2018常微分方程考研复试真题及答案

常微分方程计算题2.指出下列方程中的阶数，是线性方程还是非线性方程，并说明理由；（1）t222dtud+tdtdu+(t2-1)u=0（2）dxdy=x2+y2;（3）dxdy+2xy=03.求曲线族y=C1ex+C2xex所满足的微分方程4．验证函数y=C1ex2+C2ex2是微分方程y``-4y=0的解，进一步验证它是通解。5.试用一阶微分方程形式不变性求解方程dxdy=2x6.什么叫积分一个微分方程？7．什么是求解常微分方程的初等积分法？8．分离变量一阶方程的特征是什么？9．求下列方程的通解（1）y`＝sinx（2）x2y2y`+1=y（3）tgxdxdy=1+y（4）dxdy=exp(2x-y)（5）dxdy=21y2（6）x2ydx=(1-y2+x-2x2y2)dx（7）(x2+1)(y2-1)dx+xydy=010.叙述齐次函数的定义11．试给出一阶方程y`＝f(x,y)或p(x,y)dx+q(x,y)dy=0为齐次方程的特征。说明二个方程的关系。12．求解齐次方程通常用什么初等变换，新旧函数导数关系如何？13．求解下列方程dxdy＝222yxxy14．求解下列方程（1）（x+2y）dx—xdy=0(2)dxdy=xy+yx215.dxdy=22yxxy16(x2+y2)dx—2xydy=017.dxdy=5242yxxy18―――――1920―――――――2728――――3738――――4445――――4950――――5657――――6263――――6869―――7172――――8182――――8788――――9293――――9495――――9798――――100101――――105106――――113114――――1222（1）未知函数u的导数最高阶为2，u``,u`,u均为一次，所以它是二阶线性方程。（2）为y最高阶导数为1，而y2为二次，故它是一阶非线性常微分方程。（3）果y是未知函数，它是一阶线性方程；如果将x看着未知函数，它是一阶非线性方程。3.提示：所满足的方程为y``－2y`+y=04．直接代入方程，并计算Jacobi行列式。5.方程变形为dy=2xdx=d(x2),故y=x2+C6.微分方程求解时，都与一定的积分运算相联系。因此，把求解一个微分方程的过程称为一个微分方程。微分方程的解又称为（一个）积分。7．把微分方程的通解用初等函数或通过它们的积分来表达的方法。注意如果通解能归结为初等函数的积分表达，但这个积分如果不能用初等函数表示出来，我们也认为求解了这个微分方程，因为这个式子里没有未知函数的导数或微分。8．y`＝f(x,y)主要特征是f(x,y)能分解为两个因式的乘积，其中一个因式仅含有x,另一因式仅含y，而方程p(x,y)dx+q(x,y)dy=0是可分离变量方程的主要特征，就像f(x,y)一样，p,q分别都能分解成两个因式和乘积。9（1）积分得x=-cosx+c（2）将方程变形为x2y2dy=(y-1)dx或1-yy2＝2xdx，当xy0,y1时积分得22x＋y+ln1y+x1=c(3)方程变形为ydy1＝xxsincosdx,当y-1,sinx0时积分得y=Csinx-1(4)方程变形为exp(y)dy=exp(2x)dx,积分得exp(y)＝21exp(2x)＋C(5)当y1时，求得通积分ln11yy=x+c(6)方程化为x2ydx=(1-y2)(1+x2)dx或221xxdx=yy21dy,积分得x－arctgx－lny+21y2=C(7)当x(y2--1)0时，方程变形得xx12dx+12yydy=0两边积分并化简得y2＝1＋2xCexp(-x2)10.二元函数f(x,y)满足f(rx,ry)=rmf(x,y),r.0,则称f(x,y)为m次齐次函数。m=0则称它为0次齐次函数。11．如果f(x,y)是0次齐次函数，则y`＝f(x,y)称为齐次方程。如果p(x,y)和q(x,y)同为m次齐次函数，则pdx+qdy=0为齐次方程。如果q0则dxdy＝－y)q(x,y)p(x,f(x,y)，由p,q为m次齐次函数推知f(x,y)为0次齐次函数故y`＝f(x,y)为齐次方程。12．求解齐次方程经常用变换y=zx.用函数乘积导数的公式得dxdy=xdxdz＋z13．这是齐次方程。令y=zx,dxdy=xdxdz＋z,将方程化为z+xdxdz=212zz,并即xdxdz＝231zzz分离变量得xdxzzdzz)1()1(22积分得ln|n|+ln(z2+2)-ln|z|=ln|C|,或zzx)1(2＝C用z=y\x代入得原来的变量。x2＋y2＝Cy.注意y=0方程的解。14．（1）当x0时，方程化为dxdy=1＋2xy令y=ux,则原方程化为xdxdu=1+u,当1+u0时,可分离变量得u+1=cx:;通解为y=cx2+x（2）作变换y=ux,则原方程化为2udu=xdx于是u2=ln|x|+C,代回原变量，得通积分：y2＝x2（ln|x|+C）15.这是齐次方程。令y=zx原方程化为－321uudu=xdx两边积分得221z－ln|z|=ln|cx|用z=xy代入得y=c1exp(222yx)y=0也是原方程的解。16.变形为dxdy=yx2+xy2，令y=ux得212uu==xdx积分得-ln|1-u2|=ln|x|--c,代原变量得通积分x2-y2=cx17.方程右边分子，分母两条直线交点为（x0,y0）=(-2,1)作变换u=x+2,v=y-1,原方程化为dudv＝vuuv22，此为齐次方程，令v=uz,经简单计算得122zzdz=udu,积分得33)1(1uzz＝C原方程通积分为y=x+c(x+y+1)3+318―――――――1920――――2728―――――3738――――4445――――4950――――5657――――6263――――6869――――7172――――8182――――8788――――9293――――9495――――9798――――100101――――105106――――113114――――122