二次函数知识点总结——题型分类总结

诚美教育中小学1对1个性化辅导第一责任品牌咨询电话：[phone]投诉电话：[phone]-授课教师学生姓名上课时间学科数学年级九年级课时计划第次共次提交时间学管师教学主管课题名称二次函数知识点总结——题型分类总结教学目标：1.掌握二次函数表达式的三种形式，能灵活选用三种形式提高解题效率。2.掌握二次函数的图像与性质，结合解析式确定图像顶点、对称轴和开口方向；熟练掌握其与一元二次方程和一元二次不等式的关系；能通过基本性质解决图像的系数符号问题、共存问题、对称性问题、以及应用问题。教学重难点：教学重点：1、二次函数的三种解析式形式2、二次函数的图像与性质教学难点：1、二次函数与其他函数共存问题2、根据二次函数图像，确定解析式系数符号3、根据二次函数图像的对称性、增减性解决相应的综合问题。教学过程【回顾与思考】一、二次函数的定义定义：一般地，如果cbacbxaxy,,(2是常数，)0a，那么y叫做x的二次函数.（考点：二次函数的二次项系数不为0，且二次函数的表达式必须为整式）诚美教育中小学1对1个性化辅导第一责任品牌咨询电话：[phone]投诉电话：[phone]-精典例题：例1：在下列关系式中，y是x的二次函数的关系式是（）A．2xy+x2=1B．y2-ax+2=0C．y+x2-2=0D．x2-y2+4=0考点：二次函数的定义．分析：根据二次函数的定义对四个选项进行逐一分析即可，即一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．解答：解：A、2xy+x2=1当x≠0时，可化为的形式的形式，不符合一元二次方程的一般形式，故本选项错误；B、y2-ax+2=0可化为y2=ax-2不符合一元二次方程的一般形式，故本选项错误；C、y+x2-2=0可化为y=x2+2，符合一元二次方程的一般形式，故本选项正确；D、x2-y2+4=0可化为y2=x2+4的形式，不符合一元二次方程的一般形式，故本选项错误．故选C．点评：本题考查的是二此函数的一般形式，即一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．例2：函数y=(m+3)xm2+m-4，当m=时，它的图象是抛物线．考点：二次函数的定义．分析：二次函数的图象是抛物线的，由二次函数的定义列出方程与不等式解答即可．解答：解：∵它的图象是抛物线，∴该函数是二次函数，∴，解得m=2或-3，m≠-3，∴m=2．点评：用到的知识点为：二次函数的图象是抛物线；二次函数中自变量的最高次数是2，二次项的系数不为0．例3：若y=xm-2是二次函数，则m=考点：二次函数的定义．分析：根据二次函数的定义列出关于m的方程，求出m的值即可．解答：解：∵函数y=xm-2是二次函数，∴m-2=2，∴m=4．故答案为4．诚美教育中小学1对1个性化辅导第一责任品牌咨询电话：[phone]投诉电话：[phone]-点评：本题考查了二次函数的定义，比较简单，属于基础题．学以致用：1、下列函数中，是二次函数的是.①y=x2－4x+1；②y=2x2；③y=2x2+4x；④y=－3x；⑤y=－2x－1；⑥y=mx2+nx+p；⑦y=(4,x)；⑧y=－5x。2、在一定条件下，若物体运动的路程s（米）与时间t（秒）的关系式为s=5t2+2t，则t＝4秒时，该物体所经过的路程为。3、若函数y=(m2+2m－7)x2+4x+5是关于x的二次函数，则m的取值范围为。4、若函数y=(m－2)xm－2+5x+1是关于x的二次函数，则m的值为。二、二次函数的对称轴、顶点、最值考点连接：如果解析式为顶点式：y=a(x－h)2+k，则对称轴为：，最值为：；如果解析式为一般式：y=ax2+bx+c，则对称轴为：，最值为：；如果解析式为交点式：y=(x-x1)(x-x2),则对称轴为：，最值为：。精典例题：例1．抛物线y=2x2+4x+m2－m经过坐标原点，则m的值为。考点：二次函数图象与几何变换．分析：利用二次函数图象的性质．