2018常微分方程考研复试题库及答案

123――――132133――――138139――――143144――――145146――――150151――――156157――――162164――――167168----173174――――177178――――180181--------------------184185―――――189190――――192193――――194195――――198199――――202203――――205206――――210211――――216217――――221222――――226227――――229230――――233234――――235236――――241242将（2x-4y+6）dx+(x+y-3)dy=0化为齐次方程。243求解dxdy=f(x+y+1)244说明当p(x连续时，线性齐次方程的0解唯一。245证明线性齐次方程任意两个解的和与差仍是它的解。246常数变易法用变换y=C(x)exp(-)(xpdx)与线性齐次方程通解有什么不同248dy/dx--21xxy=0.249求初值问题的解1)0(cosyxydxdy250求解dxdy－2xy=4x.251求解方程y`－2y=x2exp(2x),y(0)=0.252解方程dxdy=yx1253设y1(x),y2(x)是一阶线性方程两个不相同的特解，试用这两个特解来表示通解。254.用变量替换或微分方法将下面方程化为线性（1）xdx=(x2－2y+1)dy（2）(x+1)(yy`-1)=y2（3）y(x)=xdtty0)(x+1255化下列方程为线性方程（1）y’-x4y=xy（2）y’=y2--x2-1256将方程ydx+(y-x)dy=0给两种解法。257试证明：凡具有通解为y=C(x)+(x)式的一阶方程都是线性方程。其中(x)，(x)为可微函数。常微分方程2答案123――――132133――――138139――――143144――――145146――――150151――――1562157――――162163164――――167168――――173174――――177178――――180181――――184185――――189190――――192193――――194195――――198199――――202203――――205206――――210211――――216217――――221222―――226227――――229230――――233234――――235236――――241242方程变形为dxdy=2642yxyx，它的分子，分母两条直线交点为（1,2）作变换21vyux，于是得到dudv＝vuvu42，它已经是齐次方程。243令z=x+y+1,则dxdz＝1＋dxdy，于是dxdz=1+f(z),只要＋f(z)0,可分离变量得x=)(1zfdz+C244因p(x)连续，y(x)=y0exp(-dxx0xp(x))在p(x)连续的区间有意义，而exp(-dxx0xp(x))＞0。如果y0＝0，推出y(x)=0,如果y(x)0,故零解y(x)=0唯一。245设有两个解y1(x),y2(x),则y`1(x)+p(x)y1(x)0,y`2(x)+p(x)y2(x)0,则（y1(x)y2(x)）'`＋y(x)(y1(x)+y2(x))=(y`1(x)+p(x)y1(x))+y`2(x)+p(x)y2(x)0表明y1(x)y2(x)仍是解。246在线性齐次方程通解公式中C是任意常数而在常数变易法中C（x）是x的可微函数。将任意常数C变成可微函数C（x），期望它解决线性非齐次方程求解问题，这一方法成功了，称为常数变易法。247用线性齐次方程通解公式得y=Cexp（sinx）249p(x)=-cosx用线性齐方程初值问题解公式即得y=exp(sinx)250用线性方程通解公式：y=exp(-xdx2)(C+xdx2)dx)=exp(-x2)(C+2exp(-x2))=2+Cexp(-x2)251公式求得方程通解y(x)=exp(2x)(C+x2exp(2x)exp(-2x)dx)=exp(2x)(c’+31x3)利用初始条件代入上式y(0)=0=C,故y=31x3exp(2x)252x看作自变量，y看成函数，则它是非线性方程，经变形为dydx＝x+y以x为未知函数,y是自变量，它是线性方程，则通积分为x=exp(dy)(c+))exp(dyyy=cexp(y)-y-1253任一解y(x)满足（y(x)-y1(x)）/y2(x)-y1(x))=C,或(y2(x)--y1(x))+|y1(x)这就是一阶方程通解的结构。254令z=x2,则dz=2xdx,代入方程得1/2dz=(z-2y+1)dy它已经是线性方程。（1）令u=y2,则dxdu=2yy’,代回原方程得（x+1）(1/2u'-1)=u,变形为dxdu=12xu＋2这已经是线性方程。（2）它不是微分方程，但对它求导后得dxxdy)(＝y(x)+1,这已经是线性方程。dxdy-2xy=exp(x2)cosx此为线性方程，从而通解为y=exp(xdx2)(C+)exp(2xcosxexp(-xdx2)dx)=exp(x2)(C+sinx)dxdy+y(x)'(x),((x)是已知可微函数)此方程为线性方程，从而通解为y=exp(--dxddx)(C+(x)'(x)exp('(x)dx)dx=exp(-(x))(C+exp((x))((x)-1)=Cexp(-(x))+(x)-1255此为贝努利方程。令z=y得dxdz－x2z=2x,它是线性方程。（1）此为黎卡提方程，通过观察知它有一特解y=-x作变换y=z-x,得贝努利方程z'+2z=z2,再将方程ydx+(y-x)dy=0给两种解法。试证明：凡具有通解为y=C(x)+(x)式的一阶方程都是线性方程。其中(x)，(x)为可微函数。