【近5年高考数学全国卷试题】理科

2015高考试题（全国卷I）理科数学使用省份：豫、冀、晋、赣2015高考试题（全国卷I）理科数学一、选择题（单项选择题）：本题共12个小题，每小题5分，共60分。1.设复数z满足1+z1z=i，则jzj=A:1B:p2C:p3D:22.sin20◦cos10◦cos160◦sin10◦=A:p32B:p32C:12D:123.设命题p:9n2N，n22n，则:p为A:8n2N，n22nB:9n2N，n2⩽2nC:8n2N，n22nD:9n2N，n2=2n4.投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。已知某同学每次投篮投中的概率为0:6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为A:0:648B:0:432C:0:36D:0:3125.已知M(x0;y0)是双曲线C:x22y2=1上的一点，F1;F2是C的两个焦点，若#MF1
#MF20，则y0的取值范围是A:(p33，p33)B:(p36，p36)C:(2p23，2p33)D:(2p33，2p33)6.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问：积及委米几何？”其意思为：“在屋内墙角堆放米（如图，面堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1:62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有A:14斛B:22斛C:36斛D:66斛7.设D是△ABC所在平面内一点，若#BC=3#CD，则#AD=A:13#AB+43#ACB:13#AB43#ACC:43#AB+13#ACD:43#AB13#AC8.函数f(x)=cos(!x+φ)的部分图像如图所示，则f(x)的单调递减区间为.A:(k14;k+34)，k2ZB:(2k14;2k+34)，k2ZC:(k14;k+34)，k2ZD:(2k14;2k+34)，k2Zxy1454O9.执行右面的程序框图，如果输入的t=0:01，则输出的n=A:5B:6C:7D:8开始输入tS=1;n=0;m=0:5S=Smm=m2;n=n+1St是否输出n结束10.(x2+x+y)5的展开式中，x5y2的系数为A:10B:20C:30D:6011.圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16+20，则r=A:1B:2C:4D:82r正视图俯视图12.设函数f(x)=ex(2x1)ax+a，其中a1，若存在唯一整数x0，使得f(x0)0，则a的取值范围是A:[32e;1)B:[32e;34)C:[32e;34)D:[32e;1)二、填空题：共4个小题，每小题5分，共20分。13.若函数f(x)=xln(x+pa+x2)为偶函数，则a=:14.一个圆经过椭圆x216+y24=1的三个顶点，且圆心在x轴上，则该圆的标准方程为.15.若x;y满足约束条件8:x1⩾0;xy⩽0;x+y4⩽0:则yx的最大值为.16.在平面四边形ABCD中，\A=\B=\C=75◦，BC=2，则AB的取值范围是.三、解答题：共70分，第1721题为必考题，第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。2015高考试题（全国卷I）理科数学17.(12分)Sn为数列fang的前n项和，已知an0，a2n+an=4Sn+3．（I）求fang的通项公式；（II）设bn=1anan+1，求数列fbng的前n项和．18.(12分)如图，四边形ABCD为菱形，\ABC=120◦，E;F是平面ABCD同侧的两点，BE?平面ABCD，DF?平面ABCD，BE=2DF，AE?EC．（I）证明：平面AEC?平面AFC；（II）求直线AE与直线CF所成的角的余弦值．ABCDEF19.(12分)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费xi和年销售量yi（i=1;2;


;8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值：年销售量/t年宣传费/千元343638404244464850525456480500520540560580600620xyw8∑i=1(xix)28∑i=1(wiw)28∑i=1(xix)(yiy)n∑i=1(wiw)(yiy)46:65636:8289:81:61469108:8表中wi=pxi，w=188∑i=1wi.（I）根据散点图判断y=a+bx和y=c+dpx哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；（II）根据（I）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；（III）已知这种产品的年利润z与x、y的关系为z=0:2yx，根据（II）的结果回答下列问题：（i）年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？（ii）年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据(u1;v1);(u2;v2);