解答：解：经过原点，说明（0，0）适合这个解析式．那么m2+2m-3=0，（m+3）（m-1）=0．解得：m1=-3，m2=1．点评：本题应用的知识点为：在函数图象上的点一定适合这个函数解析式．例2．若抛物线y＝ax2－6x经过点(2，0)，则抛物线顶点到坐标原点的距离为()A.13B.10C.15D.14考点：二次函数图象上点的坐标特征．诚美教育中小学1对1个性化辅导第一责任品牌咨询电话：[phone]投诉电话：[phone]-分析：由抛物线y=ax2-6x经过点（2，0），求得a的值，再求出函数顶点坐标，求得顶点到坐标原点的距离．解答：解：由于抛物线y=ax2-6x经过点（2，0），则4a-12=0，a=3，抛物线y=3x2-6x，变形，得：y=3（x-1）2-3，则顶点坐标M（1，-3），抛物线顶点到坐标原点的距离|OM|=故选B．点评：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，先求解析式，再求顶点坐标，最后求距离．学以致用：1．若直线y＝ax＋b不经过二、四象限，则抛物线y＝ax2＋bx＋c()A.开口向上，对称轴是y轴B.开口向下，对称轴是y轴C.开口向下，对称轴平行于y轴D.开口向上，对称轴平行于y轴2．当n＝______，m＝______时，函数y＝(m＋n)xn＋(m－n)x的图象是抛物线，且其顶点在原点，此抛物线的开口________.3．已知二次函数y=mx2+(m－1)x+m－1有最小值为0，则m＝______。三、函数y=ax2+bx+c的图象和性质知识点：（1）①当0a时抛物线开口向上顶点为其最低点；②当0a时抛物线开口向下顶点为其最高点.③｜a｜越大，开口越小。（2）顶点是），（abacab4422，对称轴是直线abx2（3）①当0a时，在对称轴左边，y随x的增大而减小；在在对称轴右边，y随x的增大而增大；②当0a时，在对称轴左边，y随x的增大而增大；在在对称轴右边，y随x的增大而减小。（4）y轴与抛物线cbxaxy2得交点为(0,c)精典例题：例1：（2002•十堰）抛物线y=-x2+2x+1的顶点坐标是____________，开口方向是轴下方轴的交点在，抛物线与轴上方，轴的交点在，抛物线与xycxyc00诚美教育中小学1对1个性化辅导第一责任品牌咨询电话：[phone]投诉电话：[phone]-____________，对称轴是___________．考点：二次函数的性质．分析：根据二次函数的性质解题．解答：解：∵y=-x2+2x+1=-（x2-2x）+1=-（x2-2x+1-1）+1=-（x-1）2+2，∴抛物线y=-x2+2x+1的顶点坐标是（1，2），开口方向是向下，对称轴是x=1．点评：此题考查了二次函数的性质，顶点坐标、对称轴及开口方向．例2：（2010•兰州）抛物线y=x2+bx+c图象向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图象的解析式为y=x2-2x-3，则b、c的值。考点：二次函数图象与几何变换．分析：易得新抛物线的顶点，根据平移转换可得原抛物线顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得原抛物线的解析式，展开即可得到b，c的值．解答：解：由题意得新抛物线的顶点为（1，-4），∴原抛物线的顶点为（-1，-1），设原抛物线的解析式为y=（x-h）2+k代入得：y=（x+1）2-1=x2+2x，∴b=2，c=0．故选B．点评：抛物线平移不改变二次项的系数的值；讨论两个二次函数的图象的平移问题，只需看顶点坐标是如何平移得到的即可．学以致用：1．试写出一个开口方向向上，对称轴为直线x＝－2，且与y轴的交点坐标为（0，3）的抛物线的解析式。2．通过配方，写出下列函数的开口方向、对称轴和顶点坐标：（1）y=12x2－2x+1；（2）y=－3x2+8x－2；（3）y=－14x2+x－4诚美教育中小学1对1个性化辅导第一责任品牌咨询电话：[phone]投诉电话：[phone]．