数存在，),(yxf在点0P沿方向L连续.证明:设),(yxP为L上的点（含于D内），则由)()(0PfPf),,(),()()(QPQPPfQf令0),(QP便得结论.定理的证明：对任意,','nm,'mm.'nn先证'),()()('nQPPfQfm（6）然后在（6）式取极限,'mm.'nn（先固定QP,）便可得（1）.用反证法（6）式，假设存在D内点QP,使'),()()(nQPPfQf（7）则).(),(')(1111PfQPnQf把线段11QP上各点按到点1P的距离大小排列，线段11QP上任意两点21,tt，当1t到1P的距离小于2t到1P的距离时，就记为,21tt从而可令}),()(),(')(|inf{1110QtQtgPfptntfQQ由引理，),(yxf沿方向11QP连续，故有,101QQP且).(),(')(1111PfQPnQf如图2.对,10QQQ),()()(00QQQfQf'.),