;(un;vn)，其回归直线v=+u的斜率和截距的最小二乘估计公式为：^=n∑i=1(uiu)(viv)n∑i=1(uiu)2;^=v^u:20.(12分)在直角坐标系xOy中，曲线C:y=x24与直线l:y=kx+a(a0)交于M，N两点．（I）当k=0时，分别求C在点M和N处的切线方程；（II）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有\OPM=\OPN？说明理由．21.(12分)已知函数f(x)=x3+ax+14，g(x)=lnx．（I）当a为何值时，x轴为曲线y=f(x)的切线；（II）用minfm;ng表示m;n中的最小值，设函数h(x)=minff(x);g(x)g(x0)，讨论h(x)零点的个数．（二）选考题：共10分。请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。22.（10分）选修4–1：几何证明选讲如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E．（I）若D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线；（II）若OA=p3CE，求\ACB的大小．OABCDE23.（10分）选修4–4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，直线C1:x=2，圆C2:(x1)2+(y2)2=1，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（I）求C1，C2的极坐标方程；（II）若直线C3的极坐标方程为=4(2R)，设C2与C3的交点为M;N，求△C2MN的面积．24.（10分）选修4–5：不等式选讲已知f(x)=jx+1j2jxaj，a0．（I）当a=1时，求不等式f(x)1的解集；（II）若f(x)的图像与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．2015高考试题（全国卷II）理科数学使用省份：青、藏、甘、蒙、新、宁、辽、吉、黑、云、贵、桂2015高考试题（全国卷II）理科数学一、选择题：(本大题共12个小题,每小题5分，满分60分。)1.已知集合A=f2;1;0;1;2g;B=fx(x1)(x+2)0g，则A\B=A:f1;0gB:{0,1}C:f1;0;1gD:{0,1,2}2.设a为实数，且(2+ai)(a2i)=4i，则a=A:1B:0C:1D:23.根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论不正确的是2004年2005年2006年2007年2008年2009年2010年2011年2012年2013年190020002100220023002400250026002700A:逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B:2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C:2006年以来我国二氧化硫排放量呈减少趋势D:2006年以来我国二氧化硫排放量与年份正相关4.已知等比数列fang满足a1=3，a1+a3+a5=21，则a3+a5+a7=A:21B:42C:63D:845.设函数f(x)=8:1+log2(2x);x12x1;x⩾1，则f(2)+f(log212)=A:3B:6C:9D:126.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为A:18B:17C:16D:157.过三点A(1;3)，B(4;2)，C(1;7)的圆交y轴于M，N两点，则jMNj=A:2p6B:8C:4p6D:108.右边的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序，若输入的a，b分别为14，18，则输出的a=A:0B:2C:4D:14开始输入a;bab是ab是a=ab否b=ba否输出a结束9.已知A，B是球O的球面上两点，\AOB=90◦，C为该球面上的动点，若三棱锥O–ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为A:36B:64C:144D:25610.如图，长方形ABCD的边长AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着边BC;CD与DA运动，记\BOP=x.将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f(x)，则f(x)的图像大致为AOBCPDxxy42342A:xy42342B:xy42342C:xy42342D:11.已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120◦，则E的离心率为A:p5B:2C:p3D:p212.设函数f′(x)是奇函数f(x)(x2R)的导函数，f(1)=0，当x0时，xf′(x)f(x)0，则使得f(x)0成立的x的取值范围是A:(1;1)[(0;1)B:(1;0)[(1;+1)C:(1;1)[(1;0)D:(0;1)[(1;+1)二、填空题：(共4个小题,每小题5分,满分20分)13.设向量a，b不平行，向量a+b与a+2b平行，则实数=.14.若x，y满足约束条件8:xy+1⩾0x2y⩽0x+2y2⩽0，则z=x+y的最大值为.15.(a+x)(1+x)4的展开式中x的奇次幂项的系数之和为32，则a=.16.设Sn是数列fang的前n项和，且a1=1，an+1=SnSn+1，则Sn=.2015高考试题（全国卷II）理科数学三、解答题：(共5个小题,满分70分)17.(12分)△ABC中，D是BC上的点，AD平分\BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍．（I）求sin\Bsin\C;（II）若AD=1，DC=p22，求BD和AC的长.18.(12分)某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：A地区：6273819295857464537678869566977888827689B地区：7383625191465373648293486581745654766579（I）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）;A地区B地区456789（II）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意记事件C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”．假设两地区用户的评价结果相互独立．根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率.19.(12分)如图，长方体ABCD–A1B1C1D1中，AB=16，BC=10，AA1=8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E=D1F=4．过点E，F的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．C1ABCB1A1D1DFE（I）在图中画出这个正方形（不必