把抛物线y=－2x2+4x+1沿坐标轴先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，问所得的抛物线有没有最大值，若有，求出该最大值；若没有，说明理由。4．某商场以每台2500元进口一批彩电。如每台售价定为2700元，可卖出400台，以每100元为一个价格单位，若将每台提高一个单位价格，则会少卖出50台，那么每台定价为多少元即可获得最大利润？最大利润是多少元？四、函数y=a(x－h)2的图象与性质知识点回顾：填表：抛物线开口方向对称轴顶点坐标223xy2321xy典型例题：例1：抛物线y=x2-4x-3的图象开口，对称轴是，顶点坐标，函数y有最。考点：二次函数的性质。分析：二次函数的二次项系数a＞0，可以确定抛物线开口方向和函数有最小值，然后利用y=ax2+bx+c的顶点坐标公式就可以得到对称轴，顶点坐标．解答：解：∵二次函数的二次项系数a＞0，∴抛物线开口向上，函数有最小值，∵y=x2-4x-3，∴根据y=ax2+bx+c的顶点坐标公式为，，对称轴是，诚美教育中小学1对1个性化辅导第一责任品牌咨询电话：[phone]投诉电话：[phone]-代入公式求值就可以得到对称轴是x=2，顶点坐标是（2，-7）．故抛物线y=x2-4x-3的图象开口向上，对称轴是x=2，顶点坐标（2，-7），函数y有最小值．故填空答案：向上，x=2，（2，-7），小．点评：本题主要是对抛物线一般形式中对称轴，顶点坐标的考查，是中考中经常出现的问题．学以致用：1．已知函数y=2x2,y=2(x－4)2，和y=2(x+1)2。（1）分别说出各个函数图象的开口方、对称轴和顶点坐标。（2）分析分别通过怎样的平移。可以由抛物线y=2x2得到抛物线y=2(x－4)2和y=2(x+1)2？2．试写出抛物线y=3x2经过下列平移后得到的抛物线的解析式并写出对称轴和顶点坐标。（1）右移2个单位；（2）左移23个单位；（3）先左移1个单位，再右移4个单位。3．二次函数y=a(x－h)2的图象如图：已知a=12，OA＝OC，试求该抛物线的解析式。五、二次函数的增减性知识点：(1).0a，当2bxa时，y随x的增大而减小；当2bxa时，y随x的增大而增大。(2).0a，当2bxa时，y随x的增大而增大；当2bxa时，y随x的增大而减小。诚美教育中小学1对1个性化辅导第一责任品牌咨询电话：[phone]投诉电话：[phone]-典型例题：例1：已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图：（1）求函数解析式；（2）写出对称轴，回答x为何值时，y随着x的增大而减少？考点：待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质．分析：（1）根据图示知函数经过三点：（-1，0）、（4，0）、（0，-4），将其代入函数解析式，列出关于a、b、c的三元一次方程组，然后解方程组即可；（2）根据图象求得该函数图象的对称轴，然后根据对称轴、函数图象回答问题．解答：解：（1）根据图示知，该函数图象经过点（-1，0）、（4，0）、（0，-4），∴二次函数的解析式是：y=x2-3x-4；（2）根据图象知，二次函数y=x2-3x-4与x轴的交点是（-1，0）、（4，0），∴对称轴是x=，∴根据图象知，当时，y随着x的增大而减小．点评：本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质．解答该题时，采用了“数形结合”的数学思想，要求学生具备一定的读图能力，能从图形中寻取关键性信息．例2：（2010•呼和浩特）已知：点A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）是函数图象上的三点，且x1＜0＜x2＜x3则y1、y2、y3的大小